第1章　函数

1.1　复习笔记

一、实数

1．数集

（1）集合的概念

集合是将具有某种特性的、确定的、互不相同的对象的全体作为一个整体，这些对象称为集合中的元素，若a是集合A中的元素，则记为a∈A，如果a不是集合A中的元素，则记为.

（2）集合的表示方法

①列举法：是将集合中的元素全部列出.

②描述法：是将集合的特性精确给出.

（3）子集的相关概念

①子集的定义：若集合A中的每一个元素X都属于集合B，则称B包含A，记为，此时也称A是B的子集.

②集合相等：如果和同时成立，则认为A，B是同一个集合，此时也记为A＝B.

③真子集的定义：若且A≠B，则称A是B的真子集，记为.

注：空集即中不含有任何元素,因此是任何集合的子集.

（4）集合的运算

给定集合A，B，集合有以下常用运算：

①称为A与B的并；

②称为A与B的交；

③称为A与B的差.

2．实数系的连续性

（1）分划的定义

设S是一个有大小顺序的非空数集，A和B是它的两个子集，如果它们满足以下条件

①

②

③都有

④A中无最大数，

则将A，B称为S的一个分划，记为.

（2）戴德金分割定理

对实数系R的任一分划（A|B），B中必有最小数.

3．有界集与确界

（1）有界集

①设集合并且，

a．如果存在使得对有≤M，则称E是有上界的，并且说M是E的一个上界；

b．如果存在使得对有≥m，则称E是有下界的，并且说m是E的一个下界；

c．如果E既有上界又有下界，则称E是有界的.

②E是有界的充分必要条件是：存在M＞0，使得对任意的有

（2）确界的定义

①上确界

设为一个非空数集，若有满足

a．M是E的一个上界，即有

b．对存在使得则称M为E的上确界，记为.

②下确界

设满足：

a．m是E的一个下界，即有

b．对存在使得，则称m为E的下确界，记为

显然，E的上确界就是它的最小上界，而下确界就是它的最大下界.

（3）确界定理

非空有上界的实数集必有上确界；非空有下界的实数集必有下确界.

（4）常用不等式

①实数的绝对值

由此可知，对任何有

②三角不等式

，

③伯努利（Bernoulli）不等式：对任意的和任意正整数n，有

④算术—几何平均不等式：对任意n个非负实数有：

（5）常用记号

①N：全体正整数组成的集合；

②Z：全体整数组成的集合；

③Q：全体有理数组成的集合；

④R：全体实数组成的集合.

显然有

⑤闭区间：

⑥开区间：

⑦左开右闭区间：

⑧左闭右开区间：且；

⑨无穷区间：.

二、函数的概念

1．函数的定义

（1）对于给定的集合，如果存在某种对应法则f，使得对X中的每一个数x，在R中存在唯一的数y与之对应，则称对应法则f为从X到R的一个函数，记做

其中y称为f在点x的值，X称为函数f的定义域，数集称为函数f的值域，记为f（x），x称做自变量，y称做因变量.

（2）构成一个函数必须具备三个基本要素：定义域、值域和对应法则.

2．常见函数类型

（1）基本初等函数

①常值函数：

②幂函数：

③指数函数：

④对数函数：

⑤三角函数：

⑥反三角函数：.

（2）特殊函数

①符号函数

②狄利克雷（Dirich1et）函数

.

③高斯（Gauss）取整函数其中［x］即不超过x的最大整数，即n≤x＜n＋1.

④黎曼（Riemann）函数

⑤特征函数:设，

称为集E的特征函数.

3．函数的构造

（1）函数的四则运算

设为两个已知函数，且则可以利用实数的四则运算构造新函数如下：

（2）函数的限制与延拓

设函数和满足：且则称f（x）是g（x）在X₁上的限制，而g（x）是f（x）在X₂上的延拓.

（3）函数的复合

设为两个函数，若则定义在X₁上的函数称为f₁和f₂的复合函数，记作，通常称f₁为该复合函数的内函数，f₂为外函数.

注：函数的复合运算可以进行的前提条件是，外函数的定义域必须包含内函数的值域.

（4）映射和反函数的定义

①单射：设是一个函数，若对任意的只要x₁≠x₂，就有成立，则称f（x）是单的.

②满射：若则称f（x）为满的.

③双射：若f（x）既是单的又是满的，称为双射，又称它为一个一一对应.

④反函数：设是一个一一对应.定义函数如下：对任意的函数值g（y）规定为由关系式y＝f（x）所唯一确定的这样定义的函数g（y）称为是函数f（x）的反函数，记为

注：反函数的定义域和值域恰为原来函数的值域和定义域.函数f和其反函数满足：

y＝f（x）的图像与它的反函数的图像正好关于直线y＝x对称.

三、具有某些特性的函数

1．有界函数

（1）设y＝f（x）是定义在X上的函数.若存在常数M，使得对都有f（x）≤M，则称f（x）在X上有上界，同时称M是f（x）的一个上界；若存在常数m，使得对都有,则称f（x）在X上有下界，同时称m是f（x）的一个下界；若f（x）在X上既有上界M又有下界m，则称f（x）在X上有界.

（2）f（x）在X上有界的充分必要条件是存在，使得当时，有,即

2．单调函数

设y＝f（x）是定义在X上的一个函数，若对任意的只要x₁＜x₂，便有

则称f（x）在X上是单调上升（下降）函数或单调递增（递减）函数.在上述不等式中将换成则称f（x）在x上是严格单调上升（下降）函数.单调上升函数和单调下降函数统称为单调函数.

3．周期函数

设y＝f（x）是在X上有定义的函数,若存在T＞0，使得对任意有则称f（x）为周期函数，T称为f（x）的一个周期.若存在一个最小的正周期T₀，则称T₀为f（x）的基本周期.

4．奇函数、偶函数

设y＝f（x）是定义在X上的一个函数，而且X是关于原点对称的，即蕴涵着

（1）若对一切的成立，则称f（x）是X上的奇函数；

（2）若对一切的成立，则称f（x）是X上的的偶函数.

注：偶函数的图像是关于y轴对称的，而奇函数的图像是关于原点对称的.

四、初等函数

1．初等函数的概念

从六种基本初等函数出发，经过有限多次加、减、乘、除和复合运算所能得到的所有函数统称为初等函数.

2．双曲函数

（1）双曲函数的定义

这四个函数分别称之为双曲正弦、双曲余弦、双曲正切和双曲余切.

（2）双曲函数的恒等式