第四章 比例问题
比例问题包括工程问题、浓度问题等，“设1法”是比例问题的核心解题方法，即将某个量设为便于计算的某一常数。“设1法”使用的前提是题目中没有涉及某个具体量的大小，并且这个具体量的大小并不影响最终结果。不仅工程问题、浓度问题经常用到“设1法”，往返行程问题、几何问题、费用问题、和差倍比问题等也经常用到。
一、工程问题
工程问题是将一般的工作问题分数化，即从分数的角度研究工作总量、工作时间、工作效率三者之间关系的问题。核心公式为工作总量＝工作效率×工作时间。在工程问题中，效率是解题的关键，无论是列方程还是分析各量关系，都要选择效率作为思考的着眼点。
在工程问题中，工程总量一般是不需要具体值的，通常设为1，然后表示出效率进行求解。但此时效率往往表示为分数，求解较费时间。因此对很多问题，将工作总量设为合适的常数，更能方便快速地解题。这里的常数一般是完成时间的最小公倍数。
1．多人合作型问题
题型简述：此类问题，一般表达为一个人需多少天完成，另一人或几人需多长时间完成，问一起合作需多久完成。
思路提示：计算这类问题时，首先要计算清楚合作后的工作效率，根据工作总量就可以算出工作时间了。
【例1】甲乙两个工程队修一条公路，甲工程队修了500米以后，乙工程队来修，以往资料显示，乙工程队的效率是甲工程队的2倍，乙工程队修600米公路所用的时间比甲工程队修500米公路时间还少20天，甲工程队效率是（ ）米/天。
A．25
B．15
C．20
D．10
【答案】D
【解析】甲乙的工作时间是2:1，乙工程队修500米的时间和修600米的时间比是5:6，联立则有甲修500米时间和乙修600米的时间是10:6＝5:3；由于差值是20天，则甲修500米的时间是5×20/2＝10（天），则其效率是500÷50＝10（米/天）。
【例2】完成某项工程，甲单独工作需要18小时，乙需要24小时，丙需要30小时。现按甲、乙、丙的顺序轮班工作，每人工作一小时换班。当工程完工时，乙总共干了（ ）。
A．8小时
B．7小时44分钟
C．7小时
D．6小时48分钟
【答案】B
【解析】甲、乙、丙三人各工作一小时的效率之和为
＋
＋
＝
，
小时，即都工作7个小时后还有
未做。之后甲再工作1小时，还有
＝
＜，需要乙再用÷＝
小时＝44分钟完成，故乙一共工作了7小时44分钟。
2．无顺序变动合作问题
题型简述：多人合作完成某项工程，参与人员分阶段发生变动，每阶段参与时间明确。
思路提示：对合作的几人，只要保证每个人的工作总量保持不变，则他们之间的合作关系可以任意打乱重排，可以按照题目给出的条件进行合作关系的重新调整（拆分组合），以及单独考虑某人的工作全程（组合）。
无顺序变动合作问题，对打乱重组的技巧性要求较高，要求考生迅速判断复杂的合作过程，在每个人的工作总量保持不变的前提下，按照题目给出的条件进行合作关系的重新排列。
【例3】一项工程如果交给甲乙两队共同施工，8天能完成；如果交给甲丙两队共同施工，10天能完成；如果交给甲丁两队共同施工，15天能完成；如果交给乙丙丁三队共同施工，6天就可以完成。如果甲队独立施工，需要多少天完成？（ ）
A．16
B．20
C．24
D．28
【答案】C
【解析】8、10、15和6的最小公倍数为120，假定这项工程的工作量为120，甲队每天的工作量为x，则有
[（
－x）＋（
－x）＋（
－x）]×6＝120，得x＝5。故甲队独立施工，需要
＝24（天）完成。
【例4】一项工程由甲、乙、丙三个工程队共同完成需要15天，甲队与乙队的工作效率相同，丙队3天的工作量与乙队4天的工作量相同，三队同时开工2天后，丙队被调往另一工地，甲、乙两队留下继续工作。那么，开工22天以后，这项工程（ ）。
A．已经完工
B．余下的量需甲乙两队共同工作1天
C．余下的量需乙丙两队共同工作1天
D．余下的量需甲乙丙三队共同工作1天
【答案】D
【解析】由条件可设甲、乙一天的工作量为x，丙一天工作量为y，假设总工作量为1，则
