第一部分　历年真题

2014年成人高考高中起点升专科、本科《数学》（理科）试卷及详解

一、选择题：本大题共17小题，每小题5分，共85分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将所选项前的字母填涂在答题卡相应题号的信息点上。

1．设集合，则集合（　　）．

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】M∩N表示既属于M又属于N的元素，依题意有－1≤x≤1．

2．的定义域为（　　）．

A．（－∞，5）

B．（－∞，﹢∞）

C．（5，﹢∞）

D．（－∞，5）∪（5，﹢∞）

【答案】D

【解析】要使函数y＝成立，则分母不能为0，即，则x≠5，则x的定义域为x∈（－∞，5）∪（5，﹢∞）.

3．函数y＝2sin6x的最小正周期为（　　）．

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】令t＝6x，sin（t）为正弦函数，其最小正周期是T＝2π，即t＝6x的最小正周期为2π，得x＝．

4．下列函数为奇函数的是（　　）．

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】A项，为对数函数，是非奇非偶函数；B项，为正弦函数，，是奇函数，其图象关于原点对称；C项，，（－x）2＝x2，是偶函数；D项，为指数函数，是非奇非偶函数．

5．过点（2，1）与直线y＝x垂直的直线方程为（　　）．

A．y＝x＋2

B．y＝x－1

C．y＝－x＋3

D．y＝－x＋2

【答案】C

【解析】与y＝x垂直，则该直线方程的斜率为－1，设该直线方程为y＝－x＋b，又该直线过点（2，1），则1＝－2＋b，得b＝3，则该直线方程为y＝－x＋3.

6．函数y＝2x＋1的反函数为（　　）．

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】应用函数与反函数关系原理：，故其反函数为：.

7．若a，b，c为实数，且a≠0．

设甲：，乙：有实数根，则（　　）．

A．甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件

B．甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件

C．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件

D．甲是乙的充分必要条件

【答案】D

【解析】当成立，由二次函数性质可知，存在解使得成立，故甲是乙的充分条件；当的解存在，由解的存在定理，则必有，故甲是乙的必要条件；综上所述，甲是乙的充分必要条件.

8．二次函数的图像与x轴的交点坐标为（　　）．

A．（－2，0）和（1，0）

B．（－2，0）和（－1，0）

C．（2，0）和（1，0）

D．（2，0）和（－1，0）

【答案】A

【解析】令y等于0，则有：x2＋x－2＝0，解方程，得x₁＝－2，x₂＝1；故交点坐标为（－2，0）和（1，0）.

9．设i，i是虚数单位，则是（　　）．

A．

B．

C．

B．

【答案】B

【解析】将原式求倒数即可的.

10．设a＞b＞1，则（　　）．

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】A项，a＞b＞1，则；B项，a＞b＞1，底数在1到无穷大之间的，同真数的，底数越大，其值越小，即；D项，a＞b＞1，当底数大于1时，指数函数为增函数，即．

11．已知平面向量a＝（1，1），b＝（1，－1），则两向量的夹角为（　　）．

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】两向量的乘积ab＝1×1＋1×（－1）＝0，则两向量垂直，即两向量的夹角为90°.

12．的展开式中的常数项为（　　）．

A．3

B．2

C．－2

D．－3

【答案】D

【解析】展开式常数项为＝－3.

13．每次射击时，甲击中目标的概率为0.8，乙击中目标的概率为0.6．甲、乙各自独立地向目标射击一次，则恰有一人击中的概率为（　　）．

A．0.44

B．0.6

C．0.8

D．1

【答案】A

【解析】甲、乙各自独立地向目标射击一次，则恰有一人击中，即甲击中或者乙击中，则有0.8×0.4＋0.2×0.6＝0.44．

14．已知一个球的体积为，则它的表面积为（　　）．

A．4π

B．8π

C．16π

D．24π

【答案】C

【解析】球的体积公式，则有＝，得半径r＝2；则球的表面积＝.

15．在等腰三角形ABC中，A是顶角，且，则cosB＝（　　）．

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】由题意知，＝120°，又A是顶角且为等腰三角形，故＝30°，则cosB＝．

16．四棱锥P—ABCD的底面为矩形，且AB＝4，BC＝3，PD丄底面ABCD，PD＝5，则PB与底面所成角为（　　）．

A．30°

B．45°

C．60°

D．75°

【答案】B

【解析】因为PD⊥底面ABCD，则∠PBD为PB与底面ABCD所成的角，已知ABCD的底面为矩形，则AB＝CD＝4，BC＝AD＝3，则BD＝＝5；又PD＝5，PD⊥底面ABCD，则PD⊥BD，则△PDB为等腰直角三角形，即PB与底面所成角为45°．

17．将5本不同的历史书和2本不同的数学书排成一行，则2本数学书恰好在两端的概率为（　　）．

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】七本书总共的排列顺序有＝5040种，两本数学书恰好在两端的排列顺序有＝240种，则2本数学书恰好在两端的概率为＝．

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案写在答题卡相应题号后。

18．已知空间向量，则2a＋b＝_____．

【答案】（3，2，9）

【解析】由向量的加减计算法则，将对应的坐标向量相加即可，故2a＋b＝（3，2，9）.

19．曲线在点（1，－1）处的切线方程为_____．

【答案】y＝x－2

【解析】对曲线方程求导得，故得出在点（1，－1）处切线斜率为1，则可设切线方程为，将点（1，－1）代入，得y＝x－2.

20．设函数，则f（3）＝_____．

【答案】

【解析】直接令x＝2，则x＋1＝3，代入方程，得f（3）＝．

21．某运动员射击10次，成绩（单位：环）如下：

则该运动员的平均成绩是_____环.

【答案】8.7

【解析】将十次成绩相加，再除以10，得该运动员的平均成绩为8.7.

三、解答题：本大题共4小题，共49分。解答应写出推理、演算步骤，并将其写在答题卡相应题号后。

22．已知△ABC中A＝110°，AB＝5，AC＝6，求BC（精确到0.01）．（本小题满分12分）

解：根据余弦定理

23．已知数列的前n项和．（本小题满分12分）

（I）的前三项

（Ⅱ）的通项公式

解：（Ⅰ）因为，则：

（Ⅱ）当n≥2时，

当n＝1时，，满足公式

则数列的通项公式为.

24．设函数.（本小题满分12分）

（I）函数f（X）的导数

（Ⅱ）函数f（X）在区间[1，4]的最大值与最小值

解：（1）因为函数，所以

（Ⅱ）令，解得x＝3或x＝－1；比较f（1），f（3），f（4）的大小，有

f（1）＝1－3－9＝－11；

f（3）＝27－27－27＝－27；

f（4）＝64－48－36＝－20；

则函数在区间[1，4]的最大值为－11，最小值为－27.

25．设椭圆的焦点为，轴长为4.（本小题满分13分）

（I）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若直线与椭圆有两个的交点，求m的取值范围

解：（Ⅰ）椭圆的标准方程为；已知椭圆的焦点为，则其焦距；椭圆的长轴长2a＝4，则a＝2；其短半轴长b为

则椭圆的方程为

（Ⅱ）将直线方程代入椭圆方程可得

因为直线与椭圆有两个不同交点，所以

解得－2＜m＜2

则m的取值范围为（－2，2）．