第5章　导数的应用

5.1　复习笔记

一、微分中值定理

1．极值的定义

（1）若函数f（x）在的某个去心邻域内恒有

，

则称为f（x）的极大（小）值点，称为它的极大（小）值；若不等号严格成立，则称为严格极大（小）值.

（2）极大值点和极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.

2．费马定理

（1）定理（费马定理）　设函数f（x）在中有定义．若是f（x）的极值点，且存在，则.

（2）推论　使得f'（x）＝0的点也称为f（x）的驻点．若极值点可导，则它必是驻点；但驻点未必是极值点.

3．罗尔微分中值定理

定理　设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，且f（a）＝f（b），则在（a，b）内至少存在一点使得

4．拉格朗日微分中值定理

（1）定理

若函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则在（a，b）内至少存在一点使得

（2）推论

①设函数，且在（a，b）内可导．若f'（x）＝0，则f（x）≡C，其中C是一常数．

②设函数，且在（a，b）内可导．若f'（x）＝g'（x），则f（x）＝g（x）＋C，其中C是一常数．

5．柯西微分中值定理

定理　若函数f（x）和g（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，而且g'（x）≠0，则在（a，b）内至少存在一点，使得

．

二、洛必达法则

1．型不定式求极限

（1）定理　设函数f（x），g（x）在a点的某一去心邻域上可导，而且满足：

①

②

③，

则有

（2）定理　设函数f（x），g（x）在上可导，而且满足：

①

②

③；

则有

2．型不定式求极限

（1）定理　设函数f（x），g（x）在a点的某一去心邻域上可导，且满足：

①；

②；

③.

则有

（2）定理　设函数f（x），g（x）在上可导，而且满足：

①；

②；

③，

则有

（3）设I是一个区间，n是一个非负整数，用记号表示I上所有具有n阶连续导数的函数的集合，用记号表示I上具有任意阶导数的函数的集合，表示I上所有连续函数的集合．

3．洛必达法则的局限性

（1）通过变量替换，总可把其他形式的不定式极限问题转化为型

（2）并非所有的型不定式都可用洛必达法则求其极限．

（3）应用洛必达法则时，每步必须验证是否存在的条件，否则会得出错误的结论．

三、泰勒公式

1．带佩亚诺余项的泰勒公式

（1）重要定理

设函数f（x）在处具有n（n≥1）阶导数，则有

（2）重要定义

当f（x）在处具有n（n≥1）阶导数时，就把多项式

称为f（x）在处的泰勒（Taylor）多项式，而将

称为f（x）在处的泰勒公式，其中称为泰勒公式的余项，称为佩亚诺余项.

特别地，当时，称此时的泰勒公式为麦克劳林（Maclaurin）公式．

（3）重要函数的带佩亚诺余项的麦克劳林公式

①

②

③

④

⑤

⑥

⑦

2．带拉格朗日余项的泰勒公式

（1）定理　设，而且在（a，b）内存在n＋1阶导数，则对任意有

其中介于x与之间.

注：①余项称为拉格朗日余项.

②表为

（2）常见函数的带拉格朗日余项的泰勒公式

①

②

③

④

⑤

3．拉格朗日插值多项式

（1）插值多项式

设y＝f（x）是在区间[a，b]上定义的某个函数，已知它在该区间上n＋1个不同点处的函数值为寻找一个多项式P（x），使得

这样的多项式P（x）称为f（x）的插值多项式.

（2）拉格朗日插值多项式

称形式为

的插值多项式为n阶拉格朗日插值多项式，其中

称为插值节点.

（3）重要定理

设被插函数，且插值节点互不相同，则对任意的都存在使得

.

四、利用导数研究函数

1．函数的单调性

（1）定理　设函数f（x）在区间I内可导，则

①f（x）在I内单调上升的充分必要条件是

②f（x）在I内单调下降的充分必要条件是

（2）推论　一个可导函数f（x）在I内严格单调上升（下降）的充分必要条件是：在区间I上

，而且在该区间的任何子区间上都不恒等于0．

2．函数的极值

（1）定理　设函数f（x）在内可导且在点x₀处连续，则

①若当时，，而当时，则f（x）在点x₀取得严格极大值；

②若当时，，而当时，则f（x）在点x₀取得严格极小值；

③若当及时，都有或者则x₀不是f（x）的极值点．

（2）定理　设函数f（x）在内n阶可导，且，则

①当n为奇数时，f（x）在点x₀不取极值；

②当n为偶数且时，f（x）在x₀取严格极小值；

③当n为偶数且时，f（x）在x₀取严格极大值．

（3）达布（Darboux）定理　设函数f（x）在[a，b]上可导，则对于任意介于使得

3．函数的凹凸性

（1）重要定义

设函数f（x）在区间I内有定义．若对有

则称f（x）为I上的凸函数；若当时，总有严格不等式成立，则称f（x）为I上的严格凸函数．若将

就得到了凹（严格凹）函数的定义.

（2）重要定理

①为凸函数的充分必要条件是：对任意的，只要便有

；

②定理　设函数且在（a，b）上可导，则f（x）为凸函数的充分必要条件是内单调上升；而f（x）为严格凸函数的充分必要条件是内严格单调上升.

③定理　设函数且在（a，b）上二阶可导，则f（x）为凸函数的充分必要条件为：，而f（x）为严格凸函数的充分必要条件为：

a．

b．的任一子区间上都不恒等于0.

（3）重要的不等式

①调和-几何-算术平均不等式

　

②赫尔德（HÖlder）不等式和施瓦茨（Schwarz）不等式

设

其中，当时,又称为柯西-施瓦茨（Schwarz）不等式.

4．函数的拐点

（1）定义　设函数f（x）在上连续,如果存在使得f（x）在是凹（凸）的，而在是凸（凹）的，则称x₀为f（x）的一个拐点．

（2）定理　如果x₀是f（x）的拐点，且存在，则

（3）定理　如果函数f（x）在二阶可导，存在而且不为零，则x₀是f（x）的拐点．

5．函数的渐近线

（1）设函数的图像有一向无穷远无限伸展的分支，如果当一个点沿着这一分支趋向无穷远时，该点与某一条直线l的距离趋向于零，则称直线l为f（x）的一条渐近线．

（2）如果有，则称为f（x）的一条垂直渐近线.

（3）非垂直渐近线包括斜渐近线和水平渐近线.

6．函数的作图

对于函数，要做出其图像，具体步骤如下：

（1）求出函数的定义域；

（2）研究函数的有界性、奇偶性和周期性；

（3）解方程列表确定函数升降区间和极值点；

（4）解方程列表确定函数的凸凹区间和拐点；

（5）求出函数的斜渐近线与垂直渐近线；

（6）计算一些重要点上（如点x＝0）的函数值；

（7）根据以上数据及函数的变化趋势描出其草图．