第二节 极 限
一、基本概念
1．极限的定义
（1）数列极限
设{
}为一数列，如果存在常数a，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数N，使得当n＞N时，不等式
都成立，那么就称常数a是数列{}的极限，或者称数列{}收敛于a，记为
或
。如果不存在这样的常数a，就说数列{}没有极限，或者说数列{}是发散的，习惯上也说
不存在。
（2）函数极限
在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近于某个确定的数，那么这个确定的数就称为在这一变化过程中函数的极限。
这个极限是与自变量的变化过程密切相关的，由于自变量的变化过程不同，函数的极限就表现为不同的形式。数列极限看作函数f（n）当n→∞时的极限，这里自变量的变化过程是n→∞。下面讲述自变量的变化过程为其他情形时函数f（x）的极限，主要研究两种情形：
①自变量x任意地接近于有限值或者说趋于有限值（记作x→）时，对应的函数值f（x）的变化情形：
a.具体表述
现在考虑自变量x的变化过程为x→。如果在x→的过程中，对应的函数值f（x）无限接近于确定的数值A，那么就说A是函数f（x）当x→时的极限。当然，这里我们首先假定函数f（x）在点的某个去心邻域内是有定义的。
【定义】设函数f（x）在点的某一去心邻域内有定义。如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正数δ，使得当x满足不等式0＜|x－|＜δ时，对应的函数值f（x）都满足不等式
，那么常数A就称为函数f（x）当x→时的极限，记作
。
注意定义中0＜|x－|表示x≠,所以当x→时f（x）有没有极限与f（x）在点是否有定义并无关系。
b.几何解释
任意给定一正数ε，作平行于x轴的两条直线y＝A＋ε和y＝A－ε，介于这两条直线之间是一横条区域。根据定义，对于给定的ε，存在着点的一个δ邻域（
－δ，＋δ），当y＝f（x）在图形上的点的横坐标x在邻域（－δ，＋δ）内，但x≠时，这些点的纵坐标f（x）满足不等式
，亦即这些点落在上面所作的横条区域内（图1－3）。
图1－3 函数极限的几何解释
②自变量x的绝对值|x|无限增大即趋于无穷大（记作x→∞）时，对应的函数值f（x）的变化情形：
a.具体表述
设函数f（x）当|x|大于某一正数时有定义。如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在着正数X，使得当x满足不等式|x|＞X时，对应的函数值f（x）都满足不等式
，那么常数A就称为函数f（x）当x→∞时的极限，记作
。
b.几何解释
从几何上来说，
的意义是：作直线y＝A－ε和y＝A＋ε，则总有一个正数X存在，使得当x＜－X或x＞X时，函数y＝f（x）的图形位于这两直线之间（图1－4）。这时，直线y＝A是函数y＝f（x）的图形的水平渐近线。
图1－4 函数极限的几何解释
2．无穷大与无穷小
（1）无穷小
如果函数f（x）当x→
（或x→∞）时的极限为零，那么称函数f（x）为当x→（或x→∞）时的无穷小。特别地，以零为极限的数列{}称为x→∞时的无穷小。
注意不要把无穷小与很小的数（例如百万分之一）混为一谈，因为无穷小是这样的函数，在x→（或x→∞）的过程中，这函数的绝对值能小于任意给定的正数ε，而很小的数如百万分之一，就不能小于任意给定的正数ε，例如取ε等于千万分之一，则百万分之一就不能小于这个给定的ε。零是可以作为无穷小的唯一的常数，因为如果f（x）=0，那么对于任意给定的ε＞0总有|f（x）|＜ε。
（2）无穷大
设函数f（x）在的某一去心邻域内有定义（或|x|大于某一正数时有定义）。如果对于任意给定的正数M（不论它多么大），总存在正数δ（或正数X），只要x适合不等式0＜|x－|＜δ（或|x|＞X），对应的函数值f（x）总满足不等式
，则称函数f（x）为当x→（或x→∞）时的无穷大。
当x→（或x→∞）时的无穷大函数f（x），按函数极限定义来说，极限是不存在的。但为了便于叙述函数的这一状态，我们也说“函数的极限是无穷大”，并记作
。
如果在无穷大的定义中，把|f（x）|＞M换成f（x）＞M（或f（x）＜－M），就记作
。
必须注意，无穷大（∞）不是数，不可与很大的数（如一千万、一亿等）混为一谈。
（3）无穷小的比较
设在某极限过程x→∞中，函数α（x），β（x）都为无穷小量，且均不为0。为了比较在该极限过程中α（x），β（x）收敛于零的速度，我们作如下讨论：
在同阶无穷小中，如果C=1，则称α（x）与β（x）为等价无穷小，记作α（x）～β（x）；如果α（x）与βk（x）（k＞0）是同阶无穷小量，则称当x→∞时，α（x）是β（x）的k阶无穷小。需要注意的是只有在同一极限过程的两个无穷小才能进行比较，不同极限过程的两个无穷小是不能进行比较的；由定义可知，要进行无穷小的比较，仅需求出极限
即可，即求极限是进行无穷小比较的基础；相反地，在无穷小的比较中等价无穷小也为求极限提供了重要方法（等价无穷小替换）。
二、基本性质
（1）数列极限的基本性质
①唯一性
如果数列{}收敛，那么它的极限唯一。
②有界性
对于数列{}，如果存在正数M，使得对于一切x都满足不等式
，则称数列{}是有界的；如果这样的正数M不存在，就说明数列{}是无界的。
如果数列{}收敛，那么数列{}一定有界。
③保号性
a.如果lim＝a，且a＞0（或a＜0），那么存在正整数N＞0，当n＞N时，都有＞0（或＜0）；
b.如果数列{}从某项起有≥0（或≤0），且lim＝a，那么a≥0（或a≤0）。
（2）函数极限的基本性质
①唯一性
函数的唯一性是指，若limf（x）存在，那么函数极限唯一。
②有界性
如果
，那么存在常数M＞0和
，使得当
时，有
。
③局部保号性
a.如果
，且A＞0（或A＜0）那么存在常数，使得当
时，有f（x）＞0（或f（x）＜0）；
b.如果
，那么就存在着的某一去心邻域
，当
时，就有
。
③如果在的某去心邻域内
，而且，那么
。
（3）无穷小的常见性质
①有限个无穷小的和也是无穷小；
②有界函数与无穷小的乘积是无穷小；
③常数与无穷小的乘积是无穷小；
④有限个无穷小的乘积也是无穷小。
三、常见公式定理
1．左右极限与函数极限关系
存在当且仅当
与
存在且相等。
存在当且仅当
与
存在且相等。
2．夹逼准则
（1）如果数列{}、{
}及{
}满足下列条件：
①从某项起，即存在
∈N，当n＞时，有≤≤；
②
，那么数列{}的极限存在，且lim＝a。
（2）如果当
（或
）时，
，
，那么
存在,且等于A。
（1）及（2）称为夹逼准则。
3．等价无穷小替换
定理 设
均为自变量的同一变化过程中的无穷小，且
，则有
以上定理表明，在求两个无穷小量之比的极限时，可将分子、分母用它们的等价无穷小来代替，这是求极限的一种重要的方法。
4．洛必达法则
（1）x→a情况
设f（x），g（x）满足：
①
或
；
②f（x），g（x）在a的邻域内可导（a点除外）且g′（x）≠0；
③
存在或为
或
。
则有
。
（2）x→∞情况
设f（x），g（x）满足：
①
或
；
②存在一个正数X，当|x|＞X时有f（x），g（x）可导，且g′（x）≠O；
③ 
存在或为或。
则有
。