五、复　数

1．复数的概念

（1）虚数单位

①规定虚数单位为i，并且规定i2＝－1；

②虚数单位i可以与实数一起进行加减乘除四则运算；

③i的乘方具有如下性质：

（2）复数的定义

形如a＋bi（其中a，b都为实数）的数称为复数，a称为复数的实部，b称为复数的虚部．复数a＋bi分类如下：

①当b＝0，时，复数a＋bi就是实数；当b＝0，a＝0时，复数a＋bi为零；

②当b≠0时，复数a＋bi称为虚数；当b≠0，a＝0时，复数a＋bi称为纯虚数.

上面所说，可以概括为：

说明：

a．由全体复数所组成的集合称为复数集，记作C．实数是复数的特例，实数集R是复数集C的真子集，即

b．常常用复数分类的条件，判断复数在什么情况下是实数、零、虚数、纯虚数等.

（3）复数相等

①两个复数的实部相等，虚部也相等，在这种情况并且只有在这种情况下，我们规定这两个复数是相等的．即当a，b，f，d∈R时，有

特别地，

说明：利用复数相等或等于零的概念，可以解决一些与实数二元一次或二元二次方程组综合在一起的问题.

②如果两个复数都是实数，可以比较它们的大小；如果不全是实数，就不能比较大小.

（4）共轭复数

实部相等，虚部互为相反数的两个复数称为互为共轭复数，复数z＝a＋bi的共轭复数表示为.

2．复数的表示法

（1）复数的代数形式：a＋bi

（2）复数的坐标表示

复数z＝a＋bi可以用坐标平面内的点Z（a，b）来表示，这个点Z的横坐标为复数的实部a，纵坐标为复数的虚部b，这个坐标平面称为复平面．x轴称为实轴，y轴（除去原点）称为虚轴.

图1-1

①表示实数的点都在实轴上，例如5，－3等，实轴上的点都表示实数．原点0在实轴上，它表示实数0.

②表示纯虚数的点都在虚轴上，虚轴上的点都表示纯虚数．复平面的虚轴不包括原点．

③复数集c中的复数与复平面内的点是一一对应的.

3．复数的运算

（1）复数的加法法则与减法法则

复数的加减法一般用代数形式来计算：复数相加减，可以把复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减，即

【例】已知复数z₁＝1＋2i，z₂＝1－3i，那么z₁＋z₂的共轭复数等于（　　）.

A．2－i

B．2＋i

C．－2－i

D．－2＋i

【答案】

【解析】z₁＋z₂＝1＋2i＋1－3i＝2－i，根据共轭复数的定义可知，所求结果为2＋i.

（2）复数的乘法

两个复数相乘可按照多项式乘法法则来进行，在所得的结果中把i2换成－1，并把实部与虚部分别合并，即

【例】复数的值等于（　　）.

A．1

B．i

C．－1

D．－i

【答案】C

【解析】.

（3）复数的除法

两个复数相除，可以先把它们的商写成分式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，再把结果化简，即

【例】复数的值等于（　　）.

A．2

B．－2

C．0

D．4

【答案】A

【解析】，，所以原式＝i4＋（－i）4＝2.