第一节 疾病传播模型研究及进展
疾病传播与谣言传播都是比较类似的，因为两者都是人与人之间以某种形式的“接触”而进行的某种“病毒”式的传播。比如，可以从某种意义上把不实信息或者谣言看成一种精神形式的“病毒”在个体之间的传播，传播的机理与规律和疾病传播大致相似，在研究谣言传播之前，本章首先对疾病传播的相关研究进行系统的回顾。
有关传染病的研究主要集中在对疾病的传播规律和传播中的影响因素疾病控制策略的研究上。实际上，人类的历史上有过很多大规模疾病传播的案例，一直以来，探讨疾病传播的控制策略都是管理者和学者们关注的重点。现代文明发展的早期，人们根据前人遗留下来的经验，对疾病的持续传播起到了一定的阻止作用。伴随着统计学、数学以及物理学科的高速发展和交叉影响，学者们开始从模型的角度研究疾病传播的规律，并通过实际的案例来检验理论模型的有效性，并在此基础上对某些疾病的预测与防治方案进行探讨。
最早提出的疾病传播模型源于18世纪学界对天花传播的讨论［1］，20世纪初微分方程模型被引入对蚊子传播疟疾的研究模型中［2］，用来进一步探讨疾病传播的动态过程，分析疾病传播的阈值。其中，最为著名的疾病传播模型当属“仓室”模型。1927年，Kermack和Mckendrick以黑死病作为研究的背景，深入探讨了黑死病的疾病传播规律，提出了著名的SIS模型［3］和SIR模型［4］。然后，根据传播个体的不同属性特征将个体分为几个类型。以SIR模型为例，S代表的是易染者类，或者健康者，没有受到任何病菌的感染；I代表的是疾病传播者，已经携带病毒，并随着传播的个体类；R代表的是康复者，受到疾病的传播然后又康复的个体类。SIR模型具有三个疾病模型假设：
（1）假设所有个体在一个相当封闭的环境中，人口的总量是一个恒定的数N，即S（t）＋I（t）＋R（t）=N；
（2）疾病的传播是由于健康的个体与受感染的个体有“接触”，在某一个时间段内，一个受感染的个体数量与此时健康个体的数量成正比，系数记为β，在这一时刻，有βS（t）I（t）的个体从健康个体类转化为受感染的个体类；
（3）感染类的个体会康复，并且具有抗体，不会再次感染，感染类个体越多，则恢复健康的个体越多，两者是正比例关系，在这一时刻，有γI（t）的个体从感染类的个体转化为康复个体类。
基于三个基本的假设，不同个体之间疾病传播的传染和康复过程，如图2-1：
图2-1 SIR模型的传染过程
从微分方程的视角建立疾病传播的SIR的仓室模型：
其中，参数γ是从染病个体类转化为康复个体类的比例，其倒数
为个体的实际患病周期时间。
而系统的疾病传播模型，则始于20世纪中期，Bailey在对疾病传播的相关问题进行综述探讨时所出版的疾病传播专著［5］。但是，早期的研究大多是最为基本的模型，假设条件相对简单，大多数模型假设系统内的人口总数也是恒定不变的，而系统演化的时间又比较短，与实际的疾病传播过程相距甚远。最近30年的研究将前期的研究进一步拓展，特别是考虑了不同的影响因素对疾病传播的影响，并将脉冲加入系统动力学模型当中；有的模型考虑到疾病传播潜伏期所导致的时间滞后，将时滞引入模型当中，这也是最近几年类似研究的一个热点；也有学者考虑到不同年龄的个体免疫程度差异，以年龄结构作为研究切入点，探讨非自主的疾病传播动力学模型；按照经典的疾病传播模型，假设每个人受到疾病传播的几率是常数β，这也是一个简单的假设，实际上个体受到感染是一个非常复杂的过程，非线性的感染率系数也是学者关注的一个重点。
实际的情况是，疾病不同，其传播机理的差异会非常大，有些疾病具有免疫能力，以麻疹等为例，第一次染病的个体康复以后终身不会再次感染。但是，有些疾病却不具有免疫能力，以肺结核为例，康复的肺结核病人还有可能受到病毒的反复感染，因此，针对不同类型的疾病传播，应该建立与之相对应的动态模型，从而能够有针对性地对传播过程的特征进行描述。根据疾病恢复的个体是否具有免疫力，将疾病传播模型分为SIS模型与SIR模型［6］，S与R的区别在于，患病康复的个体是否再次能回到S类。根据不同疾病的传播机理，后续的研究中出现了疾病传播的潜伏期E个体类，即个体受到病毒的感染，但尚未出现明显的疾病特征，比如，HIV病毒会在人体内潜伏0.5—20年才会发展成为艾滋病。基于对于潜伏期的不同考虑，建立SEI模型［7］、SER模型、SEIR模型［8］、SEIS模型［9］、MSEIR模型［10］［11］等。其中，E表示潜伏期的个体类，M表示有先天免疫的个体类。
