和算成就对吴文俊中算史观的诠释

◎ 徐泽林

（东华大学人文学院）

吴文俊先生对中国数学史的学术贡献，学界有过很好的总结[1][2][3]，可归纳为三个方面：第一，深刻地揭示了中国传统数学的特征，即构造性、机械化（算法化），高屋建瓴地指出其与西方古希腊抽象的公理化数学东西辉映，都对世界数学发展作出了贡献。第二，在数学史研究方法论方面提出了“古证复原”的历史主义原则，引领了20世纪80年代以来的中国数学史研究。第三，设立“数学与天文丝路基金”（以下简称“丝路基金”），鼓励和支持年轻学者深入开展古代及中世纪中国与其他亚洲国家的数学天文交流史的研究。但是，对于反映他第一方面学术贡献的一些数学史观，学界还存在一些误解或争议，本文将从汉字文化圈区域数学文化视角，通过日本传统数学（和算）的成就来分析吴文俊的中算史观。

一、吴文俊对中算认识的背景及其思想核心

兴起于19世纪末20世纪初的西方数学编史有着历史学和数学两方面的背景。19世纪以来的西方现代史学不仅受到实证主义哲学的影响，同时也受到了兴起于18世纪中后期、发展于19世纪的欧洲中心主义世界观和历史观的影响。此外，源于17世纪的英国政治史的辉格解释也逐渐成为历史学研究中具有普遍性的解释方法，对科学编史和数学编史的影响更为深远。数学方面，19世纪经由非欧几何和伽罗瓦群的诞生与发展，以及分析学严格化运动，导致强调逻辑演绎的公理化方法的流行和高度抽象的集合论语言的广泛使用，从而抽象化、公理化的“纯粹数学”被认为是“数学的主流”，追求抽象和演绎的希腊数学文化传统自然在数学认识和历史认识中被奉为圭臬。

随着反欧洲中心论史学的兴起，世界古代数学文化的多样性和民族性渐受关注。19世纪末20世纪初之后，尽管康托尔（M.Cantor，1829—1920）、史密斯（D.E.Smith，1860—1944）等人的数学史著作中开始出现关于中国古代数学的内容，但主要依据17世纪以后来华传教士赫师慎（Louis van Hée，1873—1951）等人的零散工作以及日本学者三上义夫（1875—1950）的研究成果，直至M.克莱因（M.Kline，1908—1992）的《古今数学思想》（1972），中国数学仍然被认为“对于数学思想的主流没有影响”而被忽略[4]。他们不仅对中国传统数学思想方法缺乏了解、认识偏颇，而且以西方数学知识的标准评价中国数学，可见先入之见的欧洲中心论历史观根深蒂固。20世纪70年代以前中国国内的中算史研究，基本上属于数学史料发掘和以西方知识为标准的数学知识认证工作，缺乏宏观的世界视野和深刻的数学思想史高度。而事实上，希腊演绎几何在漫长的中世纪并没有促进欧洲数学的发展，欧洲近代文明是在经历中世纪两次大翻译运动（阿拉伯语翻译与拉丁语翻译）的东西方文化交流与融合之后才得以形成，欧洲近代数学中到底有哪些东方元素及其来源为何？近代数学中数学思想主流到底是什么？这些问题并未彻底澄清。此外，20世纪现代应用数学和计算数学的兴起也会带来数学史观的改变，需要重新认识和评价东方数学文化传统。

吴文俊数学史观中有三个核心问题，即中国传统数学的特点是什么？世界数学的主流是什么？中国传统数学的价值与地位在哪里？这三个问题是相互关联的，只有解决了前面两个问题，后面的问题也就自明了。

吴文俊将中算特点概括为构造性与机械化，并使之与古希腊数学的演绎式、公理化相对照；针对中国古代有没有几何学问题，提出了“出入相补原理”“几何代数化”的核心概念，认为中国古代几何研究与应用问题紧密相连，以面积、体积的度量为中心，没有采用演绎系统，而是建立在几条简明的原理之上，与代数互相渗透，具有几何代数化的特点，不同于希腊几何的以空间形式及其性质研究为中心，以及采用抽象演绎方式。这些特点都是过去中算史家所未概括出来的。

