1.2　核心讲义

一、函数概念及其性质

（一）中小学数学课程中函数概念形成的基本脉络

1．量、数量与数

（1）数、量、图、数据（一批数）是引导儿童进入数学的源泉。

（2）映射f是集合A到集合B的单值对应关系，即对于集合A中的每一个元素a，根据对应关系f，在集合B中有唯一元素f（a）与之对应，这样的对应f称为映射。

（3）函数是实数集合到实数集合的映射。对函数与映射的认识与理解是相辅相成的。

2．量与单位

（1）“量”指一般意义的量，不仅包括前面讨论的离散的量，也包括如长度、时间、质量、温度、电阻等，同种量可相互比较大小。

（2）“单位”是度量“量”大小的出发点，对于一个量确定了一种单位，就建立了这种量与实数（整数、自然数）的一个映射——一种对应关系。

3．建立量与量的关系—小学数学中的两个基本模型

（1）两个基本模型：总价=单价x数量、路程=速度X时间。

（2）这两个模型一个是离散的经济模型，一个是连续的物理模型，在大学数学学习中，它们仍然是基本的模型。

4．正、反比例关系——关系概念的形成

从具体到抽象是数学发展规律，通过对实际的模型，抽象反映出一般的量与量的反比例关系，初步形成量与量之间关系概念，对于学生认识和理解函数起着十分重要的作用。

5．常量与变量

（1）常量

在具体的情境中，有些量是不变的，例如，在匀速运动中，速度是不变的，通常把这种量称为常量。

（2）变量

有些量可以取不同的数值，是变化的，通常称为变量。

6．变量之间的依赖关系——函数概念及图像

（1）在一些情境中，可以有很多变量，有些变量之间存在着依赖关系。

（2）一个变量的变化引起另一个变量的变化，把这种具有相互依赖的变量关系称为函数关系。

（3）变量与变量之间的依赖关系，揭示了函数的本质，即反映函数是描述变化的。

7．函数模型初步——几类重要的函数

（1）正比例函数；

（2）一次函数（线性函数）；

（3）反比例函数；

（4）一元二次函数；

（5）简单分段函数。

8．函数概念的再认识——三个维度

（1）变化角度——变量关系；

（2）整体角度——函数图像；

（3）映射角度——建立两类事物间的对应关系。

9．函数模型的再认识——基本初等函数

简单幂函数（特别是整数幂函数）、指数函数、对数函数、三角函数是基本函数，又称为基本初等函数。

10．函数应用

（1）在研究数学问题方面的应用。

（2）用函数思想解决其他学科问题，如物理、化学、生物中的问题。

在用函数解决问题时，有三个基本层次：

①能用学过的函数知识描述问题；

②用学过的函数模型直接解决问题；

③经历使用函数进行数学建模的过程，体会数学建模的思想和基本过程。

（二）认识函数概念的三个维度

1．变化角度——变量关系

这种变量之间的依赖关系具有一个突出的特征，即当一个变量取定一个值时，依赖于这个变量的另一个变量有唯一确定的值。

2．整体角度——函数图像

（1）函数关系是平面上点的集合，又可以看作平面上的一个“图形”。研究函数就是研究曲线的性质，研究曲线的变化。

（2）在讨论函数问题时，帮助学生养成画函数图像习惯，并且用函数图像思考问题。

3．映射角度——对应关系

（1）函数是联结两类对象的桥梁，即通常说的映射关系。

（2）这是用映射的观点理解函数，它反映两个数集之间的关系，在两个数集之间架起了一座桥梁。

4．综合的认识

（三）函数的基本性质

1．单调性是中学最重要的函数性质

（1）第一阶段

依函数图像直观地感受单调性，理解单调性的定义及在研究函数中的作用。

（2）第二阶段

①理解导数与单调性的联系；

②用单调性判断导数的符号。

2．周期性

周期性反映了函数变化周而复始的规律。在高中数学课程中，只讨论基本的具体三角函数的周期性，例如，正弦、余弦、正切函数的周期性。

3．对称性（奇偶性）

（1）对称性是反映函数特点的基本性质。

（2）偶函数的图像是关于y轴对称的。

（3）奇函数的图像是关于原点对称的。

4．函数性质的综合认识

（1）函数的学习一定要在头脑中建立起几个重要的模型。

（2）函数的教学一定要突出函数图形的地位

（3）函数是刻画客观世界的一个基本数学模型

（4）在学习与函数知识有关的内容时，理解函数思想。

