第2章　最优化的数学表达

2.1　复习笔记

1．一元函数最大值问题

假设企业所获得的利润（）仅取决于出售商品的数量（），它的数学表达为，则利润最大化的产量必须满足以下两个条件：

（1）最大化的一阶条件（必要条件）：对于上述一元函数，如果在某一点取到最大值，它在该点的导数（如果存在）必为零，即。

（2）最大化的二阶条件（必要条件）：在满足一阶导数等于零的条件下，并不能保证该点为极大值点，还必须满足二阶导数小于零，即。

上述两个条件同时满足才够成为最大化的充分条件。

2．多元函数最大值问题

函数取最大值（或者最小值）的必要条件是，对于任意的微小变化的组合都有，这样该点必有：，此为极值的一阶条件。但这个条件并不能保证最大化，还需要考察该点的二阶偏导数，只有满足某些条件才能保证最大化。

3．包络定理

在经济分析中，人们常常要考察经济中的某些参数的变化对目标函数（最大值）的影响，如一商品价格的变化对消费者的效用的影响，一投入要素价格的变化（或要素禀赋的变动）对厂商收入（或利润）的影响，此时，包络定理为这种分析提供了方便。

考察如下一个最优化问题：

其中，为维向量，参数为维向量。

定义值函数和拉格朗日函数分别为：

包络定理可以表示为：

即参数对最大值函数（目标函数的最大值）的影响，就等于拉格朗日函数直接对参数求偏导数，并且在最优解处取值。

4．条件极值

解具有约束条件求最大化问题的一种方法是拉格朗日乘数法。假设求解、、…、的值，以便最大化下式：

其中部分自变量是有限制的，但可以将约束条件一般性地记为：

其中函数表示所有满足的关系。

构造拉格朗日函数：

有一阶条件为：

上述方程能够解出、、…、和的值。此解满足两个性质：第一，服从约束条件；第二，所有这些服从约束条件的使得（与）尽可能大。

5．约束条件下的最大化问题中的包络定理

假设求解以下函数的最大值：

其变量服从约束条件：

函数与对参数具有依赖性。求解这个问题的一种方法是建立拉格朗日表达式：

求解最优值，…，的一阶条件，它可以表示为：

即当参数的改变（与所有重新计算的的最优值）导致的最优值的改变可由对拉格朗日表达式求偏导数，再将极值点的数据代入得到。因此，拉格朗日表达式在计算约束条件下的问题和没有约束条件的问题应用包络定理时起一样的作用。

6．齐次函数

对于一个多元函数，如果对于任意正数，满足：

则称其为次齐次函数。

（1）齐次函数的偏导数

一个次齐次可微函数的各个偏导数是次齐次的。例如，对齐次函数表达式关于求偏导数，有：

可见是满足次齐次的定义的。

（2）欧拉定理

齐次函数的另一个重要性质是对因子求偏导得到的。对齐次函数表达式的两边分别对求偏导得：

令，有：

这就是齐次函数的欧拉定理。它说明了对于齐次函数，其函数值与其各个偏导数之间有确定的关系。

（3）位似函数

齐次函数经过任意的单调映射得到的函数称之为位似函数。位似函数保持了原函数自变量到函数值对应的序关系。即对于函数，如果一组自变量对应的函数值大于另一组的，那么经过单调映射后前者的函数值仍大于后者。但是由于单调映射有很多可能的形式，原齐次函数的很多性质是不能保持的。要注意的是，位似函数有个很好的性质，即函数各个自变量之间的替代关系只取决于自变量之间的比例，而不取决于其绝对值。