,
，解得
，
。工作22天后剩余工作量为
，因此，三队共同工作1天完成。
3．两人合作调整型问题
题型简述：先给出一种两人合作完成某工程的方案，然后给出另一种同样可以完成该工程的方案，待求相关量。
思路提示：分析前后方案的差异之处，确定两人之间的效率比例关系，即多少份的A相当于多少份的B。基于比例关系快速求解。
【例4】校对一份书稿，编辑甲每天的工作效率等于编辑乙、丙每天工作效率之和，丙的工作效率相当于甲、乙每天工作效率之和的
，如果三人一起校对只需6天就可完成。现在如果让乙一人单独校对这份书稿，则需要（ ）天才能完成。
A．20
B．16
C．24
D．18
【答案】D
【解析】三人一起完成校对需要6天，那么三人每天的效率之和是
，因为甲每天的工作效率等于乙、丙每天工作效率之和，那么甲的工作效率为
，乙、丙的效率和也是，设乙单独完成校对需要X天，那么根据题意可得到方程：
解得X=18（天），即乙单独完成校对需要18天。
【例5】某项工程，小王单独做需15天完成，小张单独做需10天完成。现在两人合做，但中间小王休息了5天，小张也休息了若干天，最后该工程用11天完成。则小张休息的天数是（ ）。
A．6
B．2
C．3
D．5
【答案】D
【解析】假设工作总量为15、10的最小公倍数，即30。根据题意，小王每天的工作量为30/15＝2，小张每天的工作量为30/10＝3，则在两人合作期间，小王的工作量为2×（11－5）＝12，小张的工作量为30－12＝18，所以小张工作了18/3＝6（天），则休息了11－6＝5（天）。
【例6】某工厂的两个车间共有120名工人，每名工人每天生产15件设备。如果将乙车间工人的
调到甲车间，则甲车间每天生产的设备数将比乙车间多120件。问原来乙车间比甲车间多多少人？（ ）
A．12
B．24
C．36
D．48
【答案】D
【解析】设乙车间原有x人，“将乙车间工人的调到甲车间”后，乙车间剩
x人，此时，“甲车间每天生产的设备数将比乙车间多120件”，即甲车间比乙车间多了＝8人，则甲车间为x＋8人。则有x＋（x＋8）＝120，x＝84。故原来乙车间比甲车间多84－（120－84）＝48（人）。
4．效率变动型问题
题型简述：不同效率导致完工时间不同，出现“提前”或“延迟”等提示词语。
思路提示：利用工程量保持不变时，工作效率与工作时间成反比，通过时间、效率中一个量的前后比例来反映另一个量的前后比例。
【例7】生产队预计30天修完一条水渠，先由18人修12天完成工程的
，如果要提前6天完工，还要再增加多少人？（ ）
A．18人
B．36人
C．12人
D．20人
【答案】A
【解析】一个人工作一天叫一个“工作日”。由“18人修12天完成工程的”可知，完成工作的需工作日
18×12=216（个），则剩余工作所需工作日为：216×[（1-）÷]=432（个）工作日；剩余天数是：30－6－12=12天；剩余工作所需人数为：432÷12=36（人）；所需增加人数为：36－18=18（人）。
【例8】某行政村计划15天完成春播任务1500亩，播种5天后，由于更新机械，工作效率提高25%，问这个行政村会提前几天完成这1500亩的春播计划？（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】C
【解析】根据题意，由于工作效率提高了25%，前后工作效率之比为4:5，则在工作总量相同的情况，工作时间之比为5:4，在播种5天之后，按照原来的效率，还需要播种15－5＝10（天），提高效率之后，则只需要8天，即提前了10－8＝2（天）。
4．工程问题变形——水管注水问题
（1）只进不出型，指的是在注水的时候，只需要考虑进水管，排水管是关闭的，这就和工程问题是相同的，只是表述不同。
【例9】某水池装有甲、乙、丙三根管，单独开放甲管12分钟可注满全池，单独开乙管15分钟可注满全池，单独开丙管20分钟可注满全池，如果三管齐开，几分钟可注满水池？（ ）