二、基本初等函数及函数的分类

（一）基本初等函数

1．幂函数和整数幂函数

幂函数是基本初等函数，在幂函数中，最重要的是整数幂函数，以及由它们拓展的多项式函数，即

。

（1）在微积分的学习中，微分是最重要的概念之一

①微分是一个可导函数在一点的线性主部，线性主部就是一个一次函数（线性函数），即，一方面，函数的微分dy与自变量的改变量（也称为自变量微分）成正比例，其中比例系数k是这一点函数的导数。

②函数的微分dy与函数的改变量之差是自变量微分dx的高阶无穷小，即函数的微分dy可以近似表示函数的变化，称之为“以直代曲”。

（2）整数幂函数对研究“好函数”有重要作用

①在微积分学习中，研究的主要函数类是具有任意阶导数的函数，称之为“好函数”。

②幂函数以及所有基本初等函数都是“好函数”，并且，初等函数拓展的所有初等函数也都是“好函数”。

2．指数爆炸——指数函数和对数函数

（1）指数函数、对数函数本身都是重要的函数，在刻画自然规律时，它们是用得最多的函数，也是最基本的函数；同时，它们是“好函数”，它们具有任意阶导数。

（2）指数函数、对数函数在描述变化快慢发挥着基本作用。

3．周期变化——三角函数

（1）三角函数也是最基本的周期函数，可以帮助学生更好地理解周期函数；

（2）三角函数也都是好的函数，具有任意阶导数；

（3）三角函数的代数和可以用来表示更多的函数。

（二）运算与初等函数

1．四则运算与初等函数

根据函数的定义，y=f（x）±g（x）、y=f（x）g（x）、y=（g（x）≠0）还是函数。

2．函数复合与初等函数

（1）设有两个函数y=f（u），u=g（x），它们的定义域分别是D和E；它们的值域分别是f（D）和g（E），记D*=g（E）∩D，若D*≠，则记E*=g^-1（D*）；

（2）通过函数f可以在f（D）内找到y=f（u），将所有这样的f（u）记为f（D*）。这就确定了一个定义在E*上的函数，记作y=（fg）（x），x∈E*，即y=（fg）（x）=f（g（x）），x∈E*，称之为函数，和g的复合函数。

（3）图1-1-l表示两个函数是如何构造一个新函数的。

3．反函数与初等函数

（1）反函数的定义

①若y=f（x）是一个函数，其定义域为D，值域为，设E*为值域。

②f（D）的一个子集，且对任意y∈E^*，在D中有唯一的x满足y=f（x），可以根据y=f（x）得到一个新的函数，记作，称它为函数y=f（x）的一个反函数，它的定义域是E*，值域是。

③如果，通常把称作y=f（x）的反函数。

（2）对于连续函数来说，有反函数的充分必要条件是：是严格单调的。

4．有限次运算与初等函数

四则运算、复合、求反函数是构造新的函数的手段，这些手段称为构造新的函数运算，基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算得到的新函数类称之为初等函数。

（三）极限与一般函数

1．极限的各种形式

（1）数列极限

①数列与一个实数的关系：设为数列，为定数。

②若对任给的定数，总存在正整数N，使得当n>N时有，则称数列收敛于，定数称为数列的极限，并记作，或（n+∞），读作“当n趋于无穷大时，的极限等于或趋于”。

③从数列极限的定义中可知，一个收敛的数列可以与一个实数对应，通过一个数列就可以找到一个实数，如果把数列中的数换成函数，就可以利用同样的方法构造出一个函数。

（2）导数——特殊的极限

①对于函数y=f（x），是定义区间中的一点，存在一个数A，对于任意ε>0，存在>0，对定义区间I中的任意一点x，令，当0<<时，若有

，

则称y=f（x）在处可导，并称A为y=f（x）在处的导数，通常记作。②若函数y=f（x）在某一区间上的每一点都可导，则称y=f（x）在该区间上可导。

③对每一个x∈I，都有y=f（x）的一个导数（或单侧导数）与之对应，这样就定义了一个在上的函数，称为y=f（x）在上的导函数，记作。

（3）定积分——特殊的极限

设y=f（x）是定义在[a，b]上的有界函数，存在实数A，对于任意>0，存在>0，在[a，b]上任意取分点，作成一种划分P：，并任意取点，区间的长度记作，并令，当时，有，则称在[a，b]上黎曼可积的公式

