第六章　计数问题

一、排列组合问题

1．题型简述

排列组合的难点主要体现在对排列组合原理的理解与运用上，也即确定是排列还是组合。排列与组合，前者与顺序有关，后者与顺序无关。考生可以通过任选一种安排好的情况，调整其中两个物体的前后顺序，看是否会出现新的情形，若是则与顺序有关，反之则与顺序无关。对基本的排列组合题能够迅速判断是排列还是组合，并写出对应方法数。

（1）排列

排列是指，从n个不同的元素中，取出m个（m≤n）元素（各不相同），按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

（2）组合

组合是指，从n个不同的元素中取出m个（m≤n）元素拼成一组（即不排序），叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。

2．核心公式

排列公式：＝＝n×（n－1）×（n－2）×…×（n－m＋1）。

组合公式：＝＝。

【例1】某中学要从12名优秀学生当中投票评选三好学生，若每位投票人必须从这12名优秀学生当中任选三位投票，则该中学至少有多少投票人参加评选，才能保证有10位投票人投了相同的三位优秀学生的票？（　　）

A．1978

B．1979 

C．1980

D．1981

【答案】D

【解析】由题意可知，从12名优秀学生中任意选三位，一共有＝220（种）选法。若其中每种选法都有9个人投票，那么再有一个投票人就可以保证有10位投票人投了相同的三位优秀学生的票，则该中学投票人数至少要有9×220＋1＝1981（人）。

3．分类法

根据题意分成若干类分别计算：①根据题目的信息，确定分类的标准；②确定每个标准下面的取法；③根据加法原理，求出满足条件的个数。

【例2】甲、乙两个科室各有4名职员，且都是男女各半，现从两个科室中选出4人参加培训，要求女职员比重不得低于一半，且每个科室至少选1人。问有多少种不同的选法？（　　）

A．67　

B．63　 

C．53　 

D．51

【答案】D

【解析】由“要求女职员比重不得低于一半”可知，选拔可分为三种情况：①2男2女，需先从4个女职员中选两个，再从4个男职员中选两个，最后减去4个职员都从一个科室中选出的2种情形，即有－2＝34（种）选法；②1男3女，有＝16（种）选法；③0男4女，只有1种选法。则共有34＋16＋1＝51（种）选法。

【例3】从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任意选出三个数，使它们的和为偶数，则共有（　　）种不同的选法。

A．40　

B．41　 

C．44　 

D．46

【答案】C

【解析】首先将这9个数进行奇、偶分类，即奇数1，3，5，7，9和偶数2，4，6，8，如果要想使任取的3个数为偶数，则必须要3个全都是偶数，或者取1个偶数2个奇数。

具体步骤分成两步，运用加法原理：

①3个全都是偶数的取法有（种）；

②1个偶数2个奇数的取法有（种）。

根据加法原理，总的选法一共有4＋40=44（种）。

4．分步计算法

分步是指对完成一件事，需要将完成该事划分为多个步骤依次完成，每个步骤内的方法只能保证完成该步，而对下步可能会有相应的影响。从而实际的方法数为各步骤的方法数直接相乘，即分步用乘法原理。

【例4】某论坛邀请了六位嘉宾，安排其中三人进行单独演讲，另三人参加圆桌对话节目。如每位嘉宾都可以参加演讲或圆桌对话，演讲顺序分先后且圆桌对话必须安排在任意两场演讲之间，问一共有多少种不同的安排方式？（　　）

A．120 

B．240　

C．480　

D．1440

【答案】B

【解析】第一步，将6人分为演讲组和圆桌对话组，共＝20种安排方式；第二步，将演讲组全排列，共

＝6（种）安排方式；第三步，将圆桌对话组安排在任意两场演讲之间，共2种安排方式，则一共有

20×6×2＝240（种）安排方式。

【例5】如下图所示，某城镇共有6条东西方向的街道和6条南北方向的街道，其中有一个湖，街道在此变成一个菱形的环湖大道。现要从城镇的A处送一份加急信件到B处，为节省时间，要选择最短的路线，共有（　　）种不同走法。

