2.2　配套考研真题解析

一、填空题

1设

则|2A－B|＝______．[武汉大学2000研]

【答案】1

【解析】因为

2设A^*是3阶方阵A的伴随阵，，则|A^－1－2A^*|＝______．[华东师范大学研]

【答案】－16

【解析】因为

所以

二、证明题

1设A是n阶矩阵，是一个n维列向量．证明：如果，则有．[南京大学研]

证：由题设知

所以

从而

2设A，Ｂ，C，D为ｎ阶方阵．若的秩是n，证明：

而且，若A是可逆的，则D＝CA^-1B．[华南理工大学研]

证：如果|A|≠0，则有

由于的秩为n，所以D－CA^－1B＝0．

从而

|D|＝|C||A^－1||B|

因此

|A||D|－|C||B|＝0

如果|A|＝0，则只要证明|B||C|＝0即可．

事实上，如果|B|≠0，则有

所以

从而C＝DB^－1A，可得

|C|＝|D||B^－1||A|＝0

同理可得，如果|C|≠0，则|B|＝0．证完．

三、计算题

1计算n阶行列式

[浙江大学2004研]

解：各行都加到第一行，提取公因子得

2计算n阶行列式

这里a_i≠0，i＝1，2，…，n．[武汉大学2004研]

解：用降阶公式