第1章　极限与连续

1.1　考点精讲

一、极限

1．数列的极限

（1）数列的定义

按一定顺序排列的一列数称为无穷数列，简称数列，记作{x_n}。

数列中的每一个数叫做数列的项，第n项叫做数列的一般项或通项。

数列{x_n}可看作自变量为正整数n的函数：x_n＝f（n），它的定义域是全体正整数，当自变量n依次取1，2，3等一切正整数时，对应的函数值就排成数列{x_n}。

（2）数列的极限

①定义

设{}为一数列，如果存在常数a，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数N，使得当n＞N时，不等式都成立，那么就称常数a是数列{}的极限，或者称数列{}收敛于a，记为或。

如果不存在这样的常数a，就说数列{}没有极限，或者说数列{}是发散的，习惯上也说lim不存在。

②几何意义

将常数a及数列在数轴上用它们的对应点表示出来，再在数轴上作点a的ε邻域，即开区间（a－ε，a＋ε）（图1-1）。

图1-1

所以当n＞N时，所有的点都落在开区间（a－ε，a＋ε）内，而只有有限个（至多只有N个）在这区间以外。

注意在利用数列极限的定义来论证某个数a是数列{}的极限时，重要的是对于任意给定的正数ε，要能够指出定义中所说的这种正整数N确实存在，但没有必要去求最小的N。

③数列极限的性质

a．唯一性

如果数列{}收敛，那么它的极限唯一。

b．有界性

对于数列{}，如果存在着正数M，使得对于一切x都满足不等式，则称数列{}是有界的；如果这样的正数M不存在，就说数列{}是无界的。

如果数列{}收敛，那么数列{}一定有界。

（3）四则运算法则

①设有数列{}和{}．如果，，那么

a．；

b．；

c．当(n＝1，2，…)且时，。

②如果，而，，那么。

③设函数y＝f[g(x)]是由函数u＝g(x)与函数y＝f(u)复合而成，f[g(x)]在点的某去心邻域内有定义，若，且存在，当时，有，则

。

（4）数列极限存在准则

①（夹逼准则）如果数列{}，{}及{}满足下列条件：

a．；

b．

那么数列{x_n}的极限存在，且。

②单调有界数列必有极限。

2．函数的极限

（1）函数极限的定义

在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近于某个确定的数，那么这个确定的数就叫做在这一变化过程中函数的极限。

（2）函数极限的性质

①唯一性

若存在，那么它的极限唯一。

②有界性

如果，那么存在常数M＞0和，使得当时，有。

③局部保号性

a．如果，且A＞0（或A＜0）那么存在常数，使得当时，有f(x)＞0（或

f(x)＜0）。

b．如果，那么就存在着的某一去心邻域，当时，就有。

c．如果在的某去心邻域内，而且，那么．

（3）函数在一点处的极限

①当时函数f（x）的极限

如果当x无限地趋于x₀时，函数f（x）无限地趋于一个确定的常数A，则称当时，函数f（x）的极限（值）为A，记作

或（当时）

②当时函数f（x）的极限

如果当x从x₀的左边（或右边）无限地趋于x₀时，函数f（x）无限地趋于一个确定的常数A，则称当时，函数f（x）的左极限（或右极限）是A，记作

③左、右极限与函数极限的关系

当时，函数f（x）的极限等于A的充分必要条件是：

④几何意义

任意给定一正数ε，作平行于x轴的两条直线y＝A＋ε和y＝A－ε，介于这两条直线之间是一横条区域．根据定义，对于给定的ε，存在着点的一个δ邻域（－δ，＋δ），当y＝f（x）在图形上的点的横坐标x在邻域（x₀－δ，x₀＋δ）内，但x≠x₀时，这些点的纵坐标f（x）满足不等式

，亦即这些点落在上面所作的横条区域内（图1-2）。

图1-2

（4）x趋于无穷大时函数的极限

①当x∞时函数f（x）的极限

如果当x∞时，函数f（x）无限地趋于一个确定的常数A，则称当x∞时，函数f（x）的极限（值）是A，记作

或（当时）

②当x＋∞（或－∞）时，函数f（x）的极限

如果当x＋∞（或－∞）时，函数f（x）无限地趋于一个确定的常数A，则称当x＋∞（或－∞）时，函数f（x）的极限（值）是A，记作

③几何意义

从几何上来说，的意义是：作直线y＝A－ε和y＝A＋ε，则总有一个正数X存在，使得当x＜－X或x＞X时，函数y＝f（x）的图形位于这两直线之间（图1-3）．这时，直线y＝A是函数y＝f（x）的图形的水平渐近线。

