3. 3 存在单一公共品的情形

1.帕累托最优的资源配置

为了评价均衡时的福利特性，我们首先求出在中央集权经济下的帕累托最优资源配置。以此作为参照，再来分析在不同的政府目标下各个均衡的福利性质。

使社会资源达到帕累托最优配置，即在给定其他人的效用不受损的前提下，最大化一个人的效用，也即求解如下最优化问题：

约束条件是

其中是各个地区的保留效用，求得一阶条件^[1]如下：

（3. 4）式说明私人品和公共品的边际替代率为1。根据之前的假设，私人品和公共品的边际转换率也为1。因此一阶条件说明在达到帕累托最优配置时，私人品和公共品之间的边际替代率等于边际转换率，即满足萨缪尔森条件。（3. 5）式说明各个地区的资本边际产出是相等的，即资本是有效配置的。

2.政府最大化居民效用时的均衡配置

我们首先假设政府的目标是最大化辖区内居民的利益，这时政府的目标就是最大化居民的效用函数u _i（x _i，g _i），此时的约束条件是

这时政府对资本所得征收的税率是t _i，因此地方政府的预算约束是g _i= t _ik _i f _ik。在约束条件（3. 6）式、（3. 7）式和（3. 8）式下，求得一阶条件如下^[2]：

此时，由于t _i> 0，f _ikk<0，因此由（3. 9）式知这表明，此时居民对公共品和私人品的边际替代率小于两者的边际转换率，即公共品的提供存在不足。这里的原因是，当一个地区降低本辖区的资本税时，会把资本从其他地区吸引到本地区，从而会有负的外部性。这时候，降低资本税带来的本地区的边际收益要大于全社会的边际收益，从而导致帕累托损失。这时候由于过度的竞争，各地都要被迫竞相压低税率，从而陷入了“囚徒困境”，会使公共品的提供不足。

3.政府目标偏向GDP增长时的均衡

在现实情况下，地方政府通常都是自利的，即使在民主体制下，也很少会最大化本地居民的效用。在一个民主机制并不能良好运转的经济体中，政府还有其他各种各样的目标，即使它们的目标函数中包含本地居民的福利，也是为其选票或其他政治利益服务的。本章的目的并不是讨论各种各样的政府失灵，而是集中关注当今中国地方政府的目标和行为。在中国当前的政治体系下，中央政府拥有任命地方官员的绝对权威，而中央对地方官员的考核很大程度上是根据地方的GDP增长率。地方官员在政治晋升激励的驱动下，会更偏向于本地区的GDP增长，而较少关注本地居民的真实福利和需求。在这种情形下，我们将地方官员的效用函数一般性地设为

这里，不同地方政府的GDP偏向η_i可以是不同的。当η_i= 0时，就是上面的模型。η_i越大，地方政府的目标越偏向GDP增长，而不是居民的福利。在约束条件（3. 6）式、（3. 7）式和（3. 8）式下，最大化（3. 10）式。由一阶条件可得到：

当η_i= 0时，均衡结果与（3. 9）式中政府目标是最大化居民效用时相同。但当η_i≠0时，由f _ikk<0可知进而

跟η_i= 0时相比，此时地方公共品提供不足的情况会更加严重。而且地方政府越看重本地GDP的增长，即η越大，其提供的公共品就会越偏离最优提供水平。在极端情况下，当η_i无穷大时，地方政府只在乎辖区内的GDP，政府的目标函数变成最大化f _i（k _i），约束条件是

在此情形下，因为一阶条件因此不存在内点解。由于t _i的取值范围是t _i≥0，因此对政府来说，最优税率t _i= 0，地方政府不会提供任何公共品，即g _i= 0。

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注释

[1]具体推导详见本章附录A。

[2]具体推导过程详见本章附录B。