10.2 课后习题详解
一、复习思考题
§10-1 谐振动
10-1-1 判断一个物体是否作简谐运动有哪些方法？试说明下列运动是不是简谐运动：
（1）小球在地面上作完全弹性的上下跳动．
（2）小球在半径很大的光滑凹球面底部作小幅度的摆动．
（3）曲柄连杆机构使活塞作往复运动．
（4）小磁针在地磁的南北方向附近摆动．
答：简谐运动是指物体运动时，离开平衡位置的位移（或角位移）随时间按余弦函数（或正弦函数）的规律变化的运动形式．可以从其定义或从运动学特征、动力学特征以及能量特征等来判断一个物体是否作简谐运动，具体地说，有以下方法：
①根据式
判断，物体运动的加速度的大小正比于位移，但方向相反；
②根据式F＝－kx（或M＝Cθ）判断，物体受到的力（或力矩）的大小正比于位移（角位移），方向与位移反向；
③位移x应满足
；
④物体在运动过程中的动能和势能都是时间的函数，且为周期函数，但其总能量即机械能保持不变．
题中四种运动形式分析如下：
（1）不是简谐运动，原因为：小球跳动时受到重力作用，它在小球运动过程中保持不变，不符合②．
（2）是简谐运动，原因为：小球此时受到近似指向平衡位置的回复力，且其大小正比于位移，满足上述特征规律．
（3）不是简谐运动，原因为：曲柄连杆机构使活塞作往复运动，设滑块在离原点最远处为计时零点，如图10-2-1所示，取坐标轴如图．
图10-2-1
则有
根据几何关系
，且令
，则上式整理为
由于曲柄半径R远小于连杆杆长l，上式进一步化简得
由上式可知，滑块虽然是作周期运动，但运动学方程不满足简谐运动的规律．
（4）是简谐运动，原因为：小磁针受到地磁场的回复力矩作用而摆动，力矩大小与角位移成正比，方向与运动方向反向，符合简谐运动规律．
10-1-2 简谐运动的速度和加速度在什么情况下是同号的？在什么情况下是异号的？加速度为正值时，振动质点的速率是否一定在增加？反之，加速度为负值时，速率是否一定在减小？
答：本题可运用旋转矢量图解决，如图10-2-2．
图10-2-2
（1）物体作简谐运动时，当物体的振幅矢量位于第一象限和第三象限时，如图（a），物体的速度和加速度符号是相同的，即物体沿位移方向向平衡位置运动时，其速度和加速度要么都是正值，要么都是负值．
（2）物体作简谐运动时，当物体的振幅矢量位于第二象限和第四象限时，如图（b），速度和加速度是异号的．
（3）加速度为正值不说明速度会一定增加．如图（a），当物体的振幅矢量位于第二象限时，其加速度为正值，但速度一直在减小直至为零．
（4）否，与（3）类似，如图（a），当物体的振幅矢量位于第一象限时，其加速度为负值，速度在增大．
10-1-3 分析下列表述是否正确，为什么？
（1）若物体受到一个总是指向平衡位置的合力，则物体必然作振动，但不一定是简谐运动．
（2）简谐运动过程是能量守恒的过程，因此，凡是能量守恒的过程就是简谐运动．
答：（1）正确．还要满足合力的大小与位移的大小成正比，才能说明物体在作简谐运动．
（2）错误．例如①物体作无阻尼自由振动时，振动能量一直是守恒的．②如物体运动时，受到的驱动力对物体作的正功正好等于阻力所作的负功，则系统能量一直不变，但此运动不一定就是简谐运动．
10-1-4 在单摆实验中，如把摆球从平衡位置拉开，使悬线与竖直方向成一小角φ，然后放手任其摆动．若以放手之时为计时起点，试问此φ角是否就是振动的初相位？摆球绕悬点转动的角速度是否就是振动的角频率？
答：解答本题应理解清楚振幅、初相、角速度和角频率的概念．
当单摆作简谐运动时，设θ为振动角位移，其运动学方程为
其中，θ0表示振幅，φ0表示初相，ω表示单摆的固有角频率，且
．
（1）φ角不是振动的初相位．以放手之时为计时起点，即t＝0，此时φ角表示的是振动的角振幅，而非初相位．由于摆球是由振幅处静止释放，根据上式可知，其初相位φ0应等于零．
（2）摆球绕悬点转动的角速度不是振动的角频率．根据角度的定义可知，ω＝
．角速度与角频率是两个不同的概念．
10-1-5 周期为T、最大摆角为θ0的单摆在t＝0时分别处于如图10-2-3所示的状态．若以向右方向为正，写出它们的振动表达式．
图10-2-3