A．35 

B．36　 

C．37　 

D．38

【答案】A

【解析】要使从A到B路径最短，则必须向右或向下走且经过一段斜线以减少路程，即经过路程可能为如下两种情况：A→D→E→B或A→C→F→B。①从A到D必须经过三个横向段与两个纵向段，因此方法数相当于从5个段中选择两个为纵向（每步的方向确定则路程确定），即＝10，同理，从E到B方法数为＝3；②从A到C方法数为＝5，从F到B方法数为1。因此总的方法数为10×3＋5×1＝35（种）。

5．捆绑插空法

（1）相邻问题——捆绑法：先将相邻元素全排列，然后视为一个整体与剩余元素全排列。

（2）不相邻问题——插空法：先将剩余元素全排列，然后将不相邻元素有序插入所成间隙中。

【例6】A、B、C、D、E、F、G，这7位同学站成一排，要求AB两个同学必须相邻的排法共有多少种？（　　）

A．720

B．1020

C．1440

D．1680

【答案】C

【解析】由于要求AB两个同学必须相邻，把这两个人看作一个元素，与剩余的5个元素进行排序，即有

＝6×5×4×3×2×1＝720（种）。AB和BA的排序是不一样的，即AB的排序是2种，则满足要求的排序就是

720×2＝1440（种）。

【例7】四名学生和两位老师站一排照相，两老师不在两端，但相邻的排法有（　　）

A．72种　

B．108种　

C．144种　 

D．288种

【答案】C

【解析】把两个老师看成一个整体，即一个人，这样相当于有5个人排队。由于老师不能排在两端，所以应该从中间的三个位置中选一个位置给老师排，而两个老师之间可以互换，所以两个老师的排法有A¹₃A²₂=6（种）。学生可以在剩余四个位置进行排列，排法有A⁴₄=24（种）。则题干的排法共有24×6=144（种）。

6．重复剔除法

（1）多人排成圈问题

N人排成一圈，有种排法。

（2）物品串成圈问题

N个珍珠串成一条项链，有种串法。

7．多人传球法

M个人传N次球，记，则与X最接近的整数为传给“非自己的某人”的方法数，与X第二接近的整数便是传给自己的方法数。

二、容斥问题

1．容斥原理

容斥原理主要用于有重叠部分的计数，其计数思想是先不考虑重叠的情况，将所有集合的所有对象数目计算出来，再逐步排除重叠的情况。

容斥原理中侧重考查两类题型：

（1）二或三集合容斥原理的整体思维，把满足单个条件当做一个整体，计算每个整体的容斥公式求解；

（2）多个集合的逆向思维考虑，考虑到正面分析每个条件会比较困难，根据题设可以从逆向考虑不满足的情况，再结合极端情况解答。

2．容斥公式

（1）三集合容斥原理公式：

|A∪B∪C|＝|A|＋|B|＋|C|－|A∩B|－|B∩C|－|A∩C|＋|A∩B∩C|

（2）两集合容斥原理公式：

|A∪B|＝|A|＋|B|－|A∩B|

（3）对两集合的容斥原理的推论公式：

满足条件1的个数＋满足条件2的个数－都满足的个数＝总数－都不满足的个数＝满足至少一个条件的个数。

【例8】某班共有30名男生，其中20人参加足球队，12人参加篮球队，10人参加排球队。已知没有一个人同时参加3个队，且每人至少参加一个队，有6人既参加足球队又参加篮球队，有2人既参加篮球队又参加排球队，那么既参加足球队又参加排球队的有（　　）。

A．3人

B．4人

C．6人 

D．7人

【答案】B

【解析】设既参加足球队又参加排球队的有x人，由三集合容斥原理公式|A∪B∪|＝|A|＋|B|＋|C|－|A∩B|－|B∩C|－|A∩C|＋|A∩B∩C|可知，30＝20＋12＋10－6－2－x，解得x＝4（人）。

三、概率问题

概率，又称或然率、机会率或机率、可能性，表示的是一个事件发生的可能性大小，也是对随机时间发生的可能性的度量。

1．古典概型

（1）特点

①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个。

②每个基本事件出现的可能性相等。

（2）公式

P（A）＝

【例9】田忌与齐威王赛马并最终获胜被传为佳话，假设齐威王以上等马、中等马和下等马的固定程序排阵，那么田忌随机将自己的三匹马排阵时，能够获得两场胜利的概率是（　　）。

