第一部分　课后习题

第1讲　偏好、效用与消费者的基本问题

1．根据下面的描述，画出消费者的无差异曲线。对于（2）和（3）题，写出效用函数。

（1）王力喜欢喝汽水，但是厌恶吃冰棍。

（2）李楠既喜欢喝汽水，又喜欢吃冰棍，但她认为三杯汽水和两根冰棍是无差异的。

（3）萧峰有个习惯，他每喝一杯汽水就要吃两根冰棍，当然汽水和冰棍对他而言是多多益善。

（4）杨琳对于有无汽水喝毫不在意，但她喜欢吃冰棍。

答：（1）根据题意，对王力而言，冰棒是厌恶品，相应的无差异曲线如图1-1所示（图中箭头表示更高的效用方向）。

图1-1  喜欢喝汽水厌恶吃冰棍

（2）根据题意，对李楠而言，汽水和冰棒是完全替代品，其效用函数为，相应的无差异曲线如图1-2所示。

图1-2  既喜欢喝汽水又喜欢吃冰棍

（3）消费者对这两种商品的效用函数为，如图1-3所示。

图1-3  喝一杯汽水就要吃两根冰棍

（4）如图1-4所示，其中为中性品。

　

图1-4  对于有无汽水喝毫不在意

2．作图：如果一个人的效用函数为

（1）请画出三条无差异曲线。

（2）如果，，。请在图1-5上找出该消费者的最优消费组合。

答：（1）由效用函数画出的三条无差异曲线如图1-5所示。

图1-5  无差异曲线和最优点

（2）效用函数确定了消费者的最优选择必定是落在便宜的商品上，即他会将所有收入都用于购买相对便宜的商品，最优点如图1-5中的点所示，在该点此人消费10个单位的，0个单位的。

3．下列说法对吗？为什么？

若某个消费者的偏好可以由效用函数来描述，那么对此消费者而言，商品1和商品2是完全替代的。

答：此说法正确。

由题意知：，，则商品1对于商品2的边际替代率为：

由于，是一个常数，所以商品1与商品2是以1∶1的比率完全替代的。

4．设，这里。

（1）证明：与的边际效用都递减。

（2）请给出一个效用函数形式，但该形式不具备边际效用递减的性质。

答：（1）将关于和分别求二阶偏导数得，，所以与的边际效用都递减。

（2）如效用函数，它关于与的二阶偏导数恒大于零，所以与的边际效用都是递增的。只要效用函数的二阶导数不为负，就可以保证边际效用不是递减的。

5．常替代弹性效用函数，请证明：

（1）当，该效用函数为线性。

（2）当时，该效用函数趋近于。

（3）当时，该效用函数趋近于。

证明：（1）当时，，此时效用函数是线性的。

（2）当时，此时对效用函数两边变换求极限有：

（3）当时，对效用函数两边变换求极限有：

最后一个等号用到洛必达法则，下面分情况讨论：

①当时：

上式中倒数第二个等号成立是因为当时，。

②当时：

当时，有。

综上可知：

6．茜茜总喜欢在每一杯咖啡里加两汤匙糖。如果每汤匙糖的价格是，每杯咖啡的价格是，消费者花费

元在咖啡和糖上，那么，她将打算购买多少咖啡和糖？如果价格变为和，对她关于咖啡和糖的消费会发生什么影响？

答：（1）由于茜茜总喜欢在每一杯咖啡里加两汤匙糖，所以咖啡和糖对茜茜而言是完全互补品，如果用和

分别表示她消费的咖啡的数量（以杯为单位）和糖的数量（以汤匙为单位），那么她的效用函数就可以表示为：

从而她的效用最大化问题可以表示为：

对于最优选择，必有。这是因为如果，那么在保持预算约束不变的条件下，增加一些糖的消费，再减少一些咖啡的消费，就可以提高茜茜的效用，如图1-6的点所示。所以对于最优选择，一定不成立；对于也有类似的理由。

图1-6  互补偏好的最优选择

再结合预算约束，就可以得到消费者对咖啡和糖的最优消费量分别为：

（2）当价格变为和时，茜茜对咖啡和糖的消费变为：

所以，咖啡和糖两者之中任何一个价格上涨都会引起茜茜对它们的需求同时下降。

7．令表示偏好关系，表示严格偏好关系，～表示无差异关系，证明下列关系：

（1）

（2）

（3）

（4）

证明：（1）的含义是：弱偏好本身是弱偏好的一个子集。

根据子集的定义，任何非空集合都是自己的一个子集。由于偏好关系是定义在选择集的二次幂集上的完备的序关系，又由选择集的非空性质得到选择集二次幂集的非空性，得到偏好关系的非空性质。

