第2章 晶体结构的对称性

2.1 晶体的点阵结构和晶胞

晶体结构的基本特征体现在具有周期性和对称性上。本节讨论从周期性衍生的点阵和晶胞的概念。

晶体是由原子(或离子、分子)在空间周期地排列构成的固体物质。在晶体中，原子(或离子、分子)按照一定的方式在空间作周期性规律排列，隔一定的距离重复出现，具有三维空间的周期性。晶体自然地生长成规整的多面体外形以及平整的晶面，标志着晶体内部原子或分子排列的规整性和周期性。按照晶体内部结构的周期性，可划分出一个个大小和形状完全一样的平行六面体，以代表晶体结构的基本重复单位，叫作晶胞。整块晶体就是按晶胞在三维空间周期地并置排列堆砌而成的。晶胞是晶体结构的基本重复单位，它一定是一个平行六面体，如图2.1所示。晶胞的大小和形状决定于晶体内部的结构，由晶胞参数a，b，c，α，β，γ所规定。一种晶体可以划分出多种形状的晶胞，不同形状的晶胞其晶胞参数不相同。

图2.1晶胞的形状和大小

晶体的周期性结构还可用点阵描述，点阵是一种抽象的语言。当按照晶体的周期性，用三个不相平行的单位矢量a，b和c来表达时，可取晶体内部空间的任意一点作原点。从原点出发，在三个方向上连接其周围环境和原点完全重复的最近的点作为单位矢量，由单位矢量a，b和c平移所产生的一组点构成点阵。各点阵点的周围环境一定和原点的周围环境完全相同，这是晶体结构的周期性所规定的。三个矢量相互间的夹角为α，β，γ，按单位矢量连成的平行六面体，一定是和一种形状的晶胞相应的。图2.2(a)示出晶体的点阵结构。

图2.2点阵(a)和晶格(b)(图中黑点为点阵点，A，B，C，D为素点阵单位，E为带心复单位，图中的晶格是按A点阵单位划分连成的)

点阵是一组按一定的周期性规律在空间排布的点，它具有下列基本性质：连接其中任意两点的矢量进行平移，均能使点阵复原，即当这些矢量的一端落在任意一点阵点上，另一端也必定落在点阵点上，在此意义上点阵应由无限数目的点所组成。晶体结构最基本的特点是它具有空间点阵式的结构。由于实际晶体有一定的大小和缺陷，点阵是实际晶体的理想化的抽象模型和近似处理方法。

将点阵按一定的方式划分出点阵单位，找出单位矢量，按它们的方向和大小连成直线格子，称为晶格，如图2.2(b)所示。晶胞、点阵或晶格都是描述晶体周期性结构的方法。点阵和晶格在英文中是同一词“lattice”。点阵强调的是基本重复单位用一个点表示它在空间的周期排列，它反映的周期排列方式是唯一的；晶格强调的是按点阵单位划分出来的格子，由于选坐标轴和单位矢量有一定的灵活性，它不是唯一的。

一个晶体，不论原点选在晶体内部的什么位置，按晶体周期性抽象出来的点阵只有一种。对一种点阵选择重复单位矢量却可以有多种方式。图2.2(a)中示出几种划分点阵单位的方法。不同的点阵单位，a，b，c不同，相应的夹角也不相同。但是，只要在平行六面体中包含的点阵点的数目相同，其体积一定是相同的。图中A，B，C，D 4种单位其形状虽然不同(当然a，b，c也不同)，但都只包含1个点阵点，称为素单位。图中E包含两个点阵点，是个带心的复单位，它的体积是素单位的两倍。

点阵(或晶格)是按晶体结构的周期性规律，将重复周期的内容抽象成一组几何上的点(或线)来表示。这一个点阵点所代表的具体的晶体结构的内容，通称结构基元。结构基元的具体内容和素晶胞的内容是一致的。点阵没有涉及晶体结构的具体内容，只是集中反映结构基元在晶体中的周期重复方式。所以，点阵和晶格是一种抽象的形式，是用来描述晶体结构周期性的一种概念和方法。晶胞是根据实际晶体结构划分出来的重复单位，是具体地描述晶体结构的方法。晶胞的划分和点阵单位的划分是一致的。某一晶体的最小晶胞就是该晶体的结构基元，或称为素晶胞。结构基元是指具有周期性的结构中，能够通过平移在空间重复排列的基本结构单位。结构基元要同时满足化学组成相同、空间结构相同、排列取向相同、周围环境相同这样4个相同条件。结构基元常和化学组成的基本单位不同，有时一个结构基元包含几个分子。

晶体结构反映在晶胞的两个要素中，一个是晶胞的大小和形状，即晶胞参数a，b，c，α，β，γ；另一个是晶胞内部各个原子的坐标位置和热运动情况，即原子的坐标参数(x，y，z)和热参数。

晶胞中原子的坐标位置的表示方法是从晶胞原点至该原子作矢量r，将r用单位矢量a，b，c表示为：

r=xa+yb+zc

该原子的坐标参数即为(x，y，z)，如图2.3所示。选择晶胞的单位矢量不同，晶胞形状不同，原子在不同形状的晶胞中的坐标参数也不相同。晶胞原点移动，也将影响原子坐标参数，但晶胞中各个原子的坐标参数均按一种方式增减。

若一整块固体基本上为一个空间点阵所贯穿，称为单晶体。有些固体是由许多小的单晶体按不同的取向聚集而成，称为多晶，金属材料及许多粉状物质是由多晶体组成的。有些固体，例如炭黑，结构重复的周期数很少，只有几个到几十个周期，称为微晶。微晶是介于晶体和非晶物质之间的物质。在棉花、蚕丝、毛发及各种人造纤维等物质中，一般具有不完整的一维周期性的特征，并沿纤维轴择优取向，这类物质称为纤维多晶物质。

图2.3原子坐标参数