称为黎曼和，其极限值A称为f（x）在[a，b]上的定积分，记为。

（4）级数

①设，，…，，…是无穷可列个实数，称它们的“和”++…++…为无穷数项级数（简称级数），记为，其中为级数的通项。

②由于无法直接对无穷多个实数逐一地进行加法运算，所以必须对上述的级数求和给出合理的定义，为此作级数的“部分和数列”， 。这样当

时，数项级数就决定了一个实数。

2．从有限到无限

认识极限的基本角度：

（1）数列和级数本质上是等价的；

（2）用极限来构造新的函数实际上是对函数进行无限次运算。

3．用极限构造新函数

（1）通过导数构造新的函数

（2）通过定积分运算构造新的函数

（3）通过求级数构造新的函数

综上所述，求导、积分以及求级数都是构造新函数的方法，是拓展函数研究范围的手段。

三、数列

（一）数列在数学与实际中的作用

1．数列是解决日常经济生活问题的基本模型

2．数列是特殊的函数—研究一般函数的工具

3．数列与递推

（二）数列在高中数学中的定位

在高中数学学习中，应该关注以下几个问题：

1．用等差、等比数列讨论日常生活中的经济问题；

2．用数列来提高学生的运算能力；

3．初步了解数列是特殊的函数及作用。

（三）数列与差分方程

1．等差数列再认识

（1）数列相邻项的差，称为数列的差分。一般地，对任何n有

，我们把制造新数列称为一个算子。

（2）原来的数列为，构成的新数列用表示，称为一阶差分，记为=。

（3）在一阶差分的基础上，用算子还可以得到新数列，记为，称之为数列的二阶差分；同理，还可以得到三阶差分以及k阶差分，分别记为和。

（4）从差分的角度看，等差数列就是一阶差分为常数，二阶差分为0的数列。

2．数列与差分

（1）学习数列的益处

数列是函数的离散形式，差分是微分的离散形式。有助于学生理解导数与微分，有助于学习微分方程等知识。

（2）学习差分的益处

学习差分有助于进一步学习数列，可以利用一阶差分和二阶差分的符号来判断数列的增减、凹凸。

3．差分方程——一阶线性差分方程

（1）含有未知数列和它的一阶差分的等式，称为一阶差分方程。

（2）如果这个方程里面只含有未知数列和未知数列的一阶差分的一次项，叫做一阶线性差分方程。记作

。

①=0时，称为一阶线性齐次差分方程；

②≠0时，称为一阶线性非齐次差分方程。

③当=0时，数列就是等差数列；=0时，数列就是等比数列。

4．一阶线性差分方程求解

对于一阶线性差分方程，满足差分方程的数列称为该差分方程的解。　

（1）一阶线性齐次差分方程的通解

①一阶线性齐次差分方程的解就是一个满足上述差分方程的数列。

②数列叫做一阶线性齐次差分方程的通解，其中可以取任何值。当不为0时这个数列是个等比数列。

（2）一阶线性非齐次差分方程的特解

对一阶差分方程，

①=0时，方程变为：，即，这是一个等差数列，因此，它的通解为：。

②当b≠0且≠0时，对于一阶非齐次差分方程，如果初值为，可以用迭代的方法求解，数列：这个数列就是方程的一个特解。

③给定不同的初始值，就可以得到方程的不同特解。

（3）一阶线性非齐次差分方程的通解

它的通解可以表示为：对应齐次方程的通解与该方程的一个特解之和。

5．迭代法

四、导数和积分

（一）导数的意义

在数学中，函数是刻画客观世界变化规律的重要数学模型，研究函数主要是研究函数的变化。导数能够定量的体现函数的变化，为学生研究函数提供了一种新的工具。

（二）积分的意义

积分是用来刻画“求和”的基本概念。它主要是为定义和计算长度、面积、体积等提供一套通用的方法：划分→取点→求和→取极限。

（三）牛顿一莱布尼茨公式

牛顿一莱布尼茨公式又称为微积分基本定理

设函数是闭区间[a，b]上的连续函数，是它在闭区间[a，b]上的任意一个原函数，则有

牛顿一莱布尼茨公式建立了导数和积分两者之间的联系，使积分成为一门学科。

1．对牛顿—莱布尼茨公式的认识

