考点4 方程问题模块
一、基本方程问题
方程问题既是一种题型，也是一种解题思路。即将题目所求设为未知量，根据题目的等量关系列出方程来求解未知量的方法。
方程法广泛适用于数学运算各种题型：工程问题、行程问题、经济利润问题、浓度问题等等。
小试牛刀 1.2010年某种货物的进口价格是15元/公斤，2011年该货物的进口量增加了一半，进口金额增加了20%。问2011年该货物的进口价格是多少元/公斤？（ ）
A.10 B.12 C.18 D.24
【解析】B 基本方程问题。设2010年进口量为A公斤，则2011年进口量为1.5A公斤。设2011年进口单价为每公斤X元。列方程为：15A×1.2=1.5A×X。解得：X=12。故选B。
2.某商场有7箱饼干，每箱装的包数相同，如果从每箱里拿出25包饼干，那么，7个箱子里剩下的饼干包数相当于原来的2箱饼干，原来每箱饼干有多少包？（ ）
A.25 B.30 C.50 D.35
【解析】D 基本方程问题。解法一：设原来每箱饼干有x包，有：7（x-25）=2x，解得x=35。解法二：7箱饼干，每箱中拿出25包后剩下的总数为2包，所以拿走的25×7是5包的数量。即原来每包数量为25×7÷5= 35。故选D。
二、不定方程问题
不定方程指的是：未知项的个数大于方程的个数的一类方程或方程组。其中的部分未知项受到某种限制条件。在公务员考试行测试卷中的数量关系模块常常出现的一类题型就是：不定方程问题。
在数学运算中求解不定方程难度比较低，因为有选项做支撑。若答案中没有无解一项，说明一定有解，直接根据限制条件代入符合条件的选项，成立则一定为正确答案。所以结合选项进行计算求解是不定方程的解题根本。不定方程常用方法有：条件估算法、代入排除法、同余法等。
解题思路：首先设未知数，列方程，然后利用限制条件求解。
小试牛刀 1.去超市购物，如果买9件A商品、5件B商品、1件C商品，一共需要98元。如果买13件A商品、7件B商品、1件C商品，一共需要126元。若A、B、C三种商品各买2件，共需要多少元？（ ）
A.76 B.84 C.98 D.108
【解析】B不定方程。假设A、B、C三种商品分别为x、y、z元，则有：9x+5y+z=98……（1），13x+7y+z= 126……（2），（2）减去（1）得2x+y=14，将它代入（2）式并化简可得x+y+z=42；因此，A、B、C三种商品各买2件，共需要84元。故选B。
2.房间里凳子和椅子若干个，每个凳子有3条腿，每把椅子有4条腿，当它们全被人坐上后，共有43条腿（包含每个人的两条腿），那么房间里面的人数为（ ）。
A.6 B.8 C.9 D.10
【解析】B不定方程。假设凳子用了x个，椅子用了y个，则有：3x+4y+2×（x+y）=43，化简得5x+6y= 43，若5x的尾数为0，则5x+6y的尾数为偶数，与实际不符，故5x的尾数只能为5，可推出6y的尾数为8，则y可取值3，此时x取值为5，符合题意；因此，房间里面的人数为8。故选B。
三、利息利润问题
利息问题：利息=本金×利率×存期×（1-利息税）；本息=本金+利息。
利润问题基本概念：成本、定价、折扣、售价、利润、利润率。
利润=售价-成本；售价=定价×折扣；利润率
解题思路：方程法、代入法、十字交叉法。
小试牛刀 1.某服装如果降价200元之后再打8折出售，则每件亏50元。如果直接按6折出售，则不赚不亏。如果销售该服装想要获得100%的利润，需要在原价的基础上加价多少元？（ ）
A.90 B.110 C.130 D.150
【解析】B 利润问题。设原售价是X，成本是Y。根据题目条件可列如下方程组：Y-0.8（X-200）=50，0.6X=Y，解得X=550，Y=330。如果按照想要获利100%来定售价，则现售价应该是660元，高出原售价110元。故选B。
2.一厂家生产销售某新型节能产品。产品生产成本是168元，销售定价为238元。一位买家向该厂家预定了120件产品，并提出产品销售价每降低2元，就多订购8件。则该厂家在这笔交易中能获得的最大利润是（ ）元。
A.17920 B.13920 C.10000 D.8400
【解析】C 经济利润问题。设降价2x元，利润为（120+8x）×（70-2x）=8400+320x-16x2，当x=10时，能够获得最大利润为10000元。故选C。
四、植树问题
植树问题主要考查总长度、间距、段数和棵数之间的关系。锯木头、上下楼梯、剪绳问题等都属于植树问题的变形。