答：摆球的振动表达式关键是解决振动初相位的问题，可借助旋转矢量，如图10-2-4．
图10-2-4
（a）如图，此时摆球的振幅矢量位于y轴正方向，即初相
，摆球的振动表达式为
此时摆球的振幅矢量位于y轴负方向，即初相为
，其振动表达式为
此时摆球的振幅矢量位于x轴正方向，即初相为
，其振动表达式为
（d）此时摆球的振幅矢量位于x轴负方向，即初相为
，其振动表达式为
10-1-6 有两个摆长不同的单摆作简谐运动，设
．把这两单摆向右拉开一个相同的小角度θ，然后释放任其自由摆动．
（1）这两单摆在刚释放时相位是否相同？
（2）当单摆B到达平衡位置并向左运动时，单摆A大致在什么位置和向什么方向运动？A比B的相位超前还是落后？超前或落后多少？
（3）自释放后，A、B经过多长时间后以相反的相位相遇？A、B经过多长时间后以同相位相遇？
答：根据单摆周期公式
．由题意可知，
，
．
（1）相同，两单摆以同一起始状态进行摆动，因此振动初相位也是相同的．
（2）①根据以上推论，
，即A摆动的角速度小于B．因此，当单摆B到达平衡位置并向左运动时，单摆A比单摆B慢，大致位于θ到平衡位置之间，且方向向左．
②由单摆运动规律可知，此过程用时
，单摆A的相位较单摆B落后，落后
（3）①以相反的相位相遇所需的时间
单摆B以相反的相位与单摆A相遇必须满足（ωB－ωA）t＝π，则t＝
．
②以同相位相遇所需的时间
单摆B以相反的相位与单摆A相遇必须满足（ωB－ωA）t＝2π，则t＝2
．
10-1-7 物体作简谐运动的x-t图如图10-2-5所示．分别写出这些简谐运动的表达式．
图10-2-5
答：可用旋转矢量图（图10-2-6）来判断初相位．
（1）图（a）简谐运动的表达式
此时物体初相位为
，振动表达式为
图10-2-6
（2）图（b）简谐运动的表达式
此时物体初相位为
，振动表达式为
（3）图（c）简谐运动的表达式
此时物体初相位为
，振动表达式为
（4）图（d）简谐运动的表达式
此时物体初相位为
，振动表达式为
10-1-8 对于频率不同的两个简谐运动，初相位相等，能否说这两个简谐运动是同相的？如图10-2-7中各图内的两条曲线表示两个简谐运动，试说明其频率、振幅、初相位三个量中哪个相等，哪个不相等．
图10-2-7
答：（1）不能．这两个简谐运动初相位相同，只是说明在同一位子沿同一方向同时振动，但其他物理量可能不一样．如，任一时刻系统的相位
，虽然φ0相等，但由于振动频率不同，故相位φ对时间的函数式也是不同的，二者之间的相差为
（2）结果如下表所示．
表10-2-1
10-1-9 一劲度系数为k的弹簧和一质量为m的物体组成一振动系统，若弹簧本身的质量不计，弹簧的自然长度为l0，物体与平面以及斜面间的摩擦不计．在如图10-2-8所示的三种情况中，振动周期是否相同．
图10-2-8
答：三种情况中，振动周期相同．物体的振动周期与频率成反比，故也可通过频率来反映周期，对上三幅图分别进行分析：
（1）对于图（a）
由简谐运动规律可知，物块振动的角频率
．
（2）对于图（c）的情况
设弹簧的伸长量为b，以沿斜面向下为振动的正方向，设物体距平衡位置的位移为x，则对物块有
①
②
联立①②得
，易推得
．
（3）对于图（b）的情况
同理可证，
．
综上所述，振动系统的周期只与振动系统本身有关，与振动方式无关．
图10-2-9
10-1-10 两个劲度系数均为k的相同弹簧，按图10-2-10所示的不同方式连接一质量为m的物体，组成一振动系统．试分析物体受到沿弹簧长度方向的初始扰动后是否作简谐运动．如是简谐运动，比较它们的周期．
图10-2-10
答：（1）图示的所有情况都是作简谐运动．
（2）简谐振动的周期只与系统本身有关，而与振动形式无关，上述的所有振动系统是一样的，只是形式不同，因此，它们的周期应该是相同的．验证如下：
①图（a）情况的振动周期
以水平向右为振动的正方向，设弹簧1、弹簧2各自对应的劲度系数分别为k1和k2，伸长量分别为x1、x2，则
整理得 
求得弹簧的总的振动系数为
当
时,根据简谐振动周期公式，求得
②图（b）情况的振动周期