牛顿和莱布尼茨的伟大就在于找到了一般函数的微分与导数的关系，将定积分的运算转变为求原函数的过程，也是微积分的本质所在。

2．对牛顿—莱布尼茨公式的证明（略）

五、研究函数变化的基本方法

（一）研究函数变化的两种方法

1．代数是研究函数变化的一种方法

单调性是函数重要的性质之一，反映了函数的变化。在中学教学中通过代数运算来讨论函数单调性，进而研究函数的变化。

2．微积分（导数）是研究函数变化的另一种方法

（1）研究导数是从研究函数的平均变化转变为研究函数的瞬时变化，即变化率。

（2）导数作为刻画函数变化的瞬时变化率，能够清楚反映函数的变化情况。

①从函数值上看：导数的符号可以反映函数的变化趋势（增大或者减小），导数绝对值的大小可以反映函数变化的快慢。

②从函数图像上看：导数的符号可以刻画图像的走势（上升或是下降），导数绝对值的大小可以刻画图像走势的“陡峭”程度。

（二）两者的差异

单调性是从定性的角度刻画函数的变化；导数是从定量的角度刻画函数的变化。

（三）两者的联系

1．导数与单调性的联系

（1）在一个区间内，如果函数在每一点的导数都大于零，则函数是严格递增的；

（2）如果函数在每一点的导数都小于零，则函数是严格递减的。

（3）在一个区间内，递增函数如果有导函数，那么每一点的导数大于或等于零；

（4）在一个区间内，递减函数如果有导函数，那么每一点的导数小于或等于零。

2．单调性与导数在代数形式及图形上的联系

由于函数在区间[a，b]上是连续的，因此存在某一点它的导数（即其处的切线斜率）与割线的斜率相同。

六、 函数知识的应用

（一）函数与方程

1．由函数产生方程

对n元函数，当时，就产生了n元方程。

2．由方程产生函数

（1）对n元方程，决定了之间存在某种关系，这种关系可能是函数关系，如果是则这时可以产生元函数。

（2）在由方程构造函数的过程中，有时可以构造一个新的函数，有时不能，这就需要根据隐函数存在定理来判断。

（二）函数与不等式

1．由函数产生不等式

（1）对n元函数，当或

时，就产生了n元不等式。

（2）函数决定了不等式，因此也为不等式提供了研究方法。如函数及其相关性质，如单调性、导数、二阶导数等，是证明不等式的有力工具。

2．利用函数图像解不等式

（1）函数的图像把坐标系的横坐标轴分成若干部分区域，一部分区域是使函数值等于0，即

；一部分区域是使函数值大于0，即；一部分区域是使函数值小于0，即

。

（2）用函数的观点看，就是确定使函数图像在轴上方或下方的的区域。这样，就可以确定函数图像与轴的交点（方程=0的解），再根据函数的图像来求解不等式。

（三）函数与线性规划

解线性规划问题可归结为以下步骤：

1．确定目标函数；

2．分析约束条件；

3．建立不等关系（不等式组）；

4．根据不等式组确定目标函数的可行域（目标函数的定义域）；

5．找出可行域边界上的顶点（因为目标函数和可行域的边界都是线性的）；

6．求出这些顶点的函数值；

7．根据要求，确定目标函数在可行域内的最值。

（四）函数的实际应用

函数应用包含有三个层次：

1．用函数关系描述实际问题。

2．用常见的函数模型直接解决简单的实际问题。

3．利用函数建模。（参看后面关于数学建模的内容）

七、大学分析类数学课程

（一）基础课程

基础课程就是数学专业的其他课程都以其为基础的数学课程：其中以数学分析，高等代数和解析几何为最基本的课程。

（二）选修课程

选修课程根据专业取向而开设的专业性更强的课程，比如运筹学，矩阵论，数理逻辑等。

八、微积分基础知识

（一）概况

1．微积分也称无穷小分析，是数学的一个重要分支，主要研究极限，导数，积分和无穷级数。

2．它是人类经过长期积累和发展的结果，特别是17世纪，由于牛顿（Isaac Newton，1642～1727）和莱布尼茨（Gottfried Leibniz，1646～1716）所做的关键性工作，从而宣布了微积分的最终诞生。

