第一部分　名师讲义

第一章　概率统计基础知识

第一节　概率基础知识

一、事件与概率

（一）随机现象

1．概念

在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象。

只有一个结果的现象称为确定性现象。

2．特点

（1）随机现象的结果至少有两个；

（2）至于哪一个出现，事先并不知道。

认识一个随机现象首要的是罗列出它的一切可能发生的基本结果。这里的基本结果称为样本点，随机现象一切可能样本点的全体称为这个随机现象的样本空间，常记为Ω。（Ω是一个集合，每个样本点就是这个集合中的一个元素。试分析抛一枚硬币的样本空间、掷一颗骰子的样本空间）

【例题1.1.1】下列表述中，属于随机现象的是（　　）。

A．一天内进入超市的顾客数

B．一天之内的小时数

C．顾客在商场购买的商品数

D．一棵树上出现的害虫数

E．加工某机械轴的误差

【答案】ACDE

【解析】在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象。随机现象具有两个特点：①随机现象的结果至少有两个；②至于哪一个出现，事先并不知道。“一天之内的小时数”这一现象的结果只有一个，属于确定性现象。

（二）随机事件

随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事件，简称事件，常用大写字母A、B、C等表示。

1．随机事件的特征

（1）任一事件A是相应样本空间Ω中的一个子集。常用维恩（Venn）图表示样本空间与事件的关系，如图1-l所示。（长方形代表样本空间Ω，长方形中的一个圆（或其他几何图形）代表事件A）

图1-1  维恩（Venn）图

（2）事件A发生当且仅当A中某一样本点发生，若记ω₁，ω₂是Ω中的两个样本点（如图1-1）：

当ω₁发生，且ω₁∈A（表示ω₁在A中），则事件A发生；

当ω₂发生，且ω₂A（表示ω₂不在A中），则事件A不发生。

（3）事件A的表示可用集合，也可用语言，但所用语言应是明白无误的。

（4）任一样本空间Ω都有一个最大子集，这个最大子集就是Ω，它对应的事件称为必然事件，仍用Ω表示。

（5）任一样本空间Ω都有一个最小子集，这个最小子集就是空集（不包含样本空间中的任何一个样本点），它对应的事件称为不可能事件，记为ø。

【例题1.1.2】若产品只区分合格与不合格，并记合格品为“0”，不合格品为“1”。则

（1）检查两件产品的样本空间Ω由下列四个样本点组成。

Ω＝{（0，O），（0，1），（1，O），（1，1）}

其中样本点（0，1）表示第一件产品为合格品，第二件产品为不合格品，其他样本点可类似解释。

下面几个事件可用集合表示，也可用语言表示。

A＝“至少有一件合格品”＝{（0，0），（0，1），（1，0）}；

B＝“至少有一件不合格品”＝{（0，1），（1，0），（1，1）}；

C＝“恰好有一件合格品”＝{（0，1）（1，0）}；

Ω＝“至多有两件合格品”＝{（0，0），（0，1），（1，0），（1，1）}；（必然事件）

ø＝“有三件不合格品”＝空集。（不可能事件）

（2）检查三件产品的样本空间Ω含有2³＝8个样本点。

Ω＝{（0，0，O），（0，0，1），（0，1，O），（1，0，O），（0，1，1），（1，0，1），（1，1，O），（1，1，1）}

下面几个事件可用集合表示，也可用语言表示。

A＝“至少有一件合格品”＝{Ω中剔去（1，1，1）的其余7个样本点}；

B＝“至少有一件不合格品”＝{Ω中剔去（0，0，0）的其余7个样本点}；

C_l＝“恰有一件不合格品”＝{（0，0，1），（0，1，0），（1，0，0）}；

C₂＝“恰有两件不合格品”＝{（0，1，1），（1，0，1），（1，l，0）}；

C₃＝“全是不合格品”＝{（1，1，1）}；

C₀＝“没有不合格品”＝{（0，0，O）}。

2．随机事件之间的关系

（1）包含

概念：在一个随机现象中有两个事件A与B，若事件A中任一个样本点必在B中，则称A被包含在B中，或B包含A，记为，这时事件A的发生必导致事件B发生。如图1-2所示。

显然，对任一事件A，有。

图1-2 

（2）互不相容

概念：在一个随机现象中有两个事件A与B，若事件A与B没有相同的样本点，则称事件A与B互不相容。这时事件A与B不可能同时发生，如图1-3所示。

图1-3  A与B互不相容

两个事件间的互不相容性可能推广到三个或更多个事件间的互不相容。

【例题1.1.3】设事件A与B互不相容，则下列说法中，正确的有（　　）。[2010年真题]

