![范里安《微观经济学(高级教程)》(第3版)配套题库【名校考研真题+课后习题+章节题库+模拟试题】](https://wfqqreader-1252317822.image.myqcloud.com/cover/768/27032768/b_27032768.jpg)
第3章 利润函数
1.一个竞争性的利润最大化厂商有利润函数。将产出价格正规化,令其等于1。
(a)对函数求一阶导数和二阶导数,可以得到什么结论?
(b)如果是对要素
的要素需求函数,
的符号是什么?
(c)令为产生这种形式的利润函数的生产函数。这种生产函数的形式是什么样子的?(提示:参见一阶条件)
A competitive profit-maximizing firm has a profit function .The price of output is normalized to be 1.
(a)What do we know about the first and second derivatives of the functions ?
(b)If is the factor demand function for factor
, what is the sign of
?
(c)Let be the production function?(Hint:look at the first-order conditions.)
答:(a)由利润函数的凸性得到,从而可知
;又因为利润函数关于要素价格是单减的,即
,从而可知
。
(b)根据Hotelling引理可知,因此
。
(c)由(b)可知,又因为对
,
恒成立。
从中反解出
代入上式中可知
只和
有关;同理可知
只和
有关,从而可知
一定可以写成如下形式:
。
2.考虑,
和
,
所描述的技术。计算出这种技术的利润函数。
Consider the technology described by for
and
for
. Calculate the profit function for this technology.
解:令,易知
在区间
上单增,在区间
上单减,所以
在
这一点上达到最大值。下面分情况讨论:
(1)当 时,如果厂商停产,那么它的利润就是零;如果厂商继续生产,那么当它的产量为1时,可以得到最高利润为
。所以,厂商的最优选择就是不生产。
(2)当时,如果厂商停产,那么它的利润就是零;如果厂商继续生产,那么当它的产量为
时,可以得到最高利润,为
。所以如果
即
时,厂商应当选择生产
数量的产品,相应的利润为
;如果
,那么厂商应当选择停产,此时的利润为零。
综上可知,厂商的利润函数为:
![](https://epubservercos.yuewen.com/DB33CA/15436380805519906/epubprivate/OEBPS/Images/image1290.png?sign=1734428058-gVPCuMhpUS8gH7CkBUdk2D8KbEJprjWt-0-95adda6647d37e7b49cdd25f9e5ce9dd)
如图3-1所示。
![](https://epubservercos.yuewen.com/DB33CA/15436380805519906/epubprivate/OEBPS/Images/image1291.jpg?sign=1734428058-zdFkreq7icihdiMJo6d5lMJG8EI1nU3F-0-dca0608fd1f72476c023cf49e96dad97)
图3-1 厂商的利润最大化
3.给出生产函数,计算出利润最大化的需求和供给函数,以及利润函数。为简单起见,假定存在内解。假定
。
Given the production function ,calculate the profit-maximizing demand and supply functions,and the profit function. For simplicity assume an interior solution. Assume that
.
解:利润最大化问题:
![](https://epubservercos.yuewen.com/DB33CA/15436380805519906/epubprivate/OEBPS/Images/image1294.png?sign=1734428058-nIrlf3e9GTkUvVwv9WLixQS2bY8NYCPK-0-36a853fd147b51510714f177a3ddc29c)
一阶条件为:
![](https://epubservercos.yuewen.com/DB33CA/15436380805519906/epubprivate/OEBPS/Images/image1295.png?sign=1734428058-aoSjW7FHvaSezy5zLHh86VPvTO9rw8dO-0-dc1191c3730cff3f5e993dee305931d5)
得出要素需求方程为:,
。
将要素需求方程代入生产函数,得到供给函数:
![](https://epubservercos.yuewen.com/DB33CA/15436380805519906/epubprivate/OEBPS/Images/image1298.png?sign=1734428058-qXiU1oGgLUOB91JkqrYfLPmhF3UGSxNE-0-790cf5fe263c150abdff17494a5ef27b)
将要素需求方程代入目标函数就得出利润函数:
![](https://epubservercos.yuewen.com/DB33CA/15436380805519906/epubprivate/OEBPS/Images/image1300.png?sign=1734428058-zfXqLZ8NfoggpdknYxGpALytMaJgVktv-0-289d6b9634bd898eedefc558d07c7945)
4.给出生产函数,计算出利润最大化的需求和供给函数,以及利润函数,假定
。
和
必须满足什么样的约束?
