第3章 利润函数
1．一个竞争性的利润最大化厂商有利润函数
。将产出价格正规化，令其等于1。
（a）对函数
求一阶导数和二阶导数，可以得到什么结论？
（b）如果
是对要素
的要素需求函数，
的符号是什么？
（c）令
为产生这种形式的利润函数的生产函数。这种生产函数的形式是什么样子的？（提示：参见一阶条件）
A competitive profit-maximizing firm has a profit function .The price of output is normalized to be 1.
（a）What do we know about the first and second derivatives of the functions ?
（b）If is the factor demand function for factor ， what is the sign of ?
（c）Let be the production function?（Hint：look at the first-order conditions.）
答：（a）由利润函数的凸性得到
，从而可知
；又因为利润函数关于要素价格是单减的，即
，从而可知
。
（b）根据Hotelling引理可知
，因此
。
（c）由（b）可知
，又因为对
，
恒成立。
从中反解出
代入上式中可知
只和
有关；同理可知
只和
有关，从而可知
一定可以写成如下形式：
。
2．考虑
，
和
，
所描述的技术。计算出这种技术的利润函数。
Consider the technology described by for and
for . Calculate the profit function for this technology.
解：令
，易知
在区间
上单增，在区间
上单减，所以在
这一点上达到最大值。下面分情况讨论：
（1）当 
时，如果厂商停产，那么它的利润就是零；如果厂商继续生产，那么当它的产量为1时，可以得到最高利润为
。所以，厂商的最优选择就是不生产。
（2）当
时，如果厂商停产，那么它的利润就是零；如果厂商继续生产，那么当它的产量为
时，可以得到最高利润，为
。所以如果
即
时，厂商应当选择生产数量的产品，相应的利润为；如果
，那么厂商应当选择停产，此时的利润为零。
综上可知，厂商的利润函数为：
如图3-1所示。
图3-1 厂商的利润最大化
3．给出生产函数
，计算出利润最大化的需求和供给函数，以及利润函数。为简单起见，假定存在内解。假定
。
Given the production function ，calculate the profit-maximizing demand and supply functions，and the profit function. For simplicity assume an interior solution. Assume that .
解：利润最大化问题：
一阶条件为：
得出要素需求方程为：
，
。
将要素需求方程代入生产函数，得到供给函数：
将要素需求方程代入目标函数
就得出利润函数：
4．给出生产函数
，计算出利润最大化的需求和供给函数，以及利润函数，假定。
和
必须满足什么样的约束？
Given the production function ，calculate the profit-maximizing demand and supply functions, and the profit function. Assume . What restrictions must and satisfy?
解：利润最大化问题：
一阶条件是：
解得要素需求函数：
将要素需求函数代入目标函数
即求得利润函数:
当
时，生产函数规模报酬递增，所以不存在最大利润；当
时，得到柯布—道格拉斯生产函数，所以不存在最大利润；当
时，优化问题的海赛矩阵负定，所以存在最大利润。
综上可知时，利润最大化问题有解。
5．给出生产函数
，计算出利润最大化的需求和供给函数，以及利润函数。
必须满足什么约束？
Given the production function , calculate the profit -maximizing demand and supply functions, and the profit function. What restriction must a satisfy?
解：厂商的利润最大化问题为：
对于最优解必有
，所以上述最优化问题可以化简为：
从而解得要素需求函数为：
将要素需求函数代入生产函数得到供给函数：
将要素需求函数代入目标函数得到利润函数：
上述最优化问题的二阶条件为
，可见为了满足二阶条件必须有
；当
时，生产函数规模报酬递增，所以不存在最大利润；当
时，只有当
时，厂商有最大利润（等于零），当
时，厂商无最大利润；综上可知：当时，厂商的利润函数处处存在。