（二）微积分的发展的四个阶段

1．1000年之前，在这个阶段数学的基本计算和符号系统逐渐完善，这对于微积分的成熟是必需的。

2．1000年至1600年，这是微积分的积累时期或准备时期。

3．从1600年至1900年，这是微积分的成熟期，形成了数学的基本学科：分析学。

4．由1900年至今可以叫做微积分的深化期，在这个阶段，微积分向着深化的方向发展。

九、数系的扩充与运算

数系的扩展有两个基本动力：实际的需要和运算的需要。

逻辑上来说，数系的扩展主要经历了从自然数→分数、负数→有理数→实数→复数等。

（一）自然数的意义与运算

1．自然数具有基数作用，可以刻画一个集合元素个数的多少。

2．由集合的交、并产生了减法和加法。

3．由集合的包含关系产生了除法，乘法是加法的简便运算。

（二）有理数的意义与运算

1．有理数发展的动力

（1）是实际的需求

（2）运算的需求。

2．分数和负数的产生

除法运算和减法运算分别是产生分数和负数的来源之一。分数可以表示除法的结果、表示新的单位，表示比值或两个量的比。

（三）实数的意义和运算

1．无理数的建立使得原来密密麻麻的直线，变成了光滑的直线，填满了数轴上缺少的数。这样实数体系逐步建立和完善起来；

2．实数的建立极大地推动了数学形式化的发展，使数学变得更加严格，基础更加牢固。

（四）复数的意义和运算

运算是分数、负数、无理数产生的动力之一，直到建立起完备的实数理论之后，尽管曾遭人反对，但是有了复数确实使得自然界的很多现象能够得到很好的解释。

十、字母运算与常见公式

（一）从算术到代数

看这样一个问题：一个笼子里有鸡和兔子共16只，共有52条腿，那么鸡和兔子分别有多少只？

1．算术方法

这里有三种解决该问题的算术方法：

（1）试逼近法

（2）穷举法

（3）分析法

2．代数方法（鸡兔同笼型解体模型）

（二）多项式乘法与二项式定理

1．基本公式

2．多项式乘法法则

（1）若干个多项式相乘，它的展开式可以由以下多项式乘法法则确定：

（2）展开式的一项是由每一个多项式中的某个单项式为因子组成的单项式。

3．计算二项式的展开式

求的展开式：

①展开式中的每个单项式都由若干个与若干个相乘得到，和的个数的总和为n，形如：（k=0，1，2，3，…，n）；

②展开式中单项式是通过以下方法得到的：

A．先从n个多项式中选出k个，在这k个多项式中只取a不取b，在余下的n-k个多项式中只取b不取a，这样就得到了；

B．因为从n个多项式）中选出k个的方法总数就是的同类项的个数，记作。

③展开式中有n+1个不同类型的单项式；

④根据上面的讨论，可以得到二项式的展开式，如下：

（k=0，1，2，…，n）。

⑤为了简化二项式的展开式，可以引入新的符号∑来表示若干项相加，即：

（k=0，1，2，…，n）

（三）多项式除法与余数定理

1．代数式

当时，由上式可以得到以下3个结果：

（1）可以被整除；

（2）是的一个因式；

（3）是的一个根

2．由以上3个结果分别可以得到，因此，这3个结果是等价的，即互为充分必要，这就是通常所说的余数定理，它是高等代数中最重要的基本定理。