A．2/3

B．1/3 

C．1/6　 　 

D．1/9

【答案】C

【解析】根据题意，田忌随机将自己的三匹马排阵的时候，一共有3×2×1＝6种排法；能够获得两场胜利的情况只有一种，即用自己的下等马对齐威王的上等马，用自己的上等马对齐威王的中等马，用自己的中等马对齐威王的下等马，则能够获得两场胜利的概率是1/6。

【例10】某单位共有36人，四种血型的人数分别是：A型12人、B型10人、AB型8人、O型6人。如果从这个单位中随机地找两个人，那么这两个人具有相同血型的概率是多少？（　　）

A．

B． 

C．　

D．

【答案】A

【解析】样本点总数是从36人中随机找两个人的不同方法。题中的事件A是“从36人中，挑选两个血型相同的人”。

样本点总数为；完成事件A，有四类方式：一是挑选两个A型血的人、二是挑选两个B型血的人、三是挑选两个AB型血的人、四是挑选两个O型血的人。运用加法原理，事件A的样本点总数是。事件A发生的概率是。

2．条件概率

条件概率：表示的是在事件A发生的前提下，事件B发生的概率，记作P（B∣A）。其核心公式为P（B∣A）＝P（A∩B）/P（A），其中：P（A∩B）表示的是事件A、B同时发生的概率；P（A）表示的是事件A发生的概率；P（B∣A）表示的是在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。

【例11】根据大量的统计，大熊猫活到十岁的概率是0.8，活到十五岁的概率是0.6。现有一只大熊猫已活到十岁了，求它活到十五岁的概率。（　　）

A．0.6 

B．0.75 

C．0.8　

D．0.96

【答案】

【解析】由题意可知，大熊猫活到十五岁的概率是P（A∩B）＝0.6，大熊猫活到十岁的概率是P（A）＝0.8，则该大熊猫活到十五岁的概率为P（B∣A）＝0.6/0.8＝0.75。

【例12】一个袋子里有10个小球，其中4个白球，6个黑球，无放回地每次抽取1个，则第二次取到白球的概率是多少？

A．2/15

B．4/15 

C．1/5　

D．2/5

【答案】D

【解析】可分成两种情况：①第一次取到白球，第二次也取到白球的概率是；×＝；②第一次取到黑球，第二次取到白球的概率是×＝，即第二次取到白球的概率为＋＝＝。

3．几何概型

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称为几何概型。

（1）特点

①试验中所有可能出现的基本事件有无限多个。

②每个基本事件出现的可能性相等。

（2）公式

P（A）＝

【例13】甲、乙两人约定在下午4点到5点间在某地相见。他们约好当其中一人先到后一定要等另一人15分钟，若另一人仍不到则可以离去，则甲、乙能相见的概率为（　　）。

A．　

B．　

C． 

D．

【答案】A

【解析】设甲到达时间为4点x分，乙到达时间为4点y分。如下图，只有当∣x－y∣≤15时两者可相见，即图中阴影部分。甲乙能相见的概率即阴影部分面积占总面积的比，其值为＝。

四、构造问题

“构造问题”其实可以分为三种类型的题：构造数列、构造最不利（也叫抽屉原理）、多集合反向构造。

1．构造数列

常见“构造数列”题的特征是：最……最……，排名第……最……，对于这样的“构造问题”，解题方法就是构造出一个满足题目要求的数列。

【例14】某单位2011年招聘了65名毕业生，拟分配到该单位的7个不同部门，假设行政部门分得的毕业生人数比其他部门都多，问行政部门分得的毕业生人数至少为多少名？（　　）

A.10　

B．11

C．12 

D．13

【答案】B

【解析】若要使得行政部门分得的毕业生人数尽可能地少，则应该使得其他剩余部门分得的人数应该尽可能地多（但必须注意的是，行政部门的分得的毕业生人数一定是所有部门中最多的，这是前提条件），所以，依题意设行政部门分得的人数为X，则其余部门的分得的人数应该尽可能地大，但还是一定要小于行政部门，且其他部门分得的人数也可以相同，因此，可以构造出的一个数列为：X，X-1，X-1，X-1，X-1，X-1，X-1,这分别是7个部门分得的人数，从而即有：X＋（X-1）＋（X-1）＋（X-1）＋（X-1）＋（X-1）＋（X-1）=65,解得X≈10.1（人），题意是要求行政部门最少分得的人数，所以，应该最少是11人，因此本题答案为B选项。