以物块为研究对象
则弹簧的总的振动系数为：
根据简谐振动周期公式，求得T＝
③图（c）情况的振动周期
以物块为研究对象
根据简谐振动周期公式，求得
④图（d）情况的振动周期
设以向下为正，当物体处于平衡位置时
①
当物块处于位移x处时
②
①②两式联立，解得
因此
⑤图（e）情况的振动周期
以物块为研究对象
则 
因此，由简谐振动周期公式可得
⑥图（f）情况的振动周期
以物块为研究对象
则
因此，由简谐振动周期公式可得
10-1-11 三个完全相同的单摆，在下列各种情况，它们的周期是否相同？如不相同，哪个大，哪个小？
（1）第一个在教室里，第二个在匀速前进的火车上，第三个在匀加速水平前进的火车上．
（2）第一个在匀速上升的升降机中，第二个在匀加速上升的升降机中，第三个在匀减速上升的升降机中．
（3）第一个在地球上，第二个在绕地球的同步卫星上，第三个在月球上．
答：由单摆的振动周期公式
可知，周期只与摆长和重力加速度有关．在本题中，单摆相同，因此，周期仅取决于加速度．只要比较不同情形的加速度的情况就可以判断周期的相对大小．
（1）在教室里和在匀速前进的火车上的单摆的振动周期相同，均为
；在匀加速水平前进的火车上，单摆的周期
．
（2）①单摆在匀速上升的升降机中，振动周期
；
②当单摆在匀加速上升的升降机中时，单摆的振动周期
，小于匀速上升的周期；
③当单摆在匀减速上升的升降机中时，单摆振动周期
，大于匀速上升的周期．
（3）根据牛顿运动定律和天体运动学公式：
单摆在同步卫星上的重力加速度
，则周期为
单摆在月球上的重力加速度
，则周期
即
．
10-1-12 三个完全相同的悬挂着的弹簧振子，在下列各种情况，它们的周期是否相同？如不相同，哪个大，哪个小？
（1）第一个在教室里，第二个在匀速前进的火车上，第三个在匀加速水平前进的火车上．
（2）第一个在匀速上升的升降机中，第二个在匀加速上升的升降机中，第三个在匀减速上升的升降机中．
（3）第一个在地球上，第二个在绕地球的同步卫星上，第三个在月球上．
答：由
可知，弹簧振子的振动周期只与系统本身的性质有关，在本题中，振动系统都是相同的，因此弹簧振子的周期也是相同的．
10-1-13 在电梯中并排悬挂一弹簧振子和一单摆，在它们的振动过程中，电梯突然从静止开始自由下落．试分别讨论两个振动系统的运动情况．
答：（1）单摆的运动情况
摆球受力情况如图10-2-11所示，此时2电梯是一个加速度为g的非惯性系．
摆球所受惯性力和重力等大反向，因此摆球所受合力为摆线拉力F，且F充当向心力．因此，摆球将作匀速圆周运动．
图10-2-11
（2）弹簧振子的运动情况
同样，弹簧振子的惯性力与重力等大反向，合力为弹簧拉力，这与在光滑水平面做简谐运动的的弹簧振子受力情况一样，因此仍作简谐运动．
§10-2 阻尼振动
10-2-1 阻尼的存在对简谐运动有哪些影响？试以小阻尼情况讨论之．
答：当存在小阻尼时，简谐运动受到的影响有：
（1）周期变长
振动周期
阻尼的作用使周期变长了．
（2）振幅随着时间t衰减
根据阻尼振动的振动规律，振幅与时间t的关系为
其中，δ为阻尼系数，δ越大，随时间的延长，振幅变小的速度越快．
（3）能量随时间变化
在简谐运动中，一定程度上，振幅与能量是相关联的，因此，在存在小阻尼的情况下，振动系统的能量随时间变化而变化的，关系式为
当t趋近于无穷大时，能量趋近于无穷小．
10-2-2 两个机械振动系统作阻尼振动，问下列哪种情况下位移振幅衰减较快？
（1）物体质量m不变，而阻尼系数δ增大；
（2）阻尼系数δ相同，而质量m增大．
答：当存在阻尼时，振幅会随时间的延长而衰减，即
，衰减程度只与阻尼系数有关，与其他因素无关，因此，第（1）种情况位移振幅衰减得快；第（2）种情况位移振幅衰减情况不变．
§10-3 受迫振动 共振
10-3-1 弹簧振子的无阻尼自由振动是简谐运动，同一弹簧振子在简谐驱动力持续作用下的稳态受迫振动也是简谐振动，这两种简谐振动有什么不同？
答：这两种振动有着相同的运动表达式，即
，但也有很大的不同．
（1）两种振动的频率的决定因素不同，无阻尼自由振动的频率只与振动系统本身有关，而与其他因素无关；稳态受迫振动的频率由驱动力的频率决定，而与系统本身无关；