十一、向量

（一）向量代数

1．向量是代数的研究对象，向量运算是向量的重点内容。

2．向量的代数运算大大拓展了运算的对象和结果。

（二）向量几何

1．向量可以描述、刻画和替代几何中的基本研究对象——点、线、面、超平面

（1）点：在空间直角坐标系中，以原点为向量的起点，空间中的点就与向量建立起一一对应关系，给出一点的坐标，就可以用向量 来刻画。

（2）直线：一点和一个非零向量（作为直线的方向向量）可以唯一确定一条直线，直线通过这个点且与给定向量平行。

（3）平面：一个点和一个非零向量，可以唯一确定一个平面，平面过这个点且与给定向量（平面的法向量）垂直。

（4）超平面：给出n维空间一点M的坐标和法向量那么超平面内任一

点还满足：。坐标表示为

2．向量可以刻画基本图形之间的位置关系和度量关系

（1）几何中主要关注两件事，一个是度量关系，一个是位置关系。

①向量可以刻画空间中点、线、面之间的基本位置关系：判断线线、线面、面面的平行与垂直。

②向量也可以刻画基本的度量关系：计算长度、角度、面积、体积等。

（2）用向量解决距离问题：

在高中阶段空间几何中主要的距离问题包括六类：

①点到直线的距离；

②平行直线间的距离；

③点到平面的距离；

④平行于平面的直线到平面的距离；

⑤平行平面的距离；

⑥异面直线的距离。

（三）向量的物理意义

1．向量具有丰富的物理背景，物理学研究的基本量之一是矢量。

2．物理中的矢量问题都可以通过向量运算来解决。

（四）向量是搭建几何、代数和物理的天然桥梁

对向量的认识要从以下三个基点出发，

1．把它看作代数的。

2．把它看作几何的。

3．考虑它的物理背景。

（五）向量与代数结构

1．向量

（1）二维向量与向量的加法构成一个交换群（R²，+）

交换群应该满足以下条件：

设G是一个非空集合，*是它的一个（二元）代数运算：

①封闭性：群内任意两个元素或两个以上的元素（相同的或不同的）的结合（积）都是该集合的一个元素。即若n和是G中的元素，则它们的乘积*也是G中的元素。

②结合律：虽然群元素不一定要求满足交换律，但必须满足结合律，即对G中任意元素，，都有（*）*=*（*）；

③单位元素：集合G内存在一个单位元素，它和集合中任何一个元素的积都等于该元素本身，即对于G中每个元素都有*=；

④逆元素：对G中每个元素在G中都有元素^-1，称作的左逆元，使^-1*=，元素的集合如果满足上述四个条件就称为群。

⑤在此基础上若还满足交换律，即对G中任意元素，，都有*=*，非空集合G和其上代数运算*构成交换群。

（2）向量作为线性空间的实例

①设是一个非空集合，是一个数域。在集合的元素之间定义了一种代数运算，称作加法；也就是说，给出了一个法则，对于V中任意两个元素和，在V中都有唯一的一个元素与它们对应，称为与的和，记为=+；

②在数域与集合的元素之间还定义了一种运算，称作数量乘法，这就是说，对于数域中任一数k与中任一元素，在V中都有唯一的一个元素与它们对应，称为k与的数量乘积，记为=k。