图1-3

（5）函数极限的性质

①（唯一性）如果存在，则极限值必唯一。

②（夹逼定理）设函数f（x），g（x），在点x₀的某个邻域内（x₀可除外）满足条件：

（6）四则运算法则

如果limf（x）＝A，limg（x）＝B，则：

上述运算法则不难推广到有限多个函数的代数和及乘积的情况，因而有以下的推论。

推论：设都存在，k为常数，n为正整数，则有

3．无穷小量与无穷大量

（1）无穷小量与无穷大量的定义

①无穷小量

如果自变量x在某个变化过程中（xx₀或x∞），函数的极限值为零，则称在该变化过程中，f（x）为无穷小量，记作。

②无穷大量

如果当自变量xx₀（或x∞）的过程中，经过某一时刻后f（x）的绝对值可以大于事先任意给定的充分大的正数M，则称在该变化过程中，f（x）为无穷大量，记作。

（2）无穷小量与无穷大量的关系

在同一变化过程中，如果f（x）为无穷大量，则为无穷小量；反之，如果f（x）为无穷小量，且f（x）≠0，则为无穷大量。

（3）无穷小量的性质

①有限个无穷小量之和仍为无穷小量；

②有界变量与无穷小量之积仍为无穷小量；

③有限个无穷小量之积仍为无穷小量。

（4）无穷小量的比较

设α和β是同一过程中的无穷小量，即

①高阶无穷小

如果，则称α是较β高阶的无穷小量，记为；

②同阶无穷小

如果，则称α是与β同阶的无穷小量；

③等价无穷小

如果，则称α与β是等价无穷小量，记为；

④低阶无穷小

如果，则称α是比β低阶的无穷小量。

（5）常用等价无穷小（）

①

②

③

④

⑤

⑥

⑦

4．两个重要极限

（1）

它可以用下面更直观的结构式表示

式中的方块既可以表示自变量x又可以是x的函数，而表示当时必有即当为无穷小量时，上式的极限值才是1。

（2）或对数列有

其结构式可表示为

其中方块的含义同前。

二、连续

1．定义

（1）函数在一点处连续的定义

设函数y＝f(x)在点的某一邻域内有定义，如果

或

那么就称函数y＝f(x)在点连续。

（2）左连续和右连续

如果limf（x）＝f（－）存在且等于f（），即，f（－）＝f（），就说函数f（x）在点左连续；如果limf（x）＝f（＋）存在且等于f（），即，f（＋）＝f（），就说函数f（x）在点右连续。

（3）函数在一点处连续的充分必要条件

函数在点处连续函数在点处左连续且右连续，且。

（4）函数的间断点

①间断点的定义

设函数f（x）在点的某去心邻域内有定义，如果函数f（x）：

a．在x＝没有定义；

b．虽在x＝有定义，但limf（x）不存在；

c．虽在x＝有定义，且limf（x）存在，但limf（x）≠f（x₀），

则函数f（x）在点为不连续，而点称为函数f（x）的不连续点或间断点。

②间断点的分类

a．第一类间断点

设是函数f(x)的间断点，若左极限和右极限都存在，则是函数f(x)的第一类间断点．如果左极限等于右极限，则是可去间断点；如果左极限不等于右极限，则是跳跃间断点。

b．第二类间断点

不属于第一类间断点的间断点称为第二类间断点．无穷间断点和振荡间断点属于第二类间断点。

2．函数在一点处连续的性质

（1）连续函数的算术运算

若函数，在点处连续，则，，在点处也连续。

（2）复合函数的连续性

①若，函数在点a处连续，则有。

②设函数在点处连续，且，而函数在点处连续，则复合函数在点处也连续。

3．闭区间上函数连续的性质

（1）有界性定理

在闭区间上的连续函数一定在该区间上有界。

（2）最值定理

在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值。

（3）零点定理

设函数在闭区间上连续，且(与异号)，那么在开区间内至少有一点，使。

（4）介值定理

设函数在闭区间上连续，且在这区间的端点取不同的函数值及，那么对于A与B之间的任意数C，在开区间内至少有一点ξ使得f(ξ)＝C（a＜ξ＜b）。

4．初等函数的连续性

（1）基本初等函数在其定义域内是连续的

①三角函数及反三角函数在定义域内是连续的。

②指数函数在区间内单调且连续。

③对数函数在内单调且连续。

④幂函数在内连续。

（2）一切初等函数在其定义区间内都是连续的。

（3）代入法求初等函数的极限

（定义区间）