第一部分　历年真题

2013年成人高考专科起点升本科《高等数学（一）》真题及详解

一、选择题：（第1～10小题，每道小题4分，共40分。在每道小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，选出正确选项。）

1．＝（　　）。

A．e

B．1

C．

D．－e

【答案】C

【解析】由于为连续函数，x＝０在函数的定义区间内，因此可直接将x＝0代入函数求极限，得。

2．设，则y＇＝（　　）。

A．2x

B．3＋2x

C．3

D．

【答案】A

【解析】。

3．设，则dy＝（　　）。

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】。

4．设y＝，则y＇＝（　　）。

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】。

5．设y＝3＋sinx，则y＇＝（　　）。

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】。

6．＝（　　）。

A．

B．2

C．x

D．2x

【答案】A

【解析】由可变限积分求导公式可知。

7．＝（　　）。

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】。

8．＝（　　）。

A．

B．0

C．

D．1

【答案】B

【解析】。

9．设z＝3＋5y，则＝（　　）。

A．5ｙ

B．3x

C．6x

D．6x＋5

【答案】C

【解析】z＝3x2＋5y，。

10．微分方程的阶数为（　　）。

A．1

B．2

C．3

D．4

【答案】A

【解析】微分方程所含有未知函数y的导数最高阶数为1，为一阶微分方程。

二、填空题：（第11～20小题，每道小题4分，共40分。将答案填写在题中横线上。）

11．＝_______。

【答案】2e

【解析】

12．设y＝(x＋3)2，则y＝_______。

【答案】2(x＋3)

【解析】

13．设，则y＇＝_______。

【答案】

【解析】

14．设y＝5＋lnx，则dy＝_______。

【答案】

【解析】

15．＝_______。

【答案】

【解析】

16．＝_______。

【答案】2（e－1）

【解析】。

17．过坐标原点且与平面2x－y＋z＋1＝0平行的平行方程为_______。

【答案】2x－y＋z＝0

【解析】已知平面的法线向量为(2，－1，1)，所求平面与已知平面平行，因此平面方程可设为，又平面过原点，故D＝0，即所求平面方程为2x－y＋z＝0。

18．设z＝xy，则dz＝_______。

【答案】

【解析】z＝xy，则＝y，＝x．由于dz＝可知dz＝ydx＋xdy。

19．幂级数的收敛半径R＝_______。

【答案】1

【解析】对于级数，，。

20．设区域D＝，则_______。

【答案】π

【解析】积分区域D＝为圆域，其半径为2，D的面积为又由二重积分性质可知

三、解答题（21～28题，共70分。解答应写出推理、演算步骤。）

21．设函数，在x＝1处连续，求a。(本题满分为8分)

解：f(x)在x＝1处连续，有

得a＝2。

22．求(本题满分为8分)

解：利用洛必达法则，得

23．求．(本题满分为8分)

解：

＝2ln2

24．求函数的极大值与极小值。(本题满分为8分)

解：

令f′(x)＝0，解得x₁＝－1；x₂＝1

又f″(x)＝6x,可知f″(1)＝－６＜0，f″(1)＝6＞0

故x＝－1为f（x）的极大值点，极大值为7

x＝1为f（x）的极小值点，极小值为3。

25．设z＝xy2＋eycosx，求．(本题满分为8分)

解：z＝xy2＋eycosx，＝2xy＋eycosx。

26．求由曲线y＝x2(x≥0)，直线y＝1及y轴围成的平面图形的面积．(本题满分为10分)

解：y＝x2(x≥0)，y＝1及y轴围成的平面图形D如图所示．其面积为

27．计算，其中积分区域D由直线y＝x，x＝1及x轴围成．(本题满分为10分)

解：

28．求微分方程的通解．(本题满分为10分)

解：对应齐次微分方程的特征方程为

特征根为r＝1(二重根)。

齐次方程的通解为y＝(C₁＋C₂x)(C₁，C₂为任意常数)。

设原方程的特解为，代入原方程可得因此

故原方程的通解为