③如果加法与数量乘法满足下述法则，那么V称为数域上的线性空间。

加法满足下面四条规则：

A．+=+；

B．（+）十=+（β+）；

C．在V中有一个元素0，对于V中任一元素都有+0=0。具有这个性质的元素0称为V的零元素；

D．对于V中每一个元素，都有V中的元素，使得+=0。称为的负元素。

数量乘法满足下面两条法则：

e．1·=；

f．。

数量乘法与加法满足下面两条法则：

g．；

h．。

所有的二维向量与向量加法构成一个交换群。若再加上实数域R中的实数与向量的数乘运算；可以构成一个线性空间，记作（R²，R，+，·）。

（3）向量也是一个线性赋范空间的实例

十二、矩阵与变换

（一）矩阵与变换

1．几何变换

图形变换从本质上来讲，这些变换都是点（图形）的移动。由于可以用过原点的向量来刻画平面上的点，因此，平面上点的变换也是平面上向量的变换。

2．用矩阵刻画几何变换

（1）二阶矩阵作用在一个向量上可以得到一个新的向量

（2）二阶矩阵把平面上的每一个点都变成唯一的点。它是平面到平面的映射。等价地，它是平面向量到平面向量的映射。

（3）用矩阵来刻画人们熟悉的几何变换：反射、压伸、切变、旋转、投影等。

3．矩阵的积

（1）连续实施两个线性变换相当于一个新的线性变换。这就是变换的复合（合成）。

（2）当连续实施一系列变换时，改变变换的次序将改变变换的结果矩阵乘法不满足交换律。

4．逆矩阵

函数是特殊的映射，如果一个函数是——映射（从几何的角度也可以说是一一对应），那么这个函数有反函数。在矩阵与变换内容中也有类似的概念——逆矩阵。

（1）如果变换是一一对应的，变换就有逆变换，这种逆变换就对应矩阵的逆矩阵。

（2）但像投影变换就没有逆变换。例如， =的逆变换就是再作一次关于Y轴的反射。用矩阵表示即为 =

（3）变换的逆和矩阵的逆本质上体现了一一对应的思想。

5．矩阵的应用

一般地，给定矩阵M，若存在一个非零向量α和实数A，满足Mα=λα，则称λ为矩阵M的特征值，α为矩阵M的属于特征值λ的特征向量。即特征向量在矩阵的作用下具有某种“不变性”，即特征向量变换后的像与原向量是共线的。

（二）多角度认识线性方程组

1．代数的角度

是一个二元一次方程组。

（1）通过消元可以求解线性方程组，消元法还可以求出系数行列式的值，发现克莱姆法则。

（2）消元是求解线性方程组的基本方法，不仅适用于解二元一次方程组，也是解n元一次方程组的方法。

2．解析几何的角度

将求解二元一次方程组的问题，可以看成是两条直线的位置关系问题，这两条直线的斜率分别为，；

（1）若≠，则两直线相交，方程组有唯一解，即交点坐标；

（2）若=，且，则两条直线平行，则方程组没有解；

（3）若=，且，两条直线重合，则有无穷多解。

从解析几何的角度是通过看方程组系数矩阵的行向量的共线关系来判断方程的解。

3．向量几何的角度

上述方程组还可以改写为

（1）如果和线性无关，且可以用和线性表示，则存在唯一的，使得

成立，即方程组有唯一解；

（2）如果向量、和共线，方程组有无穷多解；

（3）当不能用和线性表示时，方程组无解。

可以看到，从向量几何的角度是通过看方程组系数矩阵的列向量的共线关系来判断方程的解。

（4）矩阵的角度

上述方程组可以用矩阵表示为 解方程的问题就变成：已知变换和某个点在这变换下的像，求该点（原像）的问题。

（三）从中学数学看线性代数作用

中学数学中的方程组与线性代数的关系，如图1-2-3。

十三、字母运算的应用——方程与不等式

（一）方程与韦达定理

一元二次方程的三个系数，，决定了这个一元二次方程，也就决定了该方程的根。

以下两种方法可以说明一元二次方程根与系数的关系。

1．求根法

证明：对于方程来说，若，满足和，那么，就是方程的根。

上面的结果就是著名的韦达定理，即方程有两个根，的充分必要条件为，

。

2．假设法

假设方程的两根分别是，根据前面的结果有将上式的右端展开得

，

因此， 　　　　　  ，

所以， 　　　　　 　，。

反之，如果已知二元一次方程以及存在两个数，满足，

， ，是方程的根吗？

只需将，，代入方程即和是否成立

由知，，所以

即，即，因此是方程的一个根。同理可证是它的另一个根。

（二）函数应用与方程的近似求解

二分法依赖以下结果：如果函数在上连续，，则在内存在一个值，。

（三）不等关系与基本不等式

无论是在数学中，还是在生活中，不等关系与相等关系都一样重要。在数学上，不等关系主要有这样两种情况：一是恒不等关系；二是条件不等关系。

运用基本不等式求最值时需要注意的条件：

1．两个变量必须是正变量；

2．当它们的和为定值时，其积取得最大值；当它们的积是定值时，其和取得最小值；

3．当且仅当两个数相等时取最值。

即必须同时满足“正数”、“定值”、“相等”三个条件，才能求得最值。