注意：在构造完满足题目要求的数列后，解出的答案有可能是小数，若要求是整数，则应该这样来取：①若题意问的是“最少、至少…”,则整数部分直接加1，例X=10.3，则取X=11；②若题意问的是“最高、最大、最多…”,则直接取整数部门，例X=10.6，则取X=10。

2．抽屉原理

常见“构造最不利（抽屉原理）”题的特征是：至少（最少）……保证，这样的“抽屉原理”题，解题方法是构造出一种最不利的情况，最后的答案为：答案=最不利的情况＋1。

题目多是叙述为“黑色布袋中有……（具体物品），至少要取出多少个，才可以保证……（要满足的目标）”。抽屉问题的解题原则为反向构造，即假设所有物品并非放在布袋中，而是在自己手中，然后逐一发出，则在不满足题目所给条件下，直到一个什么结果才必须满足目标。这个结果就是题目要求下发出的最多数目。

抽屉原理一：将多于n件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于2件。

抽屉原理二：将多于mn件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于（m＋1）件。

【例15】一种水果糖什锦袋里有80颗水果糖，包含8种果味的水果糖各10颗。现在让一群小朋友随意从什锦袋中摸两颗糖。那么要多少个孩子摸，才能保证他们其中至少有两个人摸到的两颗糖果味是相同的？（　　）

A．41　

B．37　 

C．40　 

D．36

【答案】B

【解析】取极端情况，每一种情况都有孩子摸到，则共有摸到两颗相同果味糖果的情况8种，摸到两颗果味不同的情况＝28（种）。此时，再多一个小朋友摸糖，则必有两个小朋友摸到两颗果味相同的情况。则所求人数为8＋28＋1＝37（种）。

【例16】64个小球放到18个盒子里，每个里面最多放6个，所有盒子里都有小球，问最少几个盒子里的小球数目相同？（　　）

A．2　 

B．3

C．4

D．5

【答案】C

【解析】利用抽屉原理，按题干要求每个盒子里都有小球，最多放6个，可以从1到6构造6个抽屉，则问题转化为至少有几个含小球数目相同的盒子在同一个抽屉里。因为共有18个盒子，18÷6=3，故假设每个抽屉里有3个盒子的小球数目是相同的，故18个盒子里放的小球最多有3×（1＋2＋3＋4＋5＋6）=63<64，因此，至少有4个盒子里的小球数目相同。

【例17】共有100个人参加某公司的招聘考试，考试的内容共有5道题，1～5题分别有80人、92人、86人、78人和74人答对。答对3道和3道以上的人员能通过考试，请问至少有多少人能通过这次考试？（　　）

A．30　

B．55　 

C．70　 

D．74

【答案】C

【解析】未被解答对的题目总数为：（100－80）＋（100－92）＋（100－86）＋（100－78）＋（100－74）=90（道）。由于必须错误3道或者3道以上才不通过考试，因此根据“最不利原则”，这90道试题恰好是有30个人答错，每个人错误3道试题。这样，能够通过考试的人至少为100－30=70（人）。

3．多集合反向构造

常见“多集合反向构造”题的特征是：都……至少……，这样的“多集合反向构造”题，解题的方法就是反向、加和、作差。

【例18】建华中学共有1600名学生，其中喜欢乒乓球的有1180人，喜欢羽毛球的有1360人，喜欢篮球的有1250人，喜欢足球的有1040人，问以上四项球类运动都喜欢的至少有几人？（　　）

A.20　 

B．30

C．40　 

D．50

【答案】B

【解析】这是一道“多集合反向构造”题，做这种题的方法通常是：反向、加和、作差。通过简单计算得知：不喜欢兵乓球的有420人，不喜欢羽毛球的有240人，不喜欢篮球的有350人，不喜欢足球的有560人。分析得知，要使得四项球类都喜欢的人数最少，则应该使有不喜欢这四项运动的人都只有一项运动不喜欢，这样底线球类运动都喜欢的人数会最少。不喜欢的人数最多为420＋240＋350＋560=1570（人），这是最极端的情况，则四项球类运动都喜欢的至少有1600-1570=30（人），因此，本题答案为B选项。