（2）两者的振幅和初相的决定因素不同，无阻尼自由振动的振幅和初相，都只与振动系统的初始状态有关；而稳态受迫振动的振幅和初相，都受到系统性质、阻尼系数δ和驱动力的影响，而与初始状态无关；
（3）两个系统的受力情况有所差别，无阻尼自由振动的系统只受回复力的作用；稳态受迫振动的系统受线性回复力、阻尼力以及驱动力三者共同的作用；
（4）两种振动的能量不同，无阻尼自由振动系统的机械能等于最初向系统输入的能量，并保持不变；稳态阻尼振动系统中，驱动力做正功，阻尼力做负功，两者相互抵消，系统总能量是不变的，但机械能会随时间变化，系统作等幅振动．
*10-3-2有人说：“稳态受迫振动
中
就是振动的初相位．因为相位为
，t＝0时的相位即为起始时刻的相位，也就是初相位．”这种说法对吗？
答：不对，此时的的意义是位移x和驱动力之间的相位差．
由受迫振动的运动方程可推导出
可用振幅矢量对上式进行描述，如图10-2-12所示．由图可知，为位移与驱动力间的夹角．
图10-2-12
10-3-3 产生共振的条件是什么？在共振时，物体作什么性质的运动？
答：共振是指机械系统所受激励的频率与该系统的某阶固有频率相接近时，系统振幅显著增大的现象．在产生位移共振时，驱动力频率应满足
；在产生速度共振时，驱动力频率应满足
．物体在共振时，物体作的是稳态受迫振动．
§10-5 —维谐振动的合成
10-5-1 什么是拍的现象？产生的条件是什么？如果两振动的振幅不等，即
，是否也有拍现象？
答：（1）拍是指两个同方向且频率接近的简谐运动合成为一个振幅随时间缓慢变化的简谐运动．
（2）拍产生的条件：由拍的定义易知，产生拍的两个简谐运动的频率都较大，且很接近，相差很小．
（3）有拍现象，因为此时合振幅仍有周期性变化，而不为零．
*10-5-2 试分析手风琴、弦乐器、钢琴等乐器中利用拍的现象及其作用．
答：（1）手风琴利用拍现象产生优美的音调，琴键中的音簧产生的拍频与人耳朵听起来愉悦的声音的频率接近，因此弹奏手风琴听起来很悠扬．（2）弦乐器通过拍频来调弦．（3）钢琴利用拍的现象来调律．
§10-6 二维谐振动的合成
10-6-1 两个相互垂直的同频率简谐运动合成的运动是否还是简谐运动？
答：一般来说，这两个简谐运动合成的运动不是简谐运动．当两振动的相差等于零或π时，两者的合运动才是简谐运动．
10-6-2 如何从李萨如图形来确定两简谐运动的频率比．
答：用李萨如图形来确定两简谐运动的频率比是非常方便的．在李萨如图形的矩形框中，分别平行于x轴与y轴作与李萨如曲线有最多的交点的直线，设与x方向的交点数为nx，y方向的交点数为ny，则
如图10-2-13所示，nx＝2，ny＝3，则
．
图10-2-13
二、习题
10-1 一小球与轻弹簧组成的系统，按
的规律振动，式中t以s为单位，x以m为单位．试求：
（1）振动的角频率、周期、振幅、初相、速度及加速度的最大值；
（2）t＝1s、2s、10s等时刻的相位各为多少？
（3）分别画出位移、速度、加速度与时间的关系曲线．
解：（1）由题给振动方程
，可得
则速度最大值 
加速度最大值 
.
（2）由题意可知该简谐振动系统的相位表达式为
，因此
当
时，相位
；
当
时，相位
；
当
时，相位
.
（3）所做出的位移、速度、加速度随时间的关系曲线如图10-2-14所示.
图10-2-14
10-2 有一个和轻弹簧相连的小球，沿x轴作振幅为A的谐振动，周期为T.运动学方程用余弦函数表示.若t＝0时，球的运动状态为：（1）x0＝－A；（2）过平衡位置向x正方向运动；（3）过
处向x负方向运动；（4）过
处向x正方向运动.
试用矢量图示法确定相应的初相位的值，并写出振动表式.
解：各谐振动对应的旋转矢量图如图10-2-15所示.
（a） （b）
（c） （d）
图10-2-15
各振动表达式：
（1）
（2）
（3）
（4）
10-3 一振动质点的振动曲线如图10-2-16所示，试求：
（1）运动学方程；（2）点P对应的相位；（3）从振动开始到达点P相应位置所需的时间.