A．6
B．8
C．5
D．4
【答案】C
【解析】根据题意，由于单开甲用12分钟，单开乙用15分钟，单开丙用20分钟，设总量为12、15、20的最小公倍数，即60。则甲管每分钟进水量为5，乙管每分钟排水量为4，丙管每分钟进水量为3，三管齐开每分钟进水量为5＋4＋3＝12。则放满水需要60/12＝5（分钟）。
（2）有进有出型，指的是在注水的时候，不仅要考虑进水管，还要考虑排水管，是工程问题的变形，即排水管是把进水管的效率降低的水管。
【例10】一个浴缸要放满水需要30分钟，排光一浴缸水需要50分钟，假如忘记关上出水口，将这个浴缸放满水需要多少分钟？（ ）
A．65
B．75
C．85
D．95
【答案】B
【解析】根据题意，注满水需要30分钟，排完需要50分钟，假设浴缸的水量为30、50的最小公倍数，即150，则每分钟放水的量为5，每分钟排水的量为3，每分钟净进水的量为5－3＝2，则放满水需要150/2＝75（分钟）。
二、浓度问题
溶度问题的核心公式为浓度＝溶质÷溶液，溶液＝溶质＋溶剂。浓度问题主要考查浓度、溶质、溶液三个量的相互转化关系，特别是各个量的变化对浓度的影响。只增加溶质或减少溶剂，溶液的溶度都会增大；如果题中表明的是溶液在增大，则要注意题目中的不变量及相等量，以此求解。浓度问题中常用的解题技巧包括列方程、赋值法、抓不变量法。
1．溶质不变、溶液变化
（1）题型简述
一般包括两个方面，稀释（加入溶剂）和蒸发（减少溶剂）。为了更好地说明解题的技巧，把浓度发生一次变化的试题，称为单次稀释或者蒸发；浓度多次变化的称为多次稀释或者蒸发。
（2）解题技巧
在解题时，把握住问题的本质——溶质质量不变。具体的解题技巧有：
①对于单次稀释或者蒸发试题，采用基础公式——浓度＝溶质/溶液求解即可。
②对于单次稀释或者蒸发试题，采用方程法解答，其等量关系，就是溶液变化前后的溶质质量不变。这种方法在本质上和公式法相同。
③对于多次稀释或者蒸发问题，采用特殊值法解答，在设置特殊值的时候，可以有两种情况，一是将溶液质量设为特殊值，这个特殊值一般设为整百的数值；二是将溶质质量设为特殊值，这个特殊值是各个浓度值的最小公倍数。
【例11】一种溶液，蒸发一定水后，浓度为10%；再蒸发同样的水，浓度为12%；第三次蒸发同样多的水后，浓度变为多少？（ ）
A．14%
B．17%
C．16%
D．15%
【答案】D
【解析】解法一：设其溶质为60，则可知其浓度在10%时，溶液量为600，其浓度在12%时，溶液量为500，在变化过程中蒸发掉了水为100，则第三次蒸发同样多的水后，溶液还剩400，即其浓度为15%。
解法二：溶质的量不变，设溶液量为X，蒸发掉的水为Y，所求的浓度为M，根据题意，则有方程
（X－Y）×10%=（X－2Y）×12%=（X－3Y）×M，所得M=15%。
2．溶质变化、溶液不变
把一个瓶子里面的溶液倒掉一部分，再加入一些其他物质，加入的物质，可以是溶剂，可以是溶质，也可以是溶液，让加入的量填满瓶子，溶液的质量不会变化，但是溶质的质量肯定会变化。
（1）每次倒出去的比重不同
由于溶液质量是一定的，在解题时，可以采用特殊值法来解答，特殊值在设置的时候，设置溶液的质量，因为溶液的质量不会变化。
【例12】一满杯纯牛奶，喝去20%后用水加满，再喝去60%。此时杯中的纯牛奶占杯子容积的百分数为（ ）。
A．52%
B．48%
C．42%
D．32%
【答案】D
【解析】根据题意，由于添加的是水，形成的溶液是混合均匀溶液，则喝掉的溶液的比例，是喝掉的溶质的比例。由题意可知，剩下的纯牛奶的比例为（1－20%）（1－60%）＝80%×40%＝32%。
（2）每次倒出去的比重相同
如果满瓶溶液的浓度为C，第一次倒出1/n，加满水（溶剂）；第二次倒出1/n，加满水（溶剂）；如此反复m次，则最终得到的溶液的浓度P为：P＝C×（1－1/n）m。