（2）的含义是：如果A和B之间无差异，那么A至少和B一样好，从而本结论成立。

（3）的含义是：如果消费者对A的偏好超过了对B的偏好这一关系和消费者对A和B的偏好是无差异的这一关系中有一个成立，那么消费者对A的偏好至少和B一样好这一关系一定成立，反之亦然。根据关系的定义可知这个结论是成立的。

（4）的含义是：消费者对A的偏好超过了对B的偏好这一关系和消费者对A和B的偏好是无差异的这一关系不能同时成立。理由如下：如果AB和A～B同时成立，那么就有AB～A，从而得到AA，矛盾。

8．证明下列结论（或用具说服力的说理证明）：

（1）“”与“～”都不具有“完备性”。

（2）“～”满足反省性。

（3）严格偏好关系不满足反省性。

（4）对于任何中的与，在下列关系中只能居其一：，或，或。

证明：（1）“”与“～”都不具有完备性。理由如下：

如果一种偏好关系具有完备性，那么对消费集中任意两个消费束之间都可以建立这种关系。“”表示严格偏好关系，但是对任意的两个消费束A和B，消费者对它们可能是无差异的，这时A和B之间就不能建立严格偏好的关系。“～”表示无差异关系，但是对任意的两个消费束A和B，消费者可能严格偏好于A，这时A和B之间就不能建立无差异的关系。

（2）“～”满足反省性。理由如下：

反省性是说，如果消费束A和消费束B之间满足某种二元关系，那么B和A之间也满足这种关系。如果A和B之间是无差异的，那么显然，B和A之间也是无差异的，所以“～”满足反省性。

（3）严格偏好关系不满足反省性，理由如下：

如果消费者对A的偏好超过了对B的偏好，即AB，那么根据反省性，消费者对B的偏好也超过了对A的偏好，即BA。从而就有AA，即消费者对A的偏好超过了他对A的偏好，这样就出现了矛盾。所以严格偏好关系不满足反省性。

（4）对于中的任何与，下列关系中只有一个能成立：

，或，或。

理由如下：

利用反证法，假设如果这三种关系中至少有两个同时成立，那么共有以下四种情况：

①且，由此可以得到，即，矛盾！

②且，由此可以得到，即，矛盾！

③且，由此可以得到，即，矛盾！

④，且，由此可以得到，即，矛盾！

综上可知这三种关系中只有一个能成立。

9．一个只消费两类物品的消费者面临正的价格，其拥有正的收入，他的效用函数为：

导出其马歇尔需求函数。

答：消费者的效用最大化问题为：

由约束条件可知，从而当，时，消费者效用达到最大，因此该消费者的马歇尔需求函数为：

10．一个人的效用函数为，这里，。假定存在内点解，请推导其马歇尔需求函数。

解：该消费者的效用最大化问题为：

该问题的拉格朗日函数为：

使最大化的、、满足一阶条件：

由上述三式解得：，。

上述两式即为和的马歇尔需求函数。

11．在下列效用函数形式里，哪些是效用函数的单调变换？

（1）。

（2）。

（3）。

（4）。

（5）。

（6）。

（7），对于

（8），对于。

答：当意味着，则称为原效用函数的单调变换。本质上说，单调变换与一个单调函数是一回事。一个效用函数是原效用函数的单调变换，则该效用函数严格的单调递增。

（1）是单调变换，因为。

（2）在时是单调变换，时不是单调变换。理由如下：

因为，所以当时，；当时，。从而只有当时，才是单调变换。

（3）在时不是单调变换，时，是单调变换。，当时，；当时，，故效用函数形式在时，是单调变换。

（4）在时是单调变换，时不是单调变换。由，所以当时，；当时，。从而只有当时，才是单调变换。

（5）是单调变换。由，对于任意的的取值都有，故是单调变换。

（6）在时是单调变换，时，不是单调变换。因为，当时，；当时，。所以，在时，是单调变换。

（7）是单调变换。因为，对于，有，因而该效用函数形式为单调变换。

（8）不是单调变换。因为，对于，有，因而该效用函数形式不是单调变换。