图10-2-16
解：（1）根据题意，设质点振动的运动学方程为：
由图10-2-16可知：
，则
在t＝0s时，
，解得
．
由于
，故有
．
在t＝1s时，
＝0，则有
，解得
．
因此，求得质点振动的运动学方程为：
.
（2）由图10-2-16可知，点P位于质点正方向位移的最大值处时，相位为零，即
（3）由
可得，从质点自开始振动至到达点P相应位置所需的时间为
10-4 一质量为10g的物体作谐振动，其振幅为24cm，周期为4.0s，当t＝0时，位移为＋24cm．求：
（1）t＝0.5s时，物体所在位置；
（2）t＝0.5s时；物体所受力的大小与方向；
（3）由起始位置运动到x＝12cm处所需的最少时间；
（4）在x＝12cm处，物体的速度、动能以及系统的势能和总能量．
解：（1）根据题意，由t＝0时，A＝24cm，可得初相位
．
当
时，
，解得：
所以t＝0.5s时，物体所在位置为：
.
（2）由简谐振动方程可知，物体加速度
，又
，故
物体所受力大小为
方向与位移的方向相反，即指向平衡位置.
（3）由于
，因此有
，解得
，又
，因此由起始位置运动到x＝12cm处所需最少时间为：
（4）由简谐运动物体的运动学方程可知，在
处
物体的速度为：
物体的动能为：
物体的势能为：
所以谐振动系统的机械能为：
*10-5 在一平板上放质量为m＝1.0kg的物体，平板在竖直方向上下作谐振动，周期为T＝0.5s，振幅A＝0.02m．试求：
（1）在位移最大时物体对平板的正压力；
（2）平板应以多大振幅作振动才能使重物开始跳离平板.
解：（1）根据题意，作出坐标轴，以向上为物体位移
的正方向，如图10-2-17所示.图（a）表示物体处于平衡位置，图（b）中物体处于最高点A，图（c）中物体处于最低点－A处.
图10-2-17
如图（b）所示，物体在x＝A处时，合力方向向下，设此时平板对物体的支持力为FN1，则有
解得 
在振动的最高处时，物体对平板的正压力F′N1与FN1等大反向.
如图（c）所示，物体在x＝－A处时，合力方向向上，设此时平板对物体的支持力为FN2，则有
解得 
（2）当物体跳离平板时，物体受平板支持力为零．由上可知，当物体将跳离平板时，即FN1＝0，因此
，解得
．
10-6 图10-2-18所示的提升运输设备，重物的质量为1.5×104kg，当重物以速度
＝15m/min匀速下降时，机器发生故障，钢丝绳突然被轧住.此时，钢丝绳相当于劲度系数k＝5.78×106N/m的弹簧．求因重物的振动而引起钢丝绳内的最大张力．
图10-2-18
解：根据题意可知，机器发生故障时，重物与钢丝绳组成简谐振动系统，则有
简谐运动系统的固有频率为：
谐振动速率的最大值为：
谐振动的振幅为：
重物在最低处时，受钢丝绳内张力最大，设为
，有
，解得
10-7 一质量为M的盘子系于竖直悬挂的轻弹簧下端，弹簧的劲度系数为k（如图10-2-19所示）．现有一质量为m的物体自离盘h高处自由落下掉在盘上，没有反弹，以物体掉在盘上的瞬时作为计时起点，求盘子的运动学方程．（取物体掉在盘子后的平衡位置为坐标原点，位移以向下为正．）
图10-2-19
解：根据题意，物体与盘接触前一瞬间，做自由落体，则接触时物体的速度：
.
物体与盘接触时动量守恒，有
，解得
又由简谐运动的性质可知
，解得
所以盘子的振动方程为
10-8 一个水平面上的弹簧振子，弹簧的劲度系数为k，所系物体的质量为M，振幅为A．有一质量为m的小物体从高度h处自由下落（如图10-2-20所示）．当振子在最大位移处，物体正好落在M上，并粘在一起，这时系统的振动周期、振幅和振动能量有何变化？如果小物体是在振子到达平衡位置时落在M上，这些量又怎样变化？
图10-2-20
解：对于第一种情况：物块在最大位移处物块速度为0，所以小物体的加入对速度无影响，周期变长，振幅与能量不变.
对于第二种情况：物块在平衡位移处物块速度最大，此时小物体落在M上，简谐振子速度会减小，由简谐运动能量与速度的表达式
，可得：最大速度变为原来的
，ω减小为原来的
，所以振幅也变为原来的
，能量为原来的
.
10-9 一弹簧振子作谐振动，振幅A＝0.20 m，如弹簧的劲度系数k＝2.0 N/m，所系物体的质量m＝0.50 kg，试求：
（1）当动能和势能相等时，物体的位移是多少？
（2）设t＝0时，物体在正最大位移处，达到动能和势能相等处所需的时间是多少？（在一个周期内.）
解：（1）由简谐振动的性质可知，振子做简谐振动时，动能和势能表达式分别为
，
当
时，有
，解得物体的位移为：
.
