1.1.3　随机事件的关系与运算

在一个随机试验中许多随机事件之间都是相互关联的，概率论的主要任务之一就是通过较简单事件的规律去掌握较为复杂事件的规律，为此有必要研究随机事件间的关系与运算.由于事件是一个集合，因此事件间的关系与运算可以按照集合之间的关系与运算来处理.

设S是试验E的样本空间，A，B，C，Ak（k=1，2，3，）是E的随机事件.

1.事件的包含与相等

若事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含事件A，或事件A包含于事件B，记作A⊂B，或B⊃A.显然任何事件都包含于样本空间S.图1.1从直观上给出了事件包含关系的一个几何表示.

例如，在E3中，记A={电子产品寿命不超过600h}，B={电子产品寿命不超过800h}，则A⊂B.

若A⊂B且B⊂A，则称事件A与事件B相等，记作A=B.

2.事件的和

事件A与事件B中至少有一个发生的事件，称为事件A与事件B的和（或并），记作A∪B.显然事件A∪B发生表示或者事件A发生或者事件B发生.图1.2从直观上给出了和事件关系的一个几何表示.

例如，在E2中，记A={出现偶数点}，B={出现奇数点}，则A∪B=S2={1，2，3，4，5，6}.

类似地，称为n个事件A1，A2，…，An的和事件；称为可列个事件A1，A2，…，An，…的和事件.

3.事件的积

事件A与事件B同时发生的事件，称为事件A与事件B的积（或交），记作A∩B，或者AB.显然事件A∩B发生表示事件A与事件B同时发生.图1.3从直观上给出了积事件关系的一个几何表示.

例如，某输油管长200km，事件A={前100km油管正常工作}，事件B={后100km油管正常工作}，那么A∩B={整个输油管正常工作}.

类似地，称为n个事件A1，A2，…，An的积事件；称为可列个事件A1，A2，…，An，…的积事件.

4.事件的差

若事件A发生而事件B不能发生的事件，称为事件A与事件B的差，记作A-B.显然有，A-B=A-AB.图1.4从直观上给出了差事件关系的一个几何表示.

例如，在E2中，若记A={出现偶数点}，B={2，4}，则A-B={6}.

5.事件的互斥

若事件A与事件B不能同时发生，称事件A与事件B互斥（或互不相容）.显然，若事件A与事件B互斥，则.图1.5从直观上给出了互斥事件关系的一个几何表示.

例如，对任一个随机试验E，其基本事件是两两互斥的.

在事件A与事件B互斥的情况下，事件A与事件B的和事件记作A+B.

类似地，若事件A1，A2，…，An两两满足，则称事件A1，A2，…，An是两两互斥的.

6.事件的互逆

事件A与事件B必有一个发生，且仅有一个发生，称事件A与事件B互逆（或相互对立），事件A的逆事件记作A.显然，若事件A与事件B互逆，则有A∪B=S，AB=.图1.6从直观上给出了互逆事件关系的一个几何表示.

例如，若事件A表示“某企业年底结算将不亏损”，则事件表示“某企业年底结算必将亏损”.

按照差事件与互逆事件的定义，显然有.

另外，由互逆事件与互斥事件定义知，互逆事件必为互斥事件，反之不然.例如，在E2中，若记A={出现偶数点}，B={3，5}，则事件A与事件B是互斥事件，但它们不互逆.

7.事件的运算律

与集合论中集合的运算一样，随机事件之间的运算满足下述运算规律.

设A，B，C，Ak（k=1，2，…）为随机事件，则有：

交换律　A∪B=B∪A，A∩B=B∩A；

结合律　（A∪B）∪C=A∪（B∪C），

（A∩B）∩C=A∩（B∩C）；

分配律　（A∪B）∩C=（A∩C）∪（B∩C），

（A∩B）∪C=（A∪C）∩（B∪C）；

德·摩根定律　

上述运算规律可以推广到任意多个随机事件情况当中.例如，

例2　设在一批产品中有正品和废品，现依次从中任取3件，令Ai=“第i件产品为正品”，试用A1，A2，A3表示下列各事件.

（1）3件产品中恰有1件是正品；

（2）3件产品中至少有1件是废品；

（3）3件产品都是废品；

（4）3件产品中至少有2件是正品.

解　分别用Di（i=1，2，3，4）表示（1），（2），（3），（4）中所给出的事件.

（1）

（2）

（3）

（4）