若每次用水重复稀释时，可直接利用公式计算：
①设已有溶液质量为m，每次倒出溶液为
，再添入清水补满，重复n次：
c＝（
）n×c0
②设已有溶液质量为m，每次先倒入清水，再倒出溶液，重复n次：
c＝（
）n×c0
其中c为稀释后的浓度，c0为溶液原来的浓度。
【例13】从装有100克浓度为10%的盐水瓶中倒出10克盐水后，再向瓶中倒入10克清水，这样算一次操作，照这样进行下去，第三次操作完成后，瓶中盐水的浓度为（ ）。
A．7%
B．7.12%
C．7.22%
D．7.29%
【答案】D
【解析】由于每次倒出去之后，都向瓶子里面加入水（溶剂），溶液质量保持不变，一共有100g，每次倒出去10g，即倒出去10/100＝1/10，操作三次，则瓶子中的浓度为10%×（1－1/10）3＝10%×（9/10）3，能被9整除，因此D项正确。
3．溶质变化、溶液变化（溶液混合问题）
（1）题型简述：把两种或者两种以上的溶液混合在一块，溶质质量、溶液质量发生变化。
（2）思路提示
①以两溶液混合为例，分别设两溶液质量为m1、m2，浓度为c1、c2，混合后浓度为c，则有混合公式：
m1c1＋m2c2＝（m1＋m2）c
②十字交叉法。操作过程如下图所示：
③有时为仅涉及溶质、溶剂等量之间的比例，不涉及具体总量的抽象比例浓度问题，此时为题中所出现的“不变量”或“相等量”赋值，然后代入计算。
【例14】甲、乙两瓶酒精溶液分别重400克和150克，甲中含酒精120克，乙中含酒精90克。从两瓶中应各取出（ ）才能兑成浓度为50%的酒精溶液150克。
A．甲100克，乙50克
B．甲90克，乙60克
C．甲60克，乙90克
D．甲50克，乙100克
【答案】D
【解析】由题干可知，甲中酒精浓度为120÷400×100%=30%，乙中酒精浓度为90÷150×100%=60%。根据十字交叉法：
所以两种酒精溶液的质量比为1：2，混合溶液共150克，应取甲溶液150×
=50克，乙溶液150×
＋2=100（克）。
【例15】取甲种硫酸300克和乙种硫酸250克，再加水200克，可混合成浓度为50%的硫酸；而取甲种硫酸200克和乙种硫酸150克，再加上纯硫酸200克，可混合成浓度为80%的硫酸。那么，甲、乙两种硫酸的浓度各是多少？（ ）
A．75%，60%
B．68%，63%
C．71%，73%
D．59%，65%
【答案】A
【解析】根据题意，假设甲硫酸浓度为x，乙硫酸浓度为y，则有（300x＋250y）/（300＋250＋200）＝50%；
（200x＋150y＋200）/（200＋150＋200）＝80%；得x＝75%，y＝60%。
【例16】两个相同的瓶子装满酒精溶液，一个瓶子中酒精与水的体积比是3:1，另一个瓶子中酒精与水的体积比是4:1，若把两瓶酒精溶液混合，则混合后的酒精和水的体积之比是多少？（ ）
A．31:9
B．7:2
C．31:40
D．20:11
【答案】A
【解析】两个瓶子中酒精含量占溶液总量分别为：
，
。将两个分数
和
化成分母相同的分数，即
，
。所以，混合溶液中酒精与溶液总量之比为31:40，那么，酒精与水的比为31:9。
【例17】三个容积相同的瓶子里装满了酒精溶液，酒精与水的比分别是2:1，3:1，4:1。当把三瓶酒精溶液混和后，酒精与水的比是多少？（ ）
A．133:47
B．131:49
C．33:12
D．3:1
【答案】A
【解析】由于第一个瓶子的体积比是2:1，则瓶子体积能被2＋1＝3整除，同理可知，体积能被4、5整除，假设瓶子体积为3、4、5的最小公倍数60。则第一个瓶子里的酒精是60×2/3＝40，水是60－40＝20；第二个瓶子里面的酒精是60×3/4＝45，水是60－45＝15；第三个瓶子里面的酒精是60×4/5＝48，水是60－48＝12；当三个瓶子的溶液混合后，酒精的含量是40＋45＋48＝120＋13＝133，水的含量是20＋15＋12＝47，两者的比例就是133:47。