影响疾病传播的因素涉及很广，类型众多，比如隔离与免疫是控制疾病传播的一个重要研究与扩展方向，对疾病传播者进行隔离，降低与健康个体与疾病传播者的接触几率，对控制疾病传播十分有效［12］。此外，对健康个体进行免疫也是一种常见的疾病传播控制方法，借助微分方程描述可接种的疾病类型的传播模型，建立脉冲疾病传播模型、具有时滞的疾病传播模型等。在早期的研究中，研究者Li改进了经典的SIS模型［13］，探讨了人口变化以及有疫苗接种的传染病模型。动力学中的分叉理论在疾病传播模型中得到了广泛应用，SEIR模型的余维分叉由Lizana等人率先提出［14］，随后，Wu等研究的疾病传播SQIR传播模型的同宿分叉［15］、后向分叉［16］、B-T分叉［29］等都在疾病传播模型的研究中得到广泛的应用。
概括起来，经典的疾病传播模型研究与扩展研究主要包括以下几个方面：
（1）种群模型，在捕食与捕食者生物种群之间的种群演化中加入疾病传播的过程，疾病在两个种群之间传播，实际上种群内部仍然可以用仓室模型来解释［17］［18］［19］，只是疾病会在不同的种群之间进行传播。Hyman等人将艾滋病作为研究对象，根据个体不同的免疫程度将个体划分为不同的群体，构建了SDIA研究模型［20］；也有学者在传播中加入多种类的易感人群，构建了DSDIDS模型来探讨艾滋病传播问题［21］。
（2）空间扩散模型，将扩散分为连续扩散与离散的扩散模式，分析不同种群之间疾病的扩散问题，考虑不同的个体分属不同的居住区，也称为斑块，斑块之间会有种群的流动［22］-［23］。
（3）元胞自动机，探讨个体本身对疾病病毒的相关相应情况，利用状态与行为集合原理，将个体视为一个元胞，进而模拟出疾病传播的动态传播过程，重点关注特定因素的影响，而忽略模型的计算效率以及个体与个体之间的社会关系［24］-［25］。
（4）网络模型，个体在社会中与不同的人进行接触，实际上形成了一张社会网络。自物理学开始关注复杂网络以来，疾病传播的网络传播动力学也成为很多学者关注的重点，他们将数学、计算机等不同的领域的知识与复杂网络的拓扑结构相结合，更加实际贴切地研究疾病传播的网络动力学［26］-［27］。
实际上，最早提出用复杂网络研究疾病传播的是Watts和Strogatz，在研究小世界对传播的影响中，他们提出小世界的特征会加速疾病在个体之间的传播［28］；随后Newman等人将经典的SIR疾病传播模型应用到社会网络的研究中，通过数学的方法得到了疾病传播的持续时间和最大影响规模。该研究发现，网络的平均距离是影响疾病传播流行持续时间的一个重要因素［29］；Pastor-Satorras等人重点研究了疾病传播的阈值问题，并在不同的网络拓扑结构中进行了实际检验，以小规则网络和不规则网络为例，探讨不同的网络拓扑结构对疾病传播临界值的影响［30］。Kuperman等人以SIRS模型为出发点，构建了小世界的疾病传播模型，研究发现，如果网络重连概率P变大，就会出现同步相变［31］。相变行为也是不同学者关注的一个重点，Agiza等人以小世界为研究背景，探讨疾病传播临界值问题，研究发现小世界特征网络使疾病传播更加快速，疾病传播爆发时间提前［32］。
2000年以后受到广泛关注的无标度网络传播模型，通过将经典的SIR与SIS等传染病模型应用到无标度网络研究发现，无标度网络是没有传播阈值的，也就是说，疾病在无标度网络上总是会持续进行传播的，与实际的研究更加贴切［33］［34］［35］［36］［37］。在随后的研究中，不同的学者将研究成果继续向前推进，Castellano等人的研究发现，网络的最大度与传播阈值是成正比的，与网络本身的无标度特征是不相关的［38］。也有学者研究发现，疾病的传播实际上具有层次和结构，最容易感染的是那些网络中度比较大的节点，随后是感染较小度的那些节点，到了最后，网络中度很小的节点也会感染疾病［39］。学者对经典的传播SIS模型研究发现，不同的网络层对疾病的传播影响也是不同的［40］［41］。在对无标度网络中传播尺度的效应研究中，SIR传染病模型是具有疾病传播阈值的，传播机理则被用来求出疾病传播阈值的数学解析解［42］。不管是在无标度网络还是小世界中研究疾病的传播问题，归根到底，都是对网络拓扑结构的研究，不同的网络拓扑对疾病的传播产生不同的影响。Eguiluz等人专门研究了较为特殊的无标度网络，网络的聚集系数很大，度具有关联性，研究表明，网络的聚集性以及度相关的无标度网络也存在疾病传播的阈值，并且在一定程度上延缓了疾病的传播速度［43］。
