第四章　蛛网的几何学

我考虑再三，还是决定写下这一章。但是，这对于我的写作是一个极大的挑战，因为这需要读者们掌握一点几何学知识。怎么样才能让对昆虫感兴趣的人们读得津津有味呢？我不能只描述蜘蛛织网的精美过程，那样只能满足昆虫学家的爱好，他们对数学定理毫不关心；也不能只用学术公式夸夸其谈，那样的长篇大论只能让几何学家欣喜，可是却漏掉了生命本能中最光彩夺目的一笔。

因此，我选择两者并存的写作方法。让我们一起来欣赏圆网蛛精巧高超的织网技术吧。首先，可以看到等距离的辐射丝，以及从一根丝到另一根丝所产生的角。这样的角在网中数量很多，超过了40个，但所有角的角度明显相等。

它随意的走动看起来仿佛毫无秩序可言，但是结果却像用精密的作图工具画出来的一样。每一只蜘蛛都会把织网的营地划分成许多开度相同的扇形面，扇形面的数目几乎全部一样！仔细观察可以发现，每个扇形面内构成螺旋圈的横线彼此是平行的，间距随着与中心距离的缩进而减小。这些横线和连接横线的辐射丝所构成的恒定角度的角，一边为钝角，一边为锐角。

几何学家把从中心辐射出来的一切直线，或扇形面辐射线，以常数的辐射角值斜切，所得的曲线称为“对数螺线”，辐射中心称为“极点”。让我们假想有无数条辐射丝，那么圆网蛛所走的路程，就是这样一条对数螺线。然而，现实状况中，它的路程是一条内切于对数螺线的多边形线。

对数螺线绕着它的极点画出无限个圈，它一圈一圈地走，努力一点一点接近圆心，可是却怎么都不能到达。圆网蛛一直尽量遵循无限绕圈的规律，螺旋圈越靠近极点彼此越加紧密。到了一定的距离，螺旋圈突然停止了。这条线连着中心区的辅助螺旋丝。辅助螺旋丝向着极点绕得越来越密，几乎已经接上了。对数螺线的这种特性已经完全超出了我们的视力能够观察的范围，这也是科学家一直进行思考钻研的原因。即使在最精密的仪器下面，我们的眼睛也会跟踪不了那些密密麻麻的圆圈。但是，圆网蛛拥有这样的本领，几乎能够精确地接近极限。

我们设想一根可以弯曲的线绕在对数螺线上，如果把它拉开，一直拉紧，那么它自由的一端就会卷成跟原先完全一样的螺旋状，只是曲线改变了方向。对数螺线还有另一个特点，能让曲线在一条不确定的直线上绕圈，它的极点不断移动位置，但却一直在同一直线上。无休止绕圈的结果是一条直线，持续变化产生出来的却是一成不变。

科学家对于对数螺线总是无比钟爱。著名的几何学定理的发现者雅各布·伯努利就是其中一位。他把对数螺线和由此线产生的延长线作为荣誉，镌刻在坟墓上，并有一段相应的铭文：“我原样复活我自己。”对他而言，似乎找不到比几何学更好的表达了。

阿基米德的墓志铭同样让人难以忘怀。这位叙拉古学者选择了引以为傲的墓志铭，西塞罗在西西里担任财政大臣的时候，在丛生的荆棘和野草中寻找，废墟中一个刻在石头上的几何图形吸引了他的目光。那是一个画成球形的圆柱体，无言却清晰地道出了学者的名字。因为阿基米德是第一个了解圆周与直径的近似比率的人，并由此得出了圆周和圆面积以及球面积和球体积。球的面积和体积，是圆柱体的面积和体积的三分之二。

这种特性奇怪的对数螺线，让科学家们如此乐此不疲地研究着，因为这是一张为生命服务的建筑图。

软体动物总是按照这条深奥的曲线在贝壳上绕螺旋斜线。这种动物经历了几千年的岁月，对这种曲线了如指掌。菊石自最远的时空向我们招手。它经历了陆地从海洋中显现的时刻，对我们而言，它无疑是最宝贵的化石。沿着它生长的方向切开磨光，对数螺线体面地露出来，构成一个漂亮的住宅，一根水管穿过，隔出无数的小房间。而今天，印度的海鹦鹉螺，是花纹贝壳的头足纲软体动物的最末代继承人。它是那么怀旧，不肯抛弃祖先的对数螺线的规则，但它稍稍做了改动，把水管的位置移到了中心，而不是放在背上。

贝壳动物喜爱对数螺旋的程度丝毫不亚于软体动物。在小草青青的沟渠里，那些扁平的扁卷螺也有高超的几何学知识，它们的对数螺线也很美丽。

长形贝壳动物虽然也受对数法则的支配，结构却要复杂得多。我有几种来自喀新里多尼亚的锥尾螺，尖尖的锥约一拃长，表面光滑且完全裸露，朴素到没有任何褶襞、结节、珍珠这些最平常的装饰。它自豪地维持它的风格，在锥上画了20多个圈，越来越细，直到一条细线把它们拦截下来，终于消失在顶端。用铅笔在这个锥体上随意地画出了一条母线之后，我发现，螺旋线以一种恒定值的角度切断这条母线。

且看我这样进行分析：锥体的母线投射到与贝壳轴线相垂直的平面上，变成了半径，而从底部转圈上升至顶部的细线，彼此辅合成一条平的曲线，这条以恒定不变的角度与半径相交的平曲线，就是漂亮的对数螺线。贝壳的条纹，也可以算作是对数螺线在锥形表面的投影。我们更可以假设一个与贝壳的轴线相垂直，并通过顶端的平面，和一条绕在螺旋线上的线。我们把这条线退出来拉得直直的，它的末端不会脱离平面，而是在平面上画出一条对数螺线。这里我们看见了锥形对数曲线变成了平面对数曲线，伯努利“我原样恢复我自己”衍化出的更复杂的变形。