（2）根据题意，当t＝0时，
，解得：
.
当
时，由振动方程有
，所以t分别为
10-10 如图10-2-21所示，两轮的轴互相平行，相距为2d，其转速相同，转向相反.将质量为m的匀质木板放在两轮上，木板与两轮间的摩擦系数均为μ．当木板偏离对称位置后，它将如何运动？如果是作谐振动，其周期是多少？若两轮均沿图示的相反方向旋转，木板将如何运动？
图10-2-21
解：（1）根据题意建立坐标系，如图10-2-22（a）所示．因木板在竖直方向无运动，故有
设木板的质心C偏离原点O一微小距离x，由对C的力矩平衡，有
解得 
木板在水平方向所受到摩擦作用，合力为
由牛顿运动定律，可得
，式中
.因此，木板将沿方向作简谐振动，振动周期为
（2）若两轮均沿图示的相反方向旋转，此时木板所受摩擦力如图10-2-22（b）所示.
由牛顿运动定律可得
和
，可以看出木板将沿方向作加速运动，利用
改写上式，有
.
设t＝0时，木板的质心C静止于
处，则有：
，解得木板运动的速度为：
.
（a） （b）
图10-2-22
10-11 由长为l的轻杆与半径为r的均质圆盘组成两个摆，其中一个摆的圆盘与杆固定连接如图10-2-23（a）；另一个摆的圆盘装在杆端的光滑转轴上，可相对地自由转动如图10-2-10（b），当两摆作微小振动时，试求它们的周期.
图10-2-23
解：根据题意，设圆盘的质量为m，圆盘（a）绕O轴的转动惯量为J．根据平行轴定理：
.
当摆绕O轴作小角度为θ的摆动时，对O轴的力矩为
即
，解得
.
因此，摆（a）的周期为：
.
同理，摆（b）的周期为：
.
10-12 如图10-2-24所示的三个摆，其中图（a）是半径为R的均质圆环，悬挂在O点并且绕过此点垂直于纸面的轴摆动，图（b）和图（c）是同样圆环中对OC轴对称截取的一部分，分别悬挂在O＇和O″点，可各绕过O＇和O″点且垂直于纸面的轴线摆动，如悬线的质量不计，摆角都不大，比较它们的摆动周期.
图10-2-24
解：
图10-2-25
如图10-2-25所示，相对OC轴任意截取一段圆弧
，设匀质圆环的线密度为
，则质元dm对O的转动惯量为
圆弧对O的转动惯量为：
质心到O点的距离为：
圆弧的质量为：
则圆弧复摆的周期为
因此，摆动周期只与R和g有关，在摆角都不大情况下，三个摆的周期相同，均为
.
10-13 如图10-2-26所示，绝热容器上端有一截面积为S的玻璃管，管内放有一质量为m的光滑小球作为活塞.容器内储有体积为V、压强为p的某种气体，设大气压强为p0.开始时将小球稍向下移，然后放手，则小球将上下振动.如果测出小球作谐振动时的周期T，就可以测定气体的比热容比γ.试证明
（假定小球在振动过程中，容器内气体进行的过程可看作准静态绝热过程）.
图10-2-26
证明：由题意可知，此容器为绝热容器，过程为绝热过程，则
＝常数.
设小球向下移动了的距离，则有：
谐振动的恢复力为：
由数学近似知，当y＜＜1时，有：
所以：
.（用到了
即
）
将上式代入恢复力公式，有
，则由
，得
，周期
解得：
命题得证.
*10-14 如图10-2-27所示，轻质弹簧的一端固定，另一端系一轻绳，轻绳绕过滑轮连接一质量为m的物体，绳在轮上不打滑，使物体上下自由振动.已知弹簧的劲度系数为k，滑轮的半径为R，转动惯量为J.试用能量法：
（1）证明物体作谐振动；
（2）求物体的振动周期；
（3）设t＝0时，弹簧无伸缩，物体也无初速，写出物体的振动表式，设向下为坐标轴正方向．
图10-2-27
解：（1）根据题意，设物位向下偏离平衡位置距离，则滑轮顺时针偏离平衡位置角度
.此时弹簧被拉长
，物体受向上的力，滑轮受垂直纸面向外的力矩，都有恢复到平衡位置的趋势.
设物体所受拉力为
，则有：
①
滑轮所受拉力为
，则有：
②
又由题意可知：
③
联立式①②③则有：
由于此为谐振动微分方程，故物体的运动是简谐运动.
