5.2　课后习题详解

1．口渴的Ed仅喝纯泉水，但是他可以购买0.75升或2升瓶装的矿泉水。由于水本身是同质的，所以他将以上两种瓶装矿泉水视为完全替代品。

（1）假定Ed的效用仅取决于其消费的水量，而瓶子对他而言无任何效用，请将其效用函数表示为规格为0.75升（）和2升（）的瓶的数量的函数。

（2）求出需求函数。

（3）画出和不变时，的需求曲线。

（4）和的变化如何影响的需求曲线？

（5）在此情况下，的补偿需求曲线形状是什么样的？

解：（1）Ed的效用函数可以表示为：。

（2）由Ed的效用函数可知，他的偏好为完全替代型偏好，所以为了实现效用最大化，他将购买相对便宜的那种商品，由于无差异曲线斜率为，预算约束线斜率为，即：

当时，即时，，；

当时，即时，，；

（3）的需求曲线如图5-11所示。

图5-11  的需求曲线

（4）收入的提高将使的需求曲线向右上方移动。商品的价格降低将不会影响的需求，直到时为止。当时，商品的需求减至0。

（5）的收入补偿需求曲线表示成当前消费的一个单点。假定，则的任何变化都会改变从该点处所得的效用。

2．戴维每周有3美元可供自由支配。他只喜欢花生酱和果冻三明治，因此他将所有货币都花费在花生酱（每盎司0.05美元）与果冻（每盎司0.10美元）上。面包则由一位热心的邻居免费提供。戴维偏好自己的吃法，严格按1盎司果冻2盎司花生酱的比例配置三明治，从不改变配方。

（1）戴维一周中用3美元购买花生酱与果冻各多少？

（2）如果果冻价格上升至每盎司0.15美元，他购买花生酱与果冻各多少？

（3）在（2）中，果冻价格上涨后，戴维的可支配收入应该增加多少才能补偿价格上涨？

（4）图示（1）到（3）的结论。

（5）在何种意义下，这个问题仅包括花生酱或果冻三明治一种商品？图示这种单一商品的需求曲线。

（6）根据对果冻需求的替代效应与收入效应来讨论这一问题的结论。

解：（1）由题可知，戴维的偏好是互补型的偏好。假设花生酱的消费量为，果冻三明治的消费量为，则戴维的效用函数可以表示为：。

因此，效用最大化要求：；此外，预算约束为：。

因而可以解得：，。

（2）如果果冻的价格增至每盎司0.15美元，则戴维的预算约束变为：；结合效用最大化条件，可知：，。

（3）为了在价格上涨后继续消费，，戴维需要多购买6盎司的花生酱和3盎司的果冻三明治，这要求收入增加：（美元）。

（4）（1）到（3）的结论如图5-12所示。

图5-12  互补型偏好下价格变化的影响

（5）因为戴维仅按固定的比例使用花生酱和果冻，而且面包是免费的，所以，可以将此问题视为他以价格

来购买三明治。

在（1）问中，，花生酱—果冻三明治的数量为：；

在（2）问中，，花生酱—果冻三明治的数量为：。

一般而言，花生酱—果冻三明治这种单一商品的需求曲线为：，是一条双曲线。

（6）对于固定比例的效用函数而言，不存在替代效应，价格的变化仅导致收入效应。

3．如果任意一条从原点出发的直线通过所有的无差异曲线斜率相等的点，即取决于的点，那么效用函数是位似的。

（1）证明：在这种情况下，是常数。

（2）证明：如果个人偏好可以用位似的无差异曲线图来表示，则价格与数量必定按相反方向变化，即不会产生吉芬悖论。

证明：（1）随着收入的增加，的比值保持不变，效用最大化条件要求也保持不变。而取决于，从而也必须保持不变。又因为收入仅用于购买和，所以和都与收入成比例，即有是常数。