五、鸡兔同笼问题

1．标准鸡兔同笼问题

这类问题采用方程法也能解决，但是计算量较大，因此不推荐方程法，一般采用极端法：如上例中，可假设全都是鸡，则应有35×2＝70只脚，与实际的94只脚相比，少了94－70＝24只脚。每少2只脚就说明有一只兔，因此一共有兔24＋2＝12只，鸡有35－12＝23只。

（1）思路提示：设鸡求兔

（2）核心公式：兔头数＝（总脚数－2×总头数）÷2，鸡头数＝总头数－兔头数

【例19】有一个笼子里关着若干只兔子和鸡，鸡和兔子的数量之和与鸡腿和兔子腿之和的比是2：5。鸡和兔子的数量之比是（　　）。

A．1：3

B．3：1　

C．2：3

D．3：2

【答案】B

【解析】本题不需要实际计算出鸡和兔子的数量，假设鸡和兔子的数量分别为x和y，则根据题干可列出等式：（x＋y）：（2x＋4y）=2：5，即得出鸡与兔子的数量比是3：1。需要注意的是：①鸡与兔子之比，而不是兔子与鸡之比；②鸡只有2条腿，兔子有4条腿。

2．鸡兔同笼问题变形题

在职业能力测试中，经常出现的“得失”问题，也可看做鸡兔同笼问题，利用假设法求解。

（1）思路提示：设得求失

（2）核心公式：损失数＝（每件应得×总件数－实得数）÷（每件应得＋每件损赔）

“鸡兔同笼”问题的解法一般只适用于两类不同物体间的关系，当题目中涉及三类不同物体时，则需要找到其中两类物体的共同点，把它们看成一个整体，从而把三类物体间的关系转化为两类物体间的关系。

【例20】某班50名同学为灾区人民捐款，平均每个女同学捐款8元，每个男同学捐款5元，已知全班女同学比男同学多捐101元，求这个班男、女学生各多少人？（　  ）

A．男生28人  女生22人 

B．男生23人  女生27人

C．男生20人  女生30人 

D．男生26人  女生24人

【答案】B

【解析】解法一：假设男、女生各25人，那么女同学共捐8×25=200（元），男同学共捐5×25＝125（元），女同学比男同学多捐75元，比实际少了101－75＝26（元），说明女同学人数大于25人，每减少一个男同学增加一个女同学，男、女同学的捐款钱数的差就会增加5＋8=13（元），所以要减少2个男同学，增加2个女同学，即男同学有23个，女同学有27个。

解法二：假设女同学为x人，则男同学为50－x人。根据题干可知8x－5（50－x）=101。解得x=27，从而

50－x=23。

六、其他计数问题

1．比赛计数

指在比赛中，队伍或主办方要考虑的比赛场数，在实际比赛中，这类问题应用广泛。根据赛制的不同，比赛的场次也有所不同。

（1）淘汰赛

在第一轮比赛的时候，两两对决，胜者进入到以下一轮的比赛，负者直接被淘汰出局，最终得到比赛的冠军或者前四名。

①决出冠军或冠、亚军，比赛场次＝n－1；

②决出1、2、3、4名，比赛场次＝n，（n为比赛的队伍）；

【例21】某羽毛球协会举办羽毛球单打公开赛，共有1044人报名参加。比赛采取淘汰制。首先用抽签的方法抽出522对进行522场比赛，获胜的522人，进入第2轮比赛。第2轮比赛也用同样的抽签方法决定谁与谁比赛。这样比赛下去，假如没有人弃权，最少要打多少场才可决出冠军？（　　）

A．1044

B．1043 

C．874 

D．688

【答案】B

【解析】根据题意，由于是淘汰赛，最终决出冠军，共有1044人报名参加，则一共需要1044－1＝1043场比赛。

【例22】某单位组织的羽毛球男单比赛共有48名选手报名参加，比赛采用淘汰赛制，在比赛中负一场的选手即被淘汰，直至决出最后的冠军，如每名选手每天最多参加一场比赛，则比赛至少需要举行几天？（　  ）

A．4　 

B．5

C．6

D．7

【答案】C

【解析】要使比赛的天数最少，则需要每天比赛的选手尽可能的多，加之每名选手每天最多参加一场比赛。第一天总共比赛48÷2＝24场，还剩24名；第二天总共比赛24÷2＝12场，还剩12名；第三天总共比赛12÷2＝6场，还剩6名；第4天总共比赛6÷2＝3场，还剩3名。第五天选2人进行比赛，淘汰1人，剩下2人，第六天决出冠军。因此，比赛至少需要举行6天。

