2013年成人高考高中起点升专科、本科《数学》（文科）真题及详解
1．答案必须答在答题卡上的指定位置，答在试卷上无效。
2．在本试卷中，
表示
的正切，
表示的余切。
一、选择题：本大题共17小题，每小题5分，共85分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将所选项前的字母填涂在答题卡上相应题号的信息点上。
1．函数
的最大值为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，
，故最大值为3．
2．下列函数中为减函数的是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】A项，
，为增函数；B项，
，在
上是增函数，在
上是减函数；C项，
为减函数；D项，
，在
上是增函数，在
是减函数．
3．设集合
，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】集合A中包含元素－1,1，集合B中包含元素1，则
．
4．函数
的最小正周期是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】y＝cosx的最小正周期为2π，而y＝1＋cosx与y＝cosx的周期相同，也是．
5．函数
与
图像交点个数为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】求交点个数，即求方程
根的个数，即
，
有两个不相等的实根，故有两个交点。
6．若
，则（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，令θ＝π/4，逐一代入选项验证，可知sinθ＞
．
7．抛物线
的准线方程为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】准线
．
8．不等式
的解集为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，
．
9．过点
且与直线
垂直的直线方程为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】与直线y＝0垂直，即与x轴垂直，与y轴平行，又因为过点（2,1），则直线方程为x＝2.
10．将一颗骰子掷2次，则2次得到的点数之和为3的概率为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】点数之和为3的情况包括（1，2）、（2，1）两种，所有情况有6×6＝36种，故p＝
．
11．若圆
与
相切，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】相切时圆心（0,0）到直线的距离等于半径，即
，则
．
12．设
，则（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】a＞1时，对数函数y＝logax和指数函数y＝a3都是增函数，所以
，AC两项；log2a＞log2l＝0．
13．直线
经过（ ）．
A．第一、二、四象限
B．第一、二、三象限
C．第二、三、四象限
D．第一、三、四象限
【答案】A
【解析】选择满足方程的两个点：M（0，2）
，过此两点绘出直线，可知直线
经过第一、二、四象限．
14．等差数列
中，若
则
（ ）．
A．3
B．4
C．8
D．12
【答案】B
【解析】
15．设甲：，乙：
则（ ）．
A．甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件
B．甲是乙的充分必要条件
C．甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件
D．甲不是乙的充分条件，但不是乙的必要条件
【答案】C
【解析】x＝1→x2＝1；但x2＝1→x＝±1．
16．二次函数
图象的对称轴为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，对称轴为
．
17．一箱子中装有5个相同的球，分别标以号码1,2,3,4,5，从中一次任取2个球，则这2个球的号码都大于2的概率（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】2个球的号码都大于2的情况有
种，所有情况有
，
．
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案写在答题卡相应题号后。
18．若函数
为偶函数，则
______．
【答案】0
【解析】
，即
，则
．
19．若向量
与
平行，则x＝______．
【答案】6
【解析】向量平行，对应坐标成比例，则
．
20．函数
的极大值为______．
【答案】1
【解析】令
，得
，
，
在
上单调递增，在
上单调递增，故在
处取得极大值
．
21．从某工厂生产的产品中随机取出4件，测得其正常使用天数分别为
，则这4件产品正常使用天数为______．
【答案】29
【解析】
．
三、解答题：本大题共4小题，共49分。解答应写出推理、演算步骤，并将其写在答题卡相应题号后。
22．已知公比为
的等比数列中，
．（本小题满分12分）
（1）求；
（2）求的前6项和
．
解：（1）由已知得
，即
，
．
（2）
，
．
23．已知
的面积为
，
,求
．（本小题满分12分）
解：由已知得
，
由余弦定理有
得
．
24．已知椭圆
的离心率为，且
成等比数列，（本小题满分12分）
（1）求
的方程；
（2）设上一点
的横坐标为1，
、
为的左、右焦点，求
的面积．
解：（1）由已知得
得
所以C的方程为
．
（2）设
，代入C的方程得
的面积
．
25．已知函数
，曲线
在点
处的切线为
．（本小题满分13分）
（1）求
；
（2）求
的单调区间，并说明它在各区间的单调性．
解：（1）
，由已知得
则
；
又点（1,1）在曲线y＝f（x）上，则1－1＋b＝1，b＝1．
（2）
，令
，得
当
时，
，单调递增；
当
时，
，单调递减．
则的单调增区间为
，单调减区间为
．