1.非封闭线的两端都有“点”时：“点数”=“段数”+1
2.非封闭线只有一端有“点”时：“点数”=“段数”。
3.非封闭线的两端都没有“点”时：“点数”=“段数”-1。
4.封闭线上，“点数”=“段数”。
小试牛刀 1.有一条新修的道路，现在需要在该道路的两边植树，已知路长为5052米，如果每隔6米植一棵树，那么一共需要植多少棵树？（ ）
A.1646 B.1648 C.1686 D.1628
【解析】C 本题属于植树问题。根据不封闭两边植树理论可知，一共需要植树2×（5052÷6+1）=1686棵。故选C。
2.某条道路的一侧种植了25棵杨树，其中道路两端各种有一棵，且所有相邻的树距离相等。现在需要增种10棵树，且通过移动一部分树（不含首尾两棵）使所有相邻的树距离相等，则这25棵树中有多少棵不需要移动位置？（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
【解析】A 考查植树问题。单边线型植树，树比间隔多1，所以25棵树有24个间隔，35棵树有34个间隔。总长设为24和34的最小公倍数408米，则原来每隔17米种一棵，现在每隔12米种一棵，所以在204米（17和12的最小公倍数）处正好重合，加上首尾的2棵，总共是3棵。故选A。
剪绳问题的公式：绳子对折N次，从中剪M刀，绳子被剪成了2N×M+1段。
小试牛刀 一根绳子对折三次后，从中间剪断，共剪成（ ）段绳子。
A.9 B.6 C.5 D.3
【解析】A 植树问题的变形。绳子对折三次，共有8层，从中剪断，有8个断点，绳子被分成9段。故选A。
五、方阵问题
方阵问题主要考查总人数、每边人数、边数之间相互关系。方阵问题通常可分为空心方阵和实心方阵。
1.实心方阵人数=N2（N为方阵最外层每边人数）；
2.方阵相邻两层，外层人数比内层人数多8；
3.方阵最外层人数=4（N-1）=4N-4。
解题思路：实心方阵总人数为完全平方数，空心方阵总人数利用等差数列求和公式求解。
小试牛刀 1.某学校的全体学生刚好排成一个方阵，最外层人数是108人。则这个学校共有多少名学生？（ ）
A.724人 B.744人 C.764人 D.784人
【解析】D 实心方阵问题。设最外层每边人数为N，根据方阵最外层人数公式有：4N-4=108，解得N= 28。实心方阵的总人数等于N2=784。故选D。
2.小雨把平时节省下来的全部一角的硬币先围成一个正三角形。正好用完。后来又改围成一个正方形，也正好用完。如果正方形的每条边比三角形的每条边少五枚硬币，那小雨所用的一角硬币合起来有多少元？（ ）
A.3元 B.5元 C.4元 D.6元
【解析】D 空心方阵问题。设围成一个正方形时，每边有硬币X枚，此时硬币总数为4（X-1），当变成三角形时，硬币总数为3（X+5-1），由此可得4（X-1）=3（X+5-1），解得X=16，硬币总数为60枚。故选D。
六、牛吃草问题
牛吃草问题主要考查总量按照一定速度（递增或递减）变化的情况下，效率与时间的关系。牛吃草问题的关键在于：牛每天吃草，草每天在不断均匀生长。
核心公式：草场原有草量=（牛数-每天草长量）×天数。
解题思路：先求出每天草长量；再求出牧场原有草量；然后求出每天实际消耗原有草量；最后求出可吃的天数。
小试牛刀 1.一块草地，每天草的生长速度相同。现在这块草地可以供5头牛吃12天，或供25头羊吃8天。已知一头牛一天的吃草量是一头羊的4倍，现有5头牛和10头羊一起吃这片草，问这块够吃几天？（ ）
A.3 B.4 C.6 D.8
【解析】C 典型的牛吃草问题。设草长速度可供x头羊吃一天，根据题目条件代入公式得：（20-x）×12= （25-x）×8，解得x=10，原有草量为120。可供5头牛和10头羊吃120÷（20+10-10）=6天。故选C。
2.一口水井，在不渗水的情况下，甲抽水机用4小时可将水抽完，乙抽水机用6小时可将水抽完。现用甲、乙两台抽水机同时抽水，但由于渗水，结果用了3小时才将水抽完。问在渗水的情况下，用乙抽水机单独抽，需几小时抽完？（ ）
A.12小时 B.13小时 C.14小时 D.15小时
【解析】A 牛吃草问题。设水井原储水量为12，甲抽水机的效率为3，乙抽水机的效率为2。经过3小时甲乙同时抽水（3+2）×3=15。所以这3小时中每小时渗水量为1。单用乙抽水机需要12÷（2-1）=12小时。故选A。