第3章　函数的极限与连续性

3.1　复习笔记

一、函数的极限

1．定义

设函数内有定义，若存在实数A，使得

（即时，函数以A为极限，记为或者

2．基本性质

（1）不变性

定理　设改变在外面的函数值，不影响在x₀处的敛散性．

（2）唯一性

定理　设极限存在，则该极限值是唯一的．

（3）有界性

定理　设极限使得在有界．

（4）保序性

定理　设则

①若使得当时，有则Ａ≤Ｂ；

②若则对任何使得当时，

（5）四则运算

定理　设则有

①

②

③这里假定

（6）复合函数的极限

定理　设函数有定义，当，则有

（7）夹逼收敛定理

定理　若而且存在使得对一切成立，则有

．

3．函数极限概念的推广

（1）单侧极限

①邻域的推广

（x₀的右邻域）；

（x₀的左邻域）；

（x₀的右空心邻域）；

（x₀的左空心邻域）．

②单侧极限的定义

设在上有定义．如果存在实数A，对使得当

（即则称在点x₀的右极限，记为

或者

类似地可定义或者

③函数极限与单侧极限的关系

定理　函数在点x₀极限存在的充分必要条件是在点x₀的左、右极限都存在且相等．

（2）自变量趋向无穷大时的极限

①∞的单侧邻域

a．称集合为∞的邻域，记为或

b．称为∞的单侧邻域，分别记为和.

②自变量趋向无穷大时极限的定义

设函数在上有定义．若存在实数A，使得则称当x趋于时的极限存在，其极限为A记为或者

类似地可以定义和

（3）广义极限

设使得当时，有则称当x趋于x₀时，的广义极限为+∞，并记为

或

类似地可以定义.

4．序列极限与函数极限的关系

定理　设在上有定义，则＝Ａ成立的充分必要条件是：对内任意收敛于x₀的序列都有

5．极限存在性定理和两个重要极限

（1）极限存在性定理

定理　设函数在内有定义，分以下两种情形讨论：

①若在上单调上升，则

②若内单调下降，则

（2）柯西收敛准则

定理　设内有定义，则存在的充分必要条件是：当时，有

（3）两个重要的极限

①

②

（4）函数的上、下极限

①x→x₀时函数上、下极限的定义

设函数在内有定义．对任意的设

则当时，有容易看出，作为上的函数，关于δ单调递减，而关于δ单调递增．因此它们的广义极限都存在．令

则分别称之为当x趋于x₀时的下极限和上极限，记为

②x→x₀时函数极限与上、下极限的关系

定理　设函数在内有定义，则存在的充分必要条件是

二、函数的连续与间断

1．相关概念

（1）函数在一点处连续与间断的定义

①设函数内有定义．若有则称在点x₀连续，并称x₀为的一个连续点；否则称在点x₀间断（或不连续），并称x₀为的一个间断点（或不连续点）．

②若当时，有则称在点x₀连续．

③设函数在点x₀处连续，则有

（2）函数在一点左、右连续的定义

若函数上有定义，且f（x₀），则称上有定义且则称在点x₀左连续．

（3）函数在一点连续与左、右连续的关系

定理　在点x₀处连续的充分必要条件是它在该点左、右连续．

（4）函数在区间上的连续

设函数在

（5）间断点的分类

①若与都存在，则称x₀为的第一类间断点．此时，若则称此间断点为可去间断点；否则称其为跳跃间断点．

②若与至少有一个不存在时，则称x₀为的第二类间断点．

2．连续函数的性质

（1）连续函数的基本性质

①连续函数是局部有界的，即若在点x₀处连续，则必存在J＞0，使得在U（x₀，J）上有界．

②连续函数的局部保号性，即：

a．若在点x₀处连续，而且则必存在使得对一切成立．

b．对任意的总存在δ₀＞0，使得当时，有

③连续函数经四则运算后仍然连续，即若和g（x）在点x₀处连续，则函数和

也在点x₀处连续．

（2）复合函数的连续性定理

定理　设连续，则复合函数在点x₀连续．

（3）反函数连续性定理

定理　设在上连续．

3．初等函数的连续性

（1）指数函数的定义推广

①当x为正有理数（其中p，q是互素的正整数），定义对于任何负有理数x，定义并定义

②当x为一无理数时，定义为小于x的有理数}．

③有

a．

b．若则

（2）初等函数的连续性

①六大类基本初等函数在其定义域内都是连续的．

②初等函数在其定义域内是连续的．

三、闭区间上连续函数的性质

1．基本性质

（1）有界性

定理　设函数则在[a，b]上有界．

（2）最值定理

定理　设则在上必有最小值和最大值，即存在使得对一切的成立．

（3）介值定理

定理　设即对

使得

（4）零点存在定理

定理　设在区间I上连续．若满足则存在使得

2．函数的一致连续性

（1）一致连续性的-定义

设函数在区间I上有定义．若对当且时，有则称在I上一致连续．

（2）一致连续性判别定理

①一致连续性的必要条件

定理　在I上一致连续，它必在I上连续.

②一致连续性的充要条件

定理　设函数在区间I上有定义，则在I一致连续的充分必要条件是：对任意的两个序列

若满足必有

（3）闭区间上连续函数的一致连续性定理

定理（康托尔定理）　设函数则在闭区间[a，b]上一致连续．

（4）开区间上连续函数的一致连续性定理

定理　函数在上连续,在（a，b）上一致连续的充分必要条件是:

与

都存在．

四、无穷小量与无穷大量的阶

1．无穷小量与无穷大量

（1）定义

设函数上有定义．

①若则称时的一个无穷小量；

②若则称为x→x₀时的一个无穷大量．

（2）关系

定理　设函数上有定义且恒不为零，则时的一个无穷小量的充分必要条件是为时的一个无穷大量．

2．无穷小量与无穷大量的阶

（1）分类

设f（x）和g（x）都是当x→x₀时的无穷小量（无穷大量），且

①若则称f（x）是比g（x）更高阶的无穷小量（更低阶的无穷大量），记为

；

②若则称f（x）与g（x）是同阶无穷小量（同阶无穷大量）；

③若则称f（x）与g（x）是等价无穷小量（等价无穷大量），记为

④若存在和使得有成立，则记为

．

（2）应用

定理　若无穷小（大）量则有

①；

②；

③.

假定所有的函数都在点x₀的某个去心邻域上有定义，作为分母的函数在这个去心领域上不为0，并且假定各式右端的极限存在．