（2）由简谐振动的周期，可得物体的振动周期为：
.
（3）弹簧无伸缩时系统只受重力mg，此力即为此时振动恢复力.又因为
，所以此时相位为0或π，位移最大．设向下为正方向，则物体振动表达式
10-15 一台摆钟每天快1min 27s，其等效摆长l＝0.995 m，摆锤可上下移动以调节周期，假定将此摆当作质量集中在摆锤中心的单摆来考虑，则应将摆锤移动多少距离才能使钟走得正确？
解：对单摆的周期
微分，可得
，即
.
式中，T′和
分别为非标准摆钟的周期和等效摆长.
则标准摆钟的等效摆长为：
设标准钟每天摆动的次数为n，则有：
非标准钟每天摆动的次数为n′，则有：
因为
，所以有：
所以
即应将摆锤移动使得等效摆长增长2mm，才能使钟走得正确.
10-16 质量为m＝5.88kg的物体，挂在弹簧上，让它在竖直方向上作自由振动．在无阻尼情况下，其振动周期为T＝0.4π s；在阻力与物体运动速度成正比的某一介质中，它的振动周期为T＝0.5π s.求当速度为0.01m/s时，物体在阻尼介质中所受的阻力.
解：在阻力与运动速度成正比的阻尼振动中角频率为
由此解得
物体速度为v时所受阻力的大小
10-17 一摆在空中振动，某时刻，振幅为A0＝0.03 m，经t1＝10s后，振幅变为A1＝0.01 m．问：由振幅为A0时起，经多长时间，其振幅减为A2＝0.003 m？
解：在摆的阻尼振动中振幅随时间衰减的规律为：
因此，
由此解得
又
所以 
10-18 火车在行驶，每当车轮经过两根铁轨的接缝时，车轮就受到一次冲击，从而使装在弹簧上的车厢发生上下振动.设每段铁轨长12.6 m，如果车厢与载荷的总质量为55 t，车厢下的减震弹簧每受10 kN（即1 t质量的重力）的载荷将被压缩0.8 mm.试问火车速率多大时，振动特别强？（这个速率称为火车的危险速率.）目前，我国铁路提速已超过140 km/h，试问如何解决提速问题．
解：由题意可知，弹簧的劲度系数为：
火车匀速行驶时，周期性地受到铁轨结分出的撞击，继而引发共振效应．车厢振动的固有角频率为：
火车在行驶中，经过两根铁轨接缝时，受冲击的角频率为：
当ω＝
时，车厢发生共振，此时振动最强，火车最危险，此时速率为
可采用无缝接轨来解决提速问题.
10-19 把一个电感器接在一个电容器上，此电容器的电容可用旋转旋钮来改变.我们想使LC振荡的频率与旋钮旋转的角度作线性变化，如果旋钮旋转180°角，振荡频率就自2.0×105 Hz变到4.0×105 Hz.若L＝1.0×10-3 H，试求电容C的变化范围.
解：由电磁振荡频率
，做变换可得
.
由题意可知，当
时，
，则有
当
时
，则有
所以电容C的变化范围为
.
10-20 如图10-2-28所示，将开关S揿下后，电容器即由电池充电，放手后，电容器即经由线圈L放电.
（1）若L＝0.010 H，C＝1.0 μF，
＝1.4 V，求L中的最大电流（电阻极小，可略）；
（2）当分布在电容和电感间的能量相等时，电容器上的电荷为多少？
（3）从放电开始到电荷第一次为上述数值时，经过了多少时间？
图10-2-28
解：由电磁振荡可知，无阻尼LC电磁振荡的规律为
式中，q为t时刻电容器极板上的电荷量，
为电容器极板上电荷量的最大值的绝对值.
由题意可知：
系统的固有振动角频率为：
（1）电路中的充放电电流i为：
解得电流的最大值：
（2）当分布在电容和电感间的能量相等时，有
，即
则一个周期内电场能和磁场能相等时的相位为：
电场能和磁场能相等时电容器上的电荷量为：
（3）根据题意，设从开始放电开始计时，有
，一次
.
由
可得，从开始放电到第一次电场能和磁场能相等所需时间
10-21 由一个电容C＝4.0 μF的电容器和一个自感为L＝10 mH的线圈组成的LC电路，当电容器上电荷的最大值Q0＝6.0×10-5C时开始作无阻尼自由振荡.试求：
（1）电场能量和磁场能量的最大值；
（2）当电场能量和磁场能量相等时，电容器上的电荷量.
解：（1）电场能量和磁场能量的最大值相等，即为电路的总电磁能
（2）根据题意，振荡回路中，电容器上电量出相等于零，则有
．ω为固有角频率，
当电场能量和磁场能量相等时，有
，式中
.可得
故当
时，有
，电荷量：
.