在人际交往中，圈子文化是不可忽视的因素。疾病传播也一样，不同的“圈子”可以被视为由不同的社团组成，个体成员之间的紧密程度并不完全相同。Liu等人研究了社团结构网络中的疾病传播问题，研究指出，在社团结构的网络中，传播的阈值相对较小，疾病更容易传播，传播的影响规模更大［44］。Huang等人研究的是带有无标度特征的社团复杂网络，以SI传播模型为例，发现与一般的无标度网络相比，疾病传播最终影响规模传播阈值较低［45］。Zhou等人研究SIS与SIRS传播模型后认为，由于疾病传播的传染速率不同，最终传播的波及范围会趋于稳定和不稳定，甚至具有正当的特征［46］。Xu等人发现，传染病个体之间的不同距离也会影响疾病的传播，也就是说，将个体的所在地理位置纳入疾病传播的模型中，距离大在一定的程度上能阻止疾病的传播，这也是在疾病控制中对感染者进行隔离的一个重要参考依据［47］。
Colizza等人的研究在实证研究的基础上，结合数学建模的方式，试图把网络中的每个节点都看作是一个城市，并把在城市内部的接触方式假设为混合模型，同时，把人在不同城市之间的移动进行抽象，将其看作个体在不同节点之间进行扩散的过程。他们的研究比较真实地反映和总结了疾病在大范围尺度下的主要传播趋势［48］［49］［50］。通常来讲，实际情况下的许多健康个体，通常为了实现保护自我的目的，从而刻意减少与其他个体的接触，特别是减少与感染个体之间的接触来实现自我保护的目的，采用包括断边重连甚至直接减少与其他节点接触等方法。
基于此，很多学者对网络与传播动力学的共同演化进行了深入研究。比如Gross等人利用最基本的SIS模型，对网络与传染病动力学的共同演化进行了深入细致的研究，结果表明，伴随着网络结构本身的变化，动力学行为受重连概率以及感染率等参数的影响，可能会出现不同的相态，如稳定态、周期态、双稳态等［51］。
基于网络的自适应性质，很多学者研究了网络拓扑结构与传染病动力学的交互影响［52］［53］［54］［55］，将网络中任意两个节点之间链接重要度或他们之间接触时间的长短定义为全重，将其用来权衡疾病扩散范围的影响程度，例如：两个相互链接的节点越亲密，权重系数越大，此节点被其感染的几率越高［56］［57］［58］［59］［60］［61］。为了衡量不同个体的行为对疾病传播过程的交互影响，Eames等人运用节点之间的接触权重来预测不同个体感染疾病的风险程度，给决策执行者提供了良好的理论基础［62］。Yang等人将边权重理论运用到网络拓扑结构与疾病传播模型中，研究发现：权重系数越大的网络节点，将更容易感染疾病，而在整个拓扑网络中，权重越均匀分散，则疾病自身的传播越慢［63］。借助马尔科夫状态转移方程，Yang等人研究了SIS模型中传统的平均场网络拓扑传播过程，发现网络拓扑结构中节点的权重系数分布越均匀，疾病的传播速度越快。
多维度与多耦合网络问题及其交互影响与作用，已成为复杂网络研究新热点。Allard等人在多层网络领域中运用了在键渗流理论，研究表明，该理论能够比较精准地对流行病传播所具有的异质性［64］进行验证。与此同时，Funk和Jansen构建了疾病可以在多层网络上传播的网络模型［65］。Dickison等人将SIR模型运用在两个存在相互联系的网络中。研究发现：如果两子网是强耦合的，则疾病将在整个网络层中扩散；如果两子网是弱耦合的，则疾病仅只在一个子网络上传播［66］。Son等人通过局部树状图构造了一个相互依赖的网络拓扑结构，并在此基础上运用键渗流理论研究疾病的传播过程［67］。Saumell-Mendiola等人运用平均场理论研究疾病在关联网络上的扩散，研究发现：在原来不可能孤立的子网络上形成了局部地区爆发疾病的情况下，通过仿真模拟了疾病在两个耦合的子网络中的传播并蔓延至整个网络中［68］。