Given the production function ,calculate the profit-maximizing demand and supply functions, and the profit function. Assume
. What restrictions must
and
satisfy?
解:利润最大化问题:
一阶条件是:
![](https://epubservercos.yuewen.com/DB33CA/15436380805519906/epubprivate/OEBPS/Images/image1305.png?sign=1734428058-aePzCDb3xu4VDlynRcq5WtJisyYI47uU-0-70efdc31fe759d3bf2cb012096a7f1f1)
解得要素需求函数:
![](https://epubservercos.yuewen.com/DB33CA/15436380805519906/epubprivate/OEBPS/Images/image1306.png?sign=1734428058-Q5XpQjVTZMtDBkW93O9Fqdh8v0fVDVAO-0-0c8c0c791ba1a18203cf659ca82ad31c)
将要素需求函数代入目标函数即求得利润函数:
![](https://epubservercos.yuewen.com/DB33CA/15436380805519906/epubprivate/OEBPS/Images/image1308.png?sign=1734428058-ngsyQUOM5xBkV3tsOL3ilciD6cSRCApP-0-3467b255bcbb9a8bffedaef880eba218)
当时,生产函数规模报酬递增,所以不存在最大利润;当
时,得到柯布—道格拉斯生产函数,所以不存在最大利润;当
时,优化问题的海赛矩阵负定,所以存在最大利润。
综上可知时,利润最大化问题有解。
5.给出生产函数,计算出利润最大化的需求和供给函数,以及利润函数。
必须满足什么约束?
Given the production function , calculate the profit -maximizing demand and supply functions, and the profit function. What restriction must a satisfy?
解:厂商的利润最大化问题为:
![](https://epubservercos.yuewen.com/DB33CA/15436380805519906/epubprivate/OEBPS/Images/image1313.png?sign=1734428058-HdJndxrfzH4CDaJLy72KY2CfX0aUY69I-0-0287b62eb1eda42e4ef7dce6ad5247ec)
对于最优解必有,所以上述最优化问题可以化简为:
![](https://epubservercos.yuewen.com/DB33CA/15436380805519906/epubprivate/OEBPS/Images/image1315.png?sign=1734428058-LgtkzJ0L3FEyBQZwdcdLmySCSqN4VFiv-0-4e897a4b6fc1eb036bf63677b7f34c4e)
从而解得要素需求函数为:
![](https://epubservercos.yuewen.com/DB33CA/15436380805519906/epubprivate/OEBPS/Images/image1316.png?sign=1734428058-pNsZY3V4B3EtdWCKPgxORHuc1jpEwIjX-0-fff4cc07a52b87ed524d0e57ef01aee4)
将要素需求函数代入生产函数得到供给函数:
![](https://epubservercos.yuewen.com/DB33CA/15436380805519906/epubprivate/OEBPS/Images/image1317.png?sign=1734428058-pFXa03itm0VuhAoLZ0K0cVgms4OefJ7g-0-fec0a8dec59c0d799d4cdddb73891ae3)
将要素需求函数代入目标函数得到利润函数:
![](https://epubservercos.yuewen.com/DB33CA/15436380805519906/epubprivate/OEBPS/Images/image1318.png?sign=1734428058-8QM2OvOHrE7LZeez2LPEguRtQvOxyZDY-0-63829f5593d6f7384213fb8cceee780b)
上述最优化问题的二阶条件为,可见为了满足二阶条件必须有
;当
时,生产函数规模报酬递增,所以不存在最大利润;当
时,只有当
时,厂商有最大利润(等于零),当
时,厂商无最大利润;综上可知:当
时,厂商的利润函数处处存在。