10-22 一个质点同时参与两个在同一直线上的谐振动：
，
试求其合振动的运动学方程（式中x以m计，t以s计）.
解：由题意可知，两个在同一直线上谐振动合成.
根据简谐振动合成的性质，有：
振幅
初相位：
，解得
所以合振动运动学方程为：
10-23 一个质点同时参与两个同方向同频率的谐振动，其振动方程为
试问：（1）
20为何值时合振动的振幅最大？其值为多少？
（2）若合振动的初相
，则20为何值？
解：（1）由题意可知，当两振动在该质点处同相时，合振动会达到最大振幅.
因此，当
时，有最大合振幅，即
.
（2）若合振动的初相
，合矢量A的方位与A1相反，与A2的方位相同，因此有
，此时合振幅最小，即
.
10-24 三个同方向、同频率的谐振动为
试利用旋转矢量法求出合振动的表达式．
解：由题意可知，三个谐振动的振幅相同，也就是说三个旋转矢量A1、A2和A3的模是相等的，均为0.1m；旋转矢量图上A1、A2和A2、A3夹角相等，均为
，t＝0时刻的旋转矢量如图10-2-29（a）所示.
由图10-2-29（b）可知，t＝0时刻三个振动矢量和A的模，即合振动的振幅为
.
合振动的初相位，即t＝0时刻A与Ox轴正向的夹角为
.因此，合振动的表达式为
图10-2-29
10-25 当两个同方向的谐振动合成为一个振动时，其振动表达式为
式中t以s为单位．求各分振动的合振动的拍的周期．
解：由题意可知，此为同向不同频率的振动合成.
对于这种情况，其合振动方程为：
又
，解得：
所以合振动拍的周期为：
.
10-26 一架钢琴的“中音C”有些不准.为了校准的需要，取一标准的256Hz音叉一起弹响，在1 min内听到24拍.试求待校正钢琴此键音的频率.
解：可利用“拍”现象解决问题．设音叉振动的频率为
，待校键音的频率为
，由拍频可知
解得：
．
即待校键音的频率为258.5 Hz或253.5 Hz．
*10-27 设一质点的位移可用两个谐振动的叠加来表示：
（1）写出这质点的速度和加速度表达式；
（2）这质点的运动是不是谐振动？
（3）画出其x-t图线.
解：（1）由质点运动学可知，质点的速度为：
质点的加速度为：
（2）由上可知质点的加速度
与质点的位移的关系为
，不能满足谐振动的条件，因此质点不作谐振动.
（3）根据两个谐振动曲线画出的x-t图线，如图10-2-30所示.
图10-2-30
10-28 质量为0.1 kg的质点同时参与互相垂直的两个振动，其振动表达式分别为
求：（1）质点的运动轨迹；（2）质点在任一位置所受的作用力.
解：（1）根据题给条件，消去参量t：
令
，两个简谐振动表达式可改写为
综合两式得质点的轨迹方程为：
因此，质点的运动轨迹是一椭圆.
（2）质点运动的加速度为：
由题意可知：
代入上式，有：
因此，质点在任一位置所受的作用力为：
.
10-29 图10-2-31示为在20 cm×20 cm的荧光屏上的李萨如图形.已知水平方向（x方向）的振动频率为50 Hz，t＝0时的光点位于左下角.试写出x、y方向的谐振动方程.
图10-2-31
解：设在谐振动中，方向的角频率为
，y方向的角频率为
.
根据题意，应有：
，即
，
.
设两互相垂直振动的振幅分别为
和
，有：
.设两振动的初相分别为
和
，则x、y方向谐振动的表达式为
由此可得x、y方向谐振动的表达式为
10-30 在工程上常常用多个弹簧振子的串联来描述一个实际的力学系统（如图10-2-32所示），例如一列火车是多节车厢挂接在一起，每节车厢可看作是一个弹簧振子.分析由多个振子串联系统的运动是很有意义的工作.为简单起见，试对两个弹簧振子串联的振动作一描述.设两个振子的劲度系数相同均为0.5 N/m，质量分别为0.5 kg和1 kg，（1）写出两弹簧振子的运动方程；（2）编写一计算机程序，求解该运动方程组并画出两弹簧振子的位移曲线图；（3）从所得的结果是否可以判断两弹簧振子作什么性质的振动（周期振动或混沌）？
图10-2-32
解：（1）两弹簧振子的运动方程分别为
（2）两弹簧振子的位移曲线如图10-2-33所示.
图10-2-33
参考程序：
（3）由于是不同振动的叠加，所以两弹簧振子的振动仍是周期振动，方程所描写的系统不是混沌的．