（2）由（1）可知，，，这说明，两种商品都是正常物品，而吉芬品为劣等品，所以吉芬悖论不成立。

4．假设效用由下式给出：

（1）用非补偿需求函数计算间接效用函数与支出函数。

（2）用（1）中计算出的支出函数与Shephard引理计算的补偿需求函数。

（3）用（2）中得出的结论与商品的非补偿需求函数证明本题符合斯勒茨基方程式。

解：（1）由柯布-道格拉斯效用函数的性质可得：

，

从而可得间接效用函数为：

其中，。

根据对偶性质，支出函数为：。

（2）利用Shephard引理可知，补偿需求函数为：。

（3）因为：，，，，所以可得：

故本题符合斯勒茨基方程式。

5．假设与商品的效用函数为：

（1）计算与的非补偿（马歇尔）需求函数，并描述或其他商品的价格变化怎样使与的需求曲线发生变化。

（2）计算与的支出函数。

（3）用（2）中计算出的支出函数计算与商品的补偿需求函数。描述当收入或其他商品价格发生变化时，x与y的补偿需求函数将如何发生变化。

解：（1）效用最大化问题为：

设拉格朗日函数为：

一阶条件为：

从而可以解得马歇尔需求函数为：

因此，的变化不影响，而的变化影响。收入的增加将使与的需求都增加，从而需求曲线向右上方移动。

（2）将与的需求函数代入效用函数，可得间接效用函数为：；

从而可以解得支出函数为：。

（3）补偿需求函数为：

x的补偿需求依赖于，而非补偿需求不依赖于。收入的变化对补偿需求没有影响。

6．需求理论中的许多经验研究工作主要集中于收入份额。对于任何商品，其收入份额定义为：。在本问题中，我们将证明大多数需求弹性可以从相应的份额弹性中求得。

（1）证明：某商品的预算份额关于收入的弹性等于。请用一些数值例子来解释这一结论。

（2）证明：某商品的预算份额关于其自身价格的弹性等于。请用一些数值例子来解释这一结论。

（3）利用你在（2）中所得的结论证明：商品关于自身价格的支出弹性等于。

（4）证明：某商品的预算份额关于其他商品价格的弹性等于。

（5）在第4章的扩展部分，我们已经证明了对于CES效用函数而言，商品的支出份额为，其中。

利用此方程来证明方程：。

提示：此问题可以通过假定，从而来简化。

证明：（1）由商品收入份额函数，可得：

故如果，则。

（2）由商品收入份额函数，可得：

如果，则。

（3）因为在（2）中收入在求导时可以被消去，所以有：。

（4）由商品收入份额函数，可得：

（5）由（2）可得：

为了简化，令，从而有：。

再利用斯拉茨基方程，以及，可得：

7．假定某人将汉堡包和奶酪视为完全互补品：他（或她）总是用一片汉堡包和一片奶酪做成一个汉堡包—奶酪三明治。同时假定此人仅购买汉堡包和奶酪这两种商品，且面包是免费的。证明：

（1）如果汉堡包的价格等于奶酪的价格，则汉堡包需求的自身价格弹性是-0.5；汉堡包关于奶酪价格的交叉价格弹性也是-0.5。

（2）解释为什么（1）中的结果仅反映收入效应，而不是替代效应。此问题中的补偿价格弹性是多少？

（3）利用（2）中的结果说明：如果一片汉堡包的价格是一片奶酪价格的两倍，则（1）问的答案将如何改变？

（4）解释此问题可以通过假定此人仅消费一种商品——汉堡包—奶酪三明治来求解。

解：（1）汉堡包的消费量用表示，奶酪的消费量用表示，因为汉堡包和奶酪是按照固定比例消费的，所以效用函数为：，因而汉堡包的需求为：

其中，为收入，，分别为汉堡包和奶酪的价格。

汉堡包需求的自身价格弹性为：

汉堡包关于奶酪价格的交叉价格弹性为：

所以，当时，。

（2）在固定比例效用函数下，不存在替代效应。补偿价格弹性为0，由斯勒茨基方程可知：。

（3）当时，由（1）可知：，。

（4）如果此人仅消费汉堡包—奶酪三明治，则它们的需求的价格弹性为-1。该复合商品的价格弹性反映了整个三明治价格变化时汉堡包和奶酪的价格之间将成比例变化。例如，在（1）问中，汉堡包价格上涨10%，将导致三明治的价格上涨5%，从而导致需求数量下降5%。

8．证明：

（1）在柯布-道格拉斯效用函数情形下（），商品和之间的价格弹性之间的关系为：。

（2）如果，则；如果，则。对此结论提供一个直观的解释。

（3）你如何将此结论推广到更多商品的情形？讨论这样的推广是否极其有意义。

答：（1）在柯布-道格拉斯效用函数情形下，价格弹性分别为：

从而有：。

（2）本题所欲证的结论可以由（1）问中的结论直接得到。直观上，当大时，价格弹性将大；当小时，价格弹性将小。

（3）对于多变量CES函数而言，该结论的推广是可行的，但是该函数对行为施加的约束却有可能不成立。

9．假定存在种商品，商品的收入份额为。同时，我们定义如下弹性：

利用这些标记来证明：

（1）齐次性：；

（2）恩格尔加总性：；

（3）古诺加总性：。

证明：（1）由于任何商品的需求关于价格都是零次齐次的，所以欧拉定理意味着：

两边乘以可得：，又因为，，所以：

（2）由预算约束对收入求导可得：

两端乘以可得：。

（3）由预算约束对求导可得：

两端乘以可得：。

10．某人在三年中的消费行为如表5-1所示：

表5-1

该行为是否与显示偏好强公理相一致？

答：该行为违背了显示偏好强公理。其理由如下：

第二年的消费束显示偏好于第一年的消费束，因为在第二年的价格下，第一年和第二年的消费束的总支出是相同的。

第二年的消费束也显示偏好于第三年的消费束，因为在第二年的价格下，第二年和第三年消费束的总支出是相同的。

但是在第三年的价格下，第二年的消费束的支出小于第三年的消费束的支出，而第二年的消费束却没有被选择，因而这违背了显示偏好强公理。