A．A与B没有相同的样本点

B．A∪B=Ω

C．AB=ø

D．A与B相互独立

E．A与B不能同时发生

【答案】AE

【解析】在一个随机现象中有两个事件A与B，若事件A与B没有相同的样本点，则称事件A与B互不相容。则A与B的交集为空集，A与B不能同时发生。

（3）相等

概念：在一个随机现象中有两个事件A与B，若事件A与B含有相同的样本点，则称事件A与B相等，记为A＝B。（两个相等事件用点的集合表述时应完全相同，但如用语言表述则可能有不同的表述方式）

注意：如果两个事件相等，它们必互相包含，即若A＝B，则有反之若两个事件互相包含，则它们相等。

（三）事件的运算

1．对立事件。在一个随机现象中，Ω是样本空间，A为事件，由包含在Ω中而不在A中的样本点组成的事件称为A的对立事件，记为（如图1-4所示）。（显然，对立事件必然是互不相容的）

图1-4 

2．事件的并。由事件A与B中所有样本点（相同的只计入一次）组成的新事件称为A与B的并，记为A∪B，如图1-5所示。并事件A∪B发生意味着“事件A与B中至少一个发生”。（“或者”关系）

图1-5  A与B的并

3．事件的交。由事件A与B中公共的样本点组成的新事件称为事件A与B的交，记为A∩B或AB，如图1-6所示。交事件AB发生意味着“事件A与B同时发生”。（“并且”关系）

图1-6  A与B的交

事件的并和交可以推广到多个事件中。

4．事件的差。由在事件A中而不在B中的样本点组成的新事件称为A对B的差，记为A-B，如图1-7所示。

图1-7（a）  A-B

图1-7（b）  A-B

事件运算的性质（集合的基本运算法则）：

（1）交换律：A∪B＝B∪A，A∩B＝B∩A

（2）结合律：A∪（B∪C）＝（A∪B）∪C，A∩（B∩C）＝（A∩B）∩C

（3）分配律：A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C），A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C）

（4）对偶律：

以上性质都可用维恩图加以验证，都可以推广到更多个事件的运算中。

【例题1.1.4】设事件A＝“某零件寿命小于1000小时”，事件B＝“某零件寿命大于8000小时”，则A与B之间的关系是（　　）。

A． 

B． 

C．A＝B 

D．AB＝ø

【答案】D

【解析】因为事件A与事件B中无相同的样本点，所以事件A与事件B的交集为空集，即AB＝ø。

（四）概率——事件发生可能性大小的度量

一个随机事件A发生可能性的大小称为这个事件的概率，并用P（A）表示。概率是一个介于0到1之间的数。概率愈大，事件发生的可能性就愈大；概率愈小，事件发生的可能性也就愈小。特别，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，即：

P（ø）=0，P（Ω）=1

二、概率的古典定义与统计定义

（一）概率的古典定义

1．概率的古典定义要点

（1）所涉及的随机现象只有有限个样本点，设共有n个样本点；

（2）每个样本点出现的可能性相同（等可能性）；

（3）若被考察的事件A含有k个样本点，则事件A的概率为：

2．计数原理

（1）乘法原理：如果做某件事需经k步才能完成，其中做第一步有m₁种方法，做第二步有m₂种方法，……，做第k步有m_k种方法，那么完成这件事共有m₁×m₂×…×m_k种方法。

（2）加法原理：如果做某件事可由k类不同方法之一去完成，其中在第一类方法中又有m₁种完成方法，在第二类方法中又有m₂种完成方法，……，在第k类方法中又有m_k种完成方法，那么完成这件事共有m₁＋m₂＋…＋m_k种方法。

3．排列组合的定义及计算公式

（1）排列：从n个不同元素中任取r（r≤n）个元素排成一列称为一个排列。按乘法原理，此种排列共有n×（n-1）×…×（n-r+1）个，记为。若r＝n，称为全排列，全排列数共有n！个，记为P_n，即：

（2）重复排列：从n个不同元素中每次取出一个作记录后放回，再取下一个，如此连续取r次所得的排列称为重复排列。此种重复排列共有n^r个。注意这里的r允许大于n。

（3）组合：从n个不同元素中任取r（r≤n）个元素并成一组（不考虑其间顺序）称为一个组合，此种组合数为：

规定。

注意：排列与组合都是计算“从n个不同元素中任取r个元素”的取法总数公式，其间主要差别在于：讲究取出元素间的次序，用排列公式；不讲究取出元素间的次序，用组合公式。至于是否讲究次序，应从具体问题背景加以辨别。

（二）概率的统计定义

概率的统计定义的要点：

（1）与事件A有关的随机现象是可以大量重复试验的；

（2）若在n次重复试验中，事件A发生k_n次，则事件A发生的频率为：

频率f_n（A）能反映事件A发生的可能性大小；

（3）频率f_n（A）将会随着重复试验次数不断增加而趋于稳定，这个频率的稳定值就是事件A的概率。在实际中无法把一个试验无限次地重复下去，只能用重复试验次数n较大时的频率去近似概率。

