第7章　应力状态和强度理论

一、填空题

1．如图7-1所示单元体的三个主应力为：σ₁＝______；σ₂＝______；σ₃＝______。[北京航空航天大学2005研]

图7-1

【答案】10MP；5MP；-10MP。

【解析】该单元体为三向应力状态，则有：

2．受内压P作用的封闭薄壁圆柱形筒，平均直径为D，壁厚为t，且筒壁材料处于二向应力状态，材料的许用应力为[σ]。若采用第三强度理论建立的强度条件______。[西安交通大学2005]

【答案】

【解析】由薄壁圆筒的应力公式知应力分量为

轴向应力为，周向应力为：

所以主应力为：

。

采用第三强度理论建立的强度条件为

3．如图7-2所示，在体积较大的钢块上开一个贯穿的槽，其宽度和深度都是1 cm，在槽内紧密无隙地嵌入一铝质立方块，尺寸是1 cm×1 cm×1 cm。当铝块受到压力P＝6 kN的作用时，钢块不变形，铝的弹性模量E＝70 GPa，ν＝0.33。则铝块按第三强度理论的相当应力σ_r3＝______，按第四强度理论的相当应力σ_r4＝______。[大连理工大学2002研]

图7-2

【答案】60 MPa；52.9 MPa。

【解析】该单元体是如下二向应力状态：

图7-3

在铝块横截面上的压应力为：这是两个个主应力中绝对值最大的一个。

钢块不变形，铝块收受到P作用时产生横向均压力，

有广义胡克定律

由此求得：p＝-19.8 MP

因此，两个主应力为：σ₁＝-19.8 MP，σ₂＝-60 MP

第三强度理论：

第四强度理论：

二、选择题

1．对同一个单元体的应力状态，用第三强度理论和第四度理论计算的相当力σ_r3与σ_r4，比较二者（　　）。[西安交通大学2006研]

A．σ_r3＝σ_r4

B．σ_r3＞σ_r4 

C．σ_r3＜σ_r4

D．无法确定固定关系

【答案】B

【解析】第三强度理论：

第四强度理论：

因为，所以

三、计算题

1．两端封闭的薄壁铸铁圆筒如图7-4所示，已知圆筒内径d＝200mm，壁厚t＝10mm，材料的泊松比μ＝0.25，许用应力，圆筒随受内压力q＝10MPa和轴向压力F＝200kN以及外力偶矩T＝6kN·m，试按第二强度理论校核圆筒的强度，并画出筒壁上各点的应力状态。[华南理工大学2012研]

图7-4

答：薄壁圆筒的横截.轴向应力为：　  ①

薄壁圆筒环向应力为：　 ②

径向应力为： 　 ③

切应力为：  ④

其中

由以上各式解得：

取单元体进行分析，其应力状态如图7-5所示。

图7-5

　

　 =103.77MPa

 

　 =78.06MPa

按照第二强度理论校核

所以，该薄壁筒的强度不满足要求。

2．曲拐受载如图7-6所示，已知危险点处单元体的应力分量分别为σ_x＝10 MPa，σ_y＝30 MPa，τ_xy＝20 MPa，试求单元体的主应力大小、主平面的方位及其最大剪应力，并画出主单元体应力状态。[武汉理工大学2010研]

图7-6

解：由题已知：σ_x＝10 MPa，σ_y＝30 MPa，τ_xy＝20 MPa

（1）由主应力计算公式可得：

按照主应力的记号规定可得单元体的三个主应力为：

σ₁＝42.4 MP，σ₂＝0 MP，σ₃＝-2.4 MP

（2）主平面位置由公式可得：

解得：或

（3）最大剪应力：

（4）主单元体示意图：

  图7-7

2．构件上某点单元立方体的应力状态如图7-8所示（应力单位为MPa）。材料的弹性模量E＝200GPa，泊松比为μ＝0.3，试求：（1）三个主应力；（2）最大剪应力；（3）三个主应变；（4）体积应变；（5）分别按最大拉应力理论，最大拉应变理论，最大剪应力理论及形状改变比能量理论求相当应力。[浙江大学2006研]

图7-8

解：（1）对于图示应力状态，已知σ_z为主应力，其他两个主应力可由xy平面内的σ_x，τ_xy，σ_y$求出。

由公式

可得：

于是三个主应力为：

（2）最大剪应力：

（3）三个主应变

由广义胡克定律得：

同理：

（4）体积应变：

（5）①最大拉应力理论：

②最大拉应变理论：

③最大剪应力理论：

④形状改变比能量理论