1.2　强化习题详解

1现在是年终，又到了行善的时候，请问受到洪涝灾害的人是希望得到现金还是同等价值的棉被？用代数式来证明答案，并配以图示。提示：用代表棉被，代表其他用品，代表收入，表示得到的慈善现金的数额，表示分得的棉被的数量。假定没有商品禀赋，得到的棉被不能买卖，并且灾区的商品价格和外面没有差异。

答：受到洪涝灾害的人希望得到现金。分析如下：

设棉被的价格为，其他用品的价格为1（这样的假设可以方便分析，但并不影响结果），因为现金和棉被等值，即，则灾区人民的预算约束为：

当获得的捐赠为棉被时：，其中，

当获得的捐赠为现金时：。

若灾区人民获得的是棉被，则其最优化问题为：

　①

若灾区人民获得的是现金，则其最优化问题为：

　②

由于最优化问题①和②的目标函数式相同，但是①的预算集（即和的取值范围）却比②小，这就意味着优化问题②的目标函数式的值至少和①一样大，即灾区人民在获得现金的条件下，有可能得到更高的福利，因此他们希望得到现金。

如图1-7所示，若灾民得到的捐助是数量为的现金，最优选择点是图中的点，则给予棉被捐赠后，灾民的最优选择不变。但是若灾民得到现金捐助时的最优选择为点，则一旦改为棉被捐赠，灾民的预算线的虚线部分变为图中粗黑线，其最优选择也只能变为点，效用明显小于，因此福利降低。所以总的来讲，灾民会更偏好于现金捐助。

图1-7  不同的捐赠对消费者预算集的影响

2Suppose that the utility function is  and the budget constraint is .Please derive the demand function， and 。

解：消费者的效用最大化问题为：

从约束条件中解得，把它代入目标函数式中，然后关于求导，令其一阶导数等于零，得到它的需求函数为：

将上式代入的表达式中，得到。

3John’s preferences are represented by the utility function  The prices of  and  are  and.

（1）Compute the slope of John’s indifference curve at the point .

（2）If John’s budget line is tangent to his indifference curve at， then compute  (Hint： Look at the equation that equates the slope of his indifference curve with the slope of his budget line.)

（3）When he is consuming the best bundle he can afford， what fraction of his income does John spend on ?

解：（1）无差异曲线在点的斜率为：

（2）因为预算线和无差异曲线相切，所以有：

从而得到：。

（3）由第（2）问可知，消费者在商品1和商品2上的支出比例为2比3，又因为对于追求效用最大化的消费者而言，他总是花光自己的全部收入，所以他总收入的40％用来购买商品1，总收入的60％用来购买商品2。

4美国的食品券计划在1990年大约涉及2000万人，花费140亿美元。假设，如果某个家庭有资格购买食品券，那么它每月花费80美元就可获得价值150美元的食品。

（1）假设某家庭的现金收入为250美元，且没有购买食品券的资格。请在图1-8中画出该家庭的预算线（以横轴表示每月消费的食品量，纵轴表示每月消费的其他商品量）。

（2）假如该家庭享有购买食品券的资格，在同一图上画出它的预算线。

（3）试说明，如果该家庭获得的是70美元现金（而不是食品），它能够达到更高的满足水平。

图1-8  某家庭预算线

答：（1）若不能购买食品券，该家庭的预算线为图1-8中的。在图中，为家庭花费全部收入（250美元）可获得的非食品类商品数量，为花费全部收入可获得的食品数量。

（2）若有资格购买食品券，假定一户家庭只能买一张食品券，该家庭的预算线为图1-8中的。为80美元可购得的其他非食品类商品量。如果该家庭购买了食品券，则为此时该家庭能获得的非食品类商品的最大数量，EF为食品券可获得的价值150美元的食品，（等于）为非食品类商品消费量不变时，用食品券可获得的价值70美元的食品（如果不用食品券，这些价值的食品将无法获得）。如果该家庭消费的非食品类商品数量超过了，它就没有足够的钱去购买食品券，因而预算线与无食品券时的一样（即）。如果家庭消费的非食品类商品数量不超过，它就能通过购买食品券而消费额外的数量的食品，因而预算线为。

（3）如果给予该家庭70美元现金（而非食品），它的预算线将为图中的。因为货币收入增加了70美元，所以预算线将高于原预算线（但与平行）。该家庭就可以到达无差异曲线2上的点，而对于预算线，至多能达到无差异曲线1上的点。由于无差异曲线2高于无差异曲线1，所以，如果该家庭获得的是现金而非食品，它就可以达到更高的满足水平。当然，并非所有家庭的无差异曲线都像这里所说的那样，某些家庭的无差异曲线可能使他们无论接受现金还是食品，所获得的满足程度都是一样的。对于无差异曲线与预算线相切于点与点之间的家庭来说，情况就是如此。

5政府向消费者一次性征收等量消费税与所得税对消费者行为的影响是否相同？请以两种商品为例，用数理方法或画图加以说明。

答：政府向消费者一次性征收等量消费税与所得税对消费者行为的影响不相同。一般来说，在政府向消费者征收相同数量的税收的条件下，消费者在课征所得税时的境况好于他在课征从量税时的境况，从这个意义上说，所得税肯定优于从量税。

首先分析征收从量税。假定初始的预算约束为：。按税率对商品1的消费课税，商品1的价格上升了。因此，新的预算约束就是：。假定消费者在新的预算约束下的最优选择为，则必满足：

通过这种课税，政府收入增加的数量为。

如果政府征收相同数量的所得税，此时的预算约束为：

如图1-9所示，可以发现此预算线的斜率与不征税时的预算线斜率相同，并且此预算线经过点。可以发现在点上，边际替代率为，但是所得税却可以按的比率进行交换。这样，预算线与无差异曲线就在相交，这意味着预算线上可能有一些点比更受消费者的偏好。

图1-9  所得税与从量税