第6章 离散系统的z域分析
一、选择题
1．已知某序列
的双边z变换及其收敛域为
则原序列
是（ ）。[东南大学研]
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】已知双边z变换及其收敛域
对其做z的逆变换有
。
2．序列
的单边z变换
等于（ ）。[北京邮电大学研]
【答案】D
【解析】根据离散序列单边z变换的定义
3．已知线性时不变离散时间系统单位冲激响应为
，请问该系统是不是稳定系统？（ ）[电子科技大学研]
A．由输入决定
B．不稳定
C．可能稳定
D．稳定
【答案】B
【解析】由冲激响应
而为了系统稳定，必须使所有极点位于单位圆内。因此，该系统是不稳定的。
4．离散序列
的z变换及收敛域为（ ）。[西安电子科技大学研]
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】利用z变换的定义求解Z变换：
二、填空题
1．象函数
则原序列
。[西安电子科技大学研]
【答案】
【解析】 
根据给定的收敛域
可知，上式第一项的原序列为因果序列，第二项的原序列为反因果序列，故
2．若离散系统的单位脉冲响应
则描述该系统的差分方程为_____。[北京交通大学研]
【答案】
【解析】对单位脉冲响应进行z变换可得系统函数为
由系统函数的定义可以得到差分方程的z域表示式为
，进行z反变换即得差分方程为
。
3．已知实信号
的Z变换有一个极点为1＋j，则
的Z变换有_____个极点，是_____。[华南理工大学2011研]
【答案】2；
【解析】为实信号，则其极点应共轭存在，可知另一个极点为
。根据z变换时间反转性质可知：
也就是的收敛域是收敛域的倒置。即
的极点为。
二、分析计算题
1．已知两个级联型系统，其中第一个系统的输入是z（n），系统函数为
输出叫（n）。第二个系统输入w（n），系统函数
输出y（n）。
（1）求该系统总的系统函数H（z），并写出系统的差分方程；
（2）当输人为
且
时，求全响应；
（3）当输人为
求全响应。[上海交通大学研]
解：
系统差分方程为
设对应零输入响应
则有
设对应零输入响应
，则有
2．描述某线性非移变离散系统的差分方程为
；已知
，
；
试用Z变换方法求解系统零输入响应、零状态响应和全响应
。[天津工业大学2006研]
解：由系统差分方程及，可求出
系统差分方程两边取Z变换可得
而
同时将代入上式，有
其中，
由
反变换得零状态响应为
；
由
反变换得零输入响应为
所以，全响应为
3．已知某个IIR数字滤波器的结构如图6-1所示，图中D为单位延时，试求其单位阶跃响应s[n]，并计算在如下因果输入x[n]时、滤波器输出y[n]的前5个序列值。[中国科技大学研]
图6-1
解：首先，求出该IIR数字滤波器的的差分方程表示。单位延时的系统函数为2，故该IIR数字滤波器可画成图6-2的结构。由图中看出，它是系统1和系统2的级联。
图6-2
对于左边的系统1，有如下关系
联立这两式可以得到
，或系统1的系统函数
右边的系统z是离散时间一阶系统，它的系统函数为：
该IIR数字滤波器的总系统函数为：
它的差分方程表示为：
然后，用差分方程的递推算法求在给定因果输入x[n]时、滤波器输出的前5个序列值。V1boqi的后推方程为：
则在本小题给定的因果输入x[n]时，滤波器输出
的前5个序列值计算如下：
4．已知某离散时间系统的输入f（n）和输出y（n）由下面的差分方程描述
y（n）＋（3/4）y（n－1）＝f（n）
试问该系统具有何种滤波特性（低通、高通、带通或全通）?为什么?[长沙理工大学2005研]
解：对差分方程取单边z变换，得：
根据系统函数定义，有
由于收敛域包含单位圆，因此，系统的频率响应为
很显然，该滤波器是一个高通滤波器。
5．已知某二阶线性时不变离散因果系统的单位函数响应h（k）满足差分方程
（k），B为常数。
当输入激励为
时，其零状态响应为
试：（1）求常数B；
（2）求系统的输入输出差分方程；
（3）画出其直接型框图，并判定系统的稳定性；
（4）列写相变量法状态方程和输出方程。[东南大学研]
解：（1）求解差分方程
并利用h（－1）=0，得
由
产生的零状态响应
对比由
产生的零状态响应
可得
（2）
故
即描述系统的差分方程为
（3）画出系统的直接型框图如图6-3所示。由于两个极点
；均位于单位圆内，所以系统稳定。
图6-3
（4）如解题图7－3—19所示，选择两个延时器的输出作为状态变量，列写出状态方程和输出方程如下：
6．描述某离散LTI系统的差分方程为
，若系统稳定，求该系统的单位样值响应
。[华中科技大学2008研]
解：由题可知，差分方程可以化简为
由系统函数的定义得：
因为系统稳定，所以
的收敛域为：
对作因式分解得
该系统的单位样值响应为
7．已知因果系统的差分方程为
（1）求H（z），h（k）；
（2）当y（－1）=1，y（－2）=0，f（k）=δ（k）时，求全响应y（k），零输入响应yx（k），零状态响应yf（k）。[浙江大学研]
解：（1）
故
（2）当f（k）=δ（k）时的零状态响应yf（k）就是h（k），即
零输入响应的通解为
联立求解得
故
故全响应为
8．求因果序列的初值和终值，已知该序列z变换为
。[中国科学院研究生院2012研]
解：
由于
的两个极点分别为
，可知的收敛域不包含单位圆，则该序列无终值。