（2）循环赛

循环赛，是比赛的队伍任意两队之间都要碰面一次或者两次，即比赛一次或者两次，然后按照最后的积分排出名次。

①单循环，比赛一次，就称为是单循环赛，比赛场次＝；

②双循环，比赛两次，就称为是双循环赛，比赛场次＝2；

【例23】16支球队分两组，每组打单循环赛，共需打（　　）场比赛。

A．16　

B．56　 

C．64 　 

D．100

【答案】B

【解析】根据题意，由于16支球队分两组，每组8队，实行单循环赛，则每组需要打＝28（场），则两组共需要28×2＝56（场）。

（3）实际生活中，一般采用的是先打循环赛，再打淘汰赛，只要分清每个阶段，在相应阶段算出相应的比赛场次，然后再相加即可。

【例24】8个甲级队应邀参加比赛，先平均分成两组，分别进行单循环赛，每组决出前两名，再由每组的第一名和另一组的第二名进行淘汰赛，获胜者角逐冠、亚军，败者角逐第3、4名，整个赛程的比赛场数是（　　）。

A．16 

B．15　 

C．14　 

D．13

【答案】A

【解析】根据题意，将队伍分成两组，每组4队进行单循环赛，一共需要比赛2×＝12（场）；得到两组的前两名，一共四组队员进行淘汰赛，比赛得出前四名的排名，此时需要4场比赛，则一共需要12＋4＝16（场）比赛。

2．植树问题

（1）标准植树问题

在一条公路上等距离植树，如给出植树的方式（端点是否植树）、相邻两棵树之间的距离、路的总长度，就可以求出共需要植多少棵树。

植树问题研究的是总长、间距和棵数之间的相互关系。根据端点是否植树，可以分成三个类型（以下数量关系适用的是单边植树问题，双边植树问题需在此基础上乘以2）：

①路不封闭且两端均不植树：棵数＝总长÷间隔－1；

②路不封闭且只有一端植树、封闭道路植树（闭合曲线）：棵数＝总长÷间隔；

③路不封闭且两端均植树：棵数＝总长÷间隔＋1。

【例25】某村要在一条长360米的公路两边栽树，原计划每隔4米栽种一棵树，并已挖好了坑，现改为每隔6米栽种一棵树，则需要新挖坑和填坑的个数分别是（　　）。

A．40和50

B．80和100

C．30和60 

D．60和120

【答案】D

【解析】解法一：此题可先算公路一边需要新挖坑和填坑的数量。根据题意可知：原计划要挖坑的数量为

360/4＋1=91（个）；现计划要挖坑的数量为360/6＋1=61（个），又因4与6的公倍数是12，因此原计划和现计划一共有360/12＋1=31个坑重合，所以需要填的是91－31=60（个），需要挖的是61－31=30（个）。由此可知路两边需要填的坑为120个，需要挖的坑是60个。

解法二：4与6的公倍数为12，那么每隔12米就要挖一个坑、填两个坑，因此一共需要挖坑360/12=30（个）、填坑360/12×2=60（个）。由此可知路两边共需挖坑60个，填坑120个。

（2）植树问题的变形题

在数学运算中还有一些变形题，如锯木头、走楼梯等实际问题，这些变形只是形式上的改变，其本质仍然是植树问题。

解决植树问题的变形题，要注意端点是否“植树”。分清“棵数”与“段数”之间是＋1还是－1。常见的变形题：锯木头、爬楼梯、队列问题均可视为两端都不植树问题，其中的知识要点如下：