三、概率的性质及其运算法则

（一）概率的基本性质及加法法则

性质1：概率是非负的，其数值介于0与1之间，即对任意事件A，有：

0≤P（A）≤1

特别，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，即：

P（ø）＝0，P（Ω）＝1

性质2：若是A的对立事件，则：

或

【例题1.1.4】抛三枚硬币，至少一个正面出现（记为事件A₃）的概率是多少？

解：在抛三枚硬币的随机试验中，诸如（正，反，正）这样的样本点共有8个。A₃中所含这样的样本点较多，但其对立事件＝“抛三枚硬币，全是反面”＝{（反，反，反）}，只含一个样本点，从等可能性可知。再由性质2，可得：

性质3：若，则：

P（A-B）＝P（A）-P（B）

性质4（加法法则）：事件A与B的并的概率为：

P（A∪B）＝P（A）+P（B）-P（AB）

特别若A与B互不相容，由于P（AB）＝P（ø）＝0，则：

P（A∪B）＝P（A）+P（B）

【例题1.1.5】已知P（A）＝0.5，P（B）＝0.6，P（A∪B）＝0.8，可算得P（AB）＝（　　）。[2007年真题]

A．0.2 

B．0.3  

C．0.4 

D．0.5

【答案】B

【解析】根据概率的加法法则：P（A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（AB），则有P（AB）＝P（A）＋P（B）－P（A∪B）＝0.5＋0.6－0.8＝0.3。

性质5：对于多个互不相容事件A₁，A₂，A₃，…，有：

P（A₃∪A₂∪A₃∪…）＝P（A₁）+P（A₂）+P（A₃）+…

【例题1.1.6】设A、B为两随机事件，P（A）=0.7，P（A-B）=0.3，则P（）=（　　）。[2008年真题]

A．0.4

B．0.5

C．0.6

D．0.7

【答案】C

【解析】已知A、B为两随机事件，P（A）=0.7，P（A-B）=0.3，所以P（AB）=P（A）-P（A-B）=0.7-0.3=0.4，则P（）=1-P（AB）=1-0.4=0.6。

（二）条件概率及概率的乘法法则

条件概率涉及两个事件A与B，在事件B发生的条件下，事件A发生的概率称为条件概率，记为P（A︱B）。条件概率的计算公式为：

性质6（乘法法则）：对任意两个事件A与B，有：

【例题1.1.7】一样本空间Ω含有25个等可能的样本点，而事件A与B各含有13个与7个样本点，其中4个是共有的样本点，则（　　）。

【答案】C

【解析】依题意画出维恩图，如图1-8所示。

图1-8

由图可知

。

【例题1.1.8】某种动物能活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率是0.4，如今已活到20岁的这种动物至少能再活5年的概率是（　　）。[2006年真题]

A．0.3　   

B．0.4  　 

C．0.5

D．0.6

【答案】C

【解析】记事件A_X＝“某种动物能活到X岁”，则根据题意可知P（A₂₀）＝0.8，P（A₂₅）＝0.4，所求的概率为P（A₂₅︱A₂₀），由于该动物活到25岁一定要先活到20岁，所以，则交事件A₂₅A₂₀＝A₂₅，故

。

（三）独立性和独立事件的概率

设有两个事件A与B，假如其中一个事件的发生不影响另一个事件的发生与否，则称事件A与B相互独立。

性质7：假如两个事件A与B相互独立，则A与B同时发生的概率为：

性质8：假如两个事件A与B相互独立，则在事件B发生的条件下，事件A的条件概率等于事件A的（无条件）概率P（A）。

两个事件的相互独立性可以推广到三个或更多个事件的相互独立性。若A₁，A₂，A₃，A₄为相互独立的四个事件，则。

【例题1.1.8】设事件A与B相互独立，则下列结论中，正确的有（　　）。[2010年真题]

A．事件A发生不影响事件B发生的概率

B．P（AB）=P（A）P（B）

C．P（A）+P（B）=P（AB）

D．P（B）=P（）P（B）

E．A与B不可能同时发生

【答案】ABD

【解析】事件A与B，假如其中一个事件的发生不影响另一个事件的发生与否，则称事件A与B相互独立。若事件A与B相互独立，则事件A发生不影响事件B发生的概率；事件A与B同时发生的概率为：P（AB）=P（A）P（B）；事件与B也相互独立，即P（B）=P（）P（B）。

【例题1.1.9】设三个事件A、B、C相互独立，发生概率均为1／3，则A、B、C中恰好发生一个的概率为（　　）。[2010年真题]

A．1／9

B．2／9

C．4／9

D．5／9

【答案】C

【解析】依题意，A、B、C三个事件中恰好发生一个的概率为：

P=P=1/3×2/3×2/3+1/3×2/3+2/3×2/3×1=4/9。