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蛛网的发展

这条著名的螺线，成为很多动物旋转的舞台。长圆锥形的贝壳动物，如锥螺、长辛螺、蟹瘦螺；扁圆锥形贝壳动物，如马蹄螺、嵘螺，都是几何学的高手。就连蜗牛这样普通的软体动物，也规规矩矩地遵循着对数的原则。这些软绵绵、黏糊糊的动物，掌握了让我们惊叹的科学。但是，它们是从哪里学会的呢？

有一种猜想是这样说的：软体动物是从幼虫衍生出来的。在进化的某一天，幼虫在阳光的照射下兴致勃勃，欢快地摇晃着尾巴，并把它拧成螺旋形，便突然找到了未来螺旋形贝壳的平面图。但是，这种说法不适用于所有情况，蜘蛛就是一个例子。蜘蛛与幼虫毫无血缘关系，也没有什么工具可以卷出一个螺旋状的东西，但是它却那么轻易就织出了对数螺线。

蜘蛛造出了一种粗糙的框架，速度很快，至多只要一个小时；软体动物为了它精美的螺塔，要花上整整几年的时间。为什么会有这种分别呢？因为蜘蛛只需要画出曲线的草图，就算作品粗糙也没有关系。但是，它对几何术的掌握程度，却是分毫不差的。

人们试图在圆网蛛的身体结构上找原因。步足可以自由伸缩，就像圆规一样，能够凭借弯曲程度和长短决定螺线横穿辐射丝的角度，在每个扇形面保持横线的平行。步足的长度决定了丝的布置，如果圆网蛛的脚长一点，螺旋彼此的间隔就要更宽一些。这个观点我们能在彩带蛛和丝蛛那里得到认证。彩带蛛的步足比丝蛛长，蛛网上的横线间隔就要大一些。

然而，角形蛛、苍白圆网蛛和冠冕蛛，它们简直都是矮胖子，但是它们那带黏胶的螺旋线的距离却与彩带蛛不相上下，后两种的旋转螺旋丝的距离甚至更大。另外，圆网蛛在编织黏胶螺旋丝之前，它先编织了第一道辅助螺旋丝作为支撑点。这螺旋丝从中心出发到边缘，圈的宽度迅速变大。等到蜘蛛铺设黏胶螺旋丝时，它只剩下中央的部分。

于是，蜘蛛改变了它的机制，第二个螺旋丝以紧密的圈从边缘向中心推进，只用黏性的横线编织。这成为捕虫网的基本部分。两者都是对数螺线，但在方向、圈数和相交角上都完全不同。所以，步足是长还是短，都不能影响螺旋线的分布。

这是一种与生俱来的技巧，圆网蛛不会事先进行大量的计算，也不可能用眼睛对角度进行测量，只是在无形之中，它做出了符合精密几何学的工作。就像石头和枯叶，不论被抛出还是从树枝掉落，它们本身都不具有运动的意识，可偏偏都遵循抛物线这个巧妙的轨迹。

几何学家还惊喜地发现，一条曾经只能通过思辨得出的图形，居然通过抛物线找到了，那是由抛物线的圆锥面和一个平面相交产生的切线。

再从抛物线出发，如果它在一个无限的直线上滚动，那么这条圆锥曲线的焦点的运动轨迹是什么呢？于是，一个e数诞生了。它表示了抛物线的焦点画出的一条悬链线的代数符号，这条线形状非常简单，但e数却无法进行任何列举，且不管把这条线划分得多么细都无法表示出单位来。让我们来见识一下这个数的无限长级数：

如果有细心的读者对它的前几项进行计算，会得到e=2.7182818……

然而，就到这里吧，因为自然数的无限级数迫使这种计算是没有尽头的。这个奇怪的数字告诉我们，小小的线段里蕴涵了大量的科学。每当地心引力和扰性同时发生作用时，一条悬链弯曲成两点不在同一垂直线上的曲线，人们就能找到悬链线，如抓住一根软绳子两端垂下来，船帆被风吹鼓，母山羊下垂的乳房中装满了乳汁……这里都有e数的存在。

我相信在一切小事物中都有无尽的科学，一个挂在线段的小铅球，麦秸上挂着的一颗露珠，被微风拂皱的一洼浅水。只要对这些加以计算，我们的大脑就被大量的数字所充斥。就算我们有巧妙的公式，但面对如此巨大的工程，能不能发掘出更加智慧的方法呢？

我在浓雾的早晨，看到e数出现在一张夜间刚刚织好的蛛网上。黏胶丝上面凝结着一个个圆滚滚的水珠，把黏胶丝拉弯，形成了一根根悬链线。伟大的e数也绽放着美丽的光彩，因为当太阳拨开大雾时，这些小水珠就化成了耀眼的钻石，整个网就闪闪发光，诱人得就像正在展示的珠宝秀。

几何，就像一个仔细的工程师，用精密的圆规测量了一切，然后悄悄地告诉了大自然。于是，我们欣赏松果鳞片的整齐排列，赞美蜗牛的螺旋上升斜线，惊叹圆网蛛黏胶网的精致，探索行星轨迹的神秘。不论是微小的原子世界，还是广阔的宇宙空间，几何无处不发挥着作用。

可能我的解释不符合目前流行的理论，但相比幼虫卷起尾巴的说法，我认为它具有更大的价值，正如我坚信几何学的高明一样。