（1）锯木头：要锯成n段，则需锯（n－1）次；

【例26】一根钢管，如果把它锯成4段，需要24分钟。照此速度，如果将它锯成8段，需要多长时间 （　　）分钟？

A．42 

B．48　

C．56　

D．64

【答案】C

【解析】锯4段，需要锯3次，每次8分钟。锯8段，需要锯7次，共计56分钟。

（2）爬楼梯：从1层到n层，需爬（n－1）段楼梯；若每爬完一段，休息一次，则需休息（n－2）次；

【例27】某人要上某大厦的10楼，他从1楼到5楼用了100秒，按此速度，他到10楼还需要的时间为（　　）秒。

A．225

B．125　

C．100 

D．150

【答案】B

【解析】每层楼梯花了100÷（5－1）=25（秒），到10楼还需25×（10－5）=125（秒）

（3）排列问题：有n个人（或n辆车），中间有（n－1）个空。

【例28】一张节目表上原有3个节目，如果保持这三个节目的相对顺序不变，再添加2个新节目，有多少种安排方法？（　　）

A．20 

B．12　 

C．6　 

D．4

【答案】A

【解析】解法一：第一类：新节目不挨着，用插空法A²₄=12（种）；第二类：新节目挨着，用插空法A¹₄×A²₂=8（种）。根据加法原理，共有不同安排方法20种。

解法二：第一步：先插第一个节目，用插空法（有4个空）A¹₄=4（种）；第二步：再插第二个节目，用插空法（有5个空）A¹₅=5（种）；根据乘法原理，共有不同的安排方法20种。

解法三：一共5个节目，在5个位置中选两个安排新节目为A²₅=20（种）。

3．方阵计数

（1）题型简述

许多人或许多事物，按一定条件排成正方形或长方形，再根据已知条件求总人（物）数，这类问题称为方阵问题（也叫乘方问题）。

在解方阵问题时，首先要搞清方阵中的一些量（如层数、最外层人数、最里层人数、总人数）之间的关系。解题时要灵活运用方阵问题常用公式及性质。

（2）方阵问题常用公式及性质：

①方阵相邻两层人数相差8（此处需注意一种特殊情况：当实心方阵的最外层每边人数为奇数时，从内到外每层人数依次是1、8、16、24……）；

②核心公式：实心方阵总人数＝最外层每边人数²；

空心方阵总人数可利用等差数列求和公式来求（首项为最外层总人数，公差为－8的等差数列）；

③方阵每层总人数＝方阵每层每边人数×4－4；

④在方阵中若去掉一行一列，去掉的人数＝原来每行人数×2－1；

⑤在方阵中若去掉两行两列，去掉的人数＝原来每行人数×4－2×2。

【例29】用红、黄两色鲜花组成的实心方阵（所有花盆大小完全相同），最外层是红花，从外往内每层按红花、黄花相间摆放。如果最外层一圈的正方形有红花44盆，那么完成造型共需黄花（　　）。

A．48盆

B．60盆　 

C．72盆

D．84盆

【答案】B

【解析】在方阵中，相邻两圈之间相差8，即外圈数总是比内圈数多8，则相隔一圈相差16，并且构成等差数列；题中最外圈红花为44，则次外层黄花为36，则所需黄花总数为36＋20＋4＝60（盆）。

【例30】某部队战士排成了一个6行、8列的长方阵。现在要求各行战士从左至右1，2，1，2，1，2，1，2报数，各列再从前到后1，2，3，1，2，3报数。问在两次报数中，所报数字不同的战士有（　　） 人。

A．18　

B．24　

C．32　

D．36

【答案】C

【解析】研究第一列的情况，所报数字不同的战士有4人，其他各列情况相同，那么所求战士人数为

4×8=32（人）。

4．过河问题

过河问题中，过河时间一般指单程时间。涉及时间计算时要注意单程时间（过河时间）还是往返时间。每次过河后都需要有1个人将船划回来，而最后一次过河后，船不再需要被划回来。假设n个人过河，船最多载m个人，则过河次数k＝；若需要a个人划船，每次划船实质上只能渡过去m－a个人，最后一次可以过去m个人，即（m－a）×（k－1）＋m＝n，求解就可以得到过河次数k＝。

【例31】32名学生需要到河对岸去野营，只有一条船，每次最多载4人（其中需1人划船），往返一次需5分钟，如果9时整开始渡河，9时17分时，至少有（　　）人还在等待渡河。

A．15　

B．17　

C．19   

D．22

【答案】C

【解析】由于9时开始渡河，往返一次需5分钟，9点、9点5分、9点10分、9点15分，船各运一批人过河，所以一共运了4次（其中第4次还在路上）。因此共有4×（4－1）＋1＝13（人）已经离开了出发点，至少有32－13＝19（人）等待渡河。

【例32】毛毛骑在牛背上过河，他共有甲、乙、丙、丁4头牛，甲过河要20分钟，乙过河要30分钟，丙过河要40分钟，丁过河要50分钟。毛毛每次只能赶2头牛过河，要把4头牛都赶到对岸去，最少要多少分钟？（　　）

A．190  

B．170　

C．180

D．160

【答案】D

【解析】毛毛骑过河用时最短的甲牛赶其他牛过河，首先赶乙牛过河需要30分钟，骑甲牛返回对岸需要20分钟，再赶丙牛过河需要40分钟，骑甲牛返回对岸又需要20分钟，最后赶丁牛过河需要50分钟。此时所有的牛均过了河，总共需要的时间是30＋20＋40＋20＋50=160（分钟）。

5．空瓶换水问题

空瓶换水问题，即为等量转化问题，比如n个空瓶换m瓶饮料等。求解“已知y个空瓶可换n瓶饮料，假设某人买了x瓶饮料，问他最多能喝多少瓶饮料”的问题，解决此类问题的方法是采用“等价交换”的原则。

y个空瓶可换n瓶饮料时，可以推出“等量转化问题”的核心公式：

（1）若y个空瓶可换n瓶饮料，最多喝z瓶，则需要买x瓶饮料，有。

【例33】“红星”啤酒开展“7个空瓶换1瓶啤酒”的优惠促销活动。现在已知张先生在活动促销期间共喝掉347瓶“红星”啤酒，问张先生最少用钱买了多少瓶啤酒？（　　）

A．296瓶　 

B．298瓶　 

C．300瓶　 

D．302瓶

【答案】B

【解析】方法一：7个空瓶换1瓶啤酒，则张先生最少用钱买了347－（347÷7）≈298（瓶）啤酒。

方法二：设未知数列方程：设买了x瓶啤酒，根据6个空瓶＝1个啤酒得：347＝x＋x/6，得x＝297.4，啤酒的瓶数不能是小数，则最少用钱买了298瓶。

（2）若y个空瓶可换n瓶饮料，买了x瓶饮料，则最多可以喝z瓶，有。

【例34】某超市1瓶啤酒的价格是3元，退还5个啤酒瓶可以换1瓶啤酒。小明现在要买24瓶啤酒，则他最多可以喝多少瓶啤酒？（　　）

A．29　 

B．30　

C．31　 

D．32

【答案】A

【解析】方法一：5个啤酒瓶＝1瓶啤酒，则4个瓶可以换1瓶容量的酒，24÷4＝6。注意这里24被4整除，因此实际上只能换5瓶酒，所以总共可以喝29瓶啤酒。

方法二：小明刚开始有24个空瓶，则他第一次可以换4瓶啤酒，然后还剩8个空瓶，第二次可以换1瓶啤酒，还剩4个空瓶，不能再换啤酒，所以他可以喝24＋4＋1＝29（瓶）啤酒。

6．几何元素计数

点、线、角、面等的个数。

【例35】2010条直线能把平面最多分成多少块？（　　）

A．2010

B．2011 

C．2021055 

D．2021056

【答案】D

【解析】N条直线把平面分成多少块的规律为：①最少分成N＋1块，即所有直线平行；②最多分成（N²＋N＋2）／2块，即没有两条直线是平行的。（2010²＋2010＋2）÷2=2021056（块）。

【例36】在筑篱笆时，木工在一直线上放了20根柱子，每两根柱子之间的距离为4米，篱笆长（　　）。

A．40米

B．54米

C．66米

D．76米

【答案】D

【解析】每根柱子可看做一个点，直线被20个点分成19段，每段长4米，故篱笆长度为19×4=76（米）。

【例37】下图五角星中共有三角形（　  ）。

A．5个 

B．8个 

C．10个

D．11个

【答案】C

【解析】本题所给五角星中共有三角形10个：每个角独立的三角形各一个，共5个；每个角与对角分别形成2个三角形，重复数为5，共2×5－5=5（个），则所给五角星中共有三角形5＋5=10（个），注意不要重复数。

7．剪绳计数

绳子的段数总是比切口数多1；一根绳子连续对折N次，从中剪M刀，则绳子被剪成2^N×M＋1段。

【例38】把一根线绳对折、对折、再对折，然后从对折后线绳的中间剪开，这根线绳被剪成了几小段？（　　）

A．6　 

B．7　 

C．8　 

D．9

【答案】D

【解析】对折n次，可以剪成2n＋1段，则根据题意，这根线绳被剪成2³＋1=9（段）。