对于世界数学发展的主流问题，吴文俊基于古代及近代世界文明发展中文化交流的历史事实，认为“数学发展的主流并不像以往有些西方数学史家所描述的那样只有单一的希腊演绎模式，还有与之平行的中国式数学，而就近代数学的产生而言，后者甚至更具有决定性的（或者说是主流的）意义。”[5]他抓住近代数学两个核心领域——解析几何与微积分的思想方法展开分析，通过分析中算的重差术与天元术关系[6]，认为出入相补原理引导中算家将几何问题转化为代数方程求解，从而逐步形成几何代数化，而几何代数化在近代数学的形成过程发挥了重要作用。学界一般认为微积分只是在古希腊数学的基础上发展起来的，是古希腊数学严密推理模式的产物，但吴文俊认为，“微积分的发明从开普勒到牛顿有一段艰难的过程。在作为产生微积分所必要的准备条件中，有些是我国早已有之，而为希腊所不及的。”[7]理由是希腊数学在处理无穷问题方面存在缺陷，其无理数理论对于“极限”来说华而不实，而中算有完整的实数系，微积分算法形成的背景中度量面积、体积的无穷小计算，在中算中更为丰富。简言之，吴文俊认为近代数学中必不可少的完善的实数系、代数化与解决实际问题的算法化，主要是“中国式”数学的传统。

然而，中算无穷小算法在祖冲之（429—500）父子之后停滞不前了，代数化几何与数学机械化在朱世杰（1249—1314）之后随天元术的失传而衰微了，明代数学甚至出现了倒退。中算的历史发展并没有出现吴文俊所期待的结果，那么吴文俊对中算的分析与评价是否夸大其词、言过其实呢？我们无法假设如果明末之后中算不深受西方数学影响的后续发展结果，但是可以将历史考察的视野扩大到汉字文化圈来审视吴文俊对中算的认识，而且他也在多种场合措辞用的是“中国式”数学，非限指中国数学。

二、中算、和算、东算与中国式数学

中算、和算、东算是学术界对中国、日本、朝鲜传统数学的称谓，尽管在江户时代（1603—1867）和李氏朝鲜时代（1392—1910）就分别有相对于中国“汉算”的和算、东算称谓，但其强烈的民族意涵还是在20世纪东亚民族主义数学编史中形成的[8]。

众所周知，日本（包括琉球）、朝鲜半岛、越南的传统文化是在汉唐文化的基础上生长出来的，宋元明清时代中国文化仍持续传播影响于汉字文化圈国家，数学文化也是如此。16世纪以前，其民族自主性与独立性还是很有限的，甚至可以说不存在其本土数学文化。16世纪中叶西方文化开始东渐汉字文化圈，随着本土文化的积累与发展，日本文化的民族性渐渐显露。特别是到了江户时代的元禄年间（1688—1703）出现了试图最大限度摆脱中国文化影响的日本国学，在本土文化自觉过程中，与“汉算”并列的“和算”概念也流行起来，江户中期，“和算”“和术”的术语被普遍使用了。20世纪日本数学史界常把“和算”概念限定为江户时代的算学，甚至定义为关孝和（1642？—1708）的《发微算法》（1674）出版之后，旨在突显日本人的数学独创性以区别于中算。

另一方面，日本历史上接受西学先后经历了南蛮学（16世纪中叶到17世纪初）、兰学（17世纪中叶至19世纪中叶）和洋学（19世纪中叶至明治维新）阶段，那么和算是否如清代数学那样受到西方数学的广泛影响？尽管平山谛（1904—1998）[9] 、井敏宗[10]、铃木武雄[11]等人调查出一些在日传教士的数学活动以及《同文算指》（利玛窦、李之藻，1613）对江户初期和算书影响的材料，但这些零星材料不足以否认江户初期和算书的数学知识基本上都来源于《算法统宗》（程大位，1593）、《算学启蒙》（朱世杰，1299）等书的事实。禁教锁国期间，由于幕府历法改革沿用《授时历》（1280）传统，所以对西方天文数学没有迫切需求，明末清初的汉译西方天文数学著作流入日本，也是在以享保改历为契机的幕府颁布“缓禁令”（1726）之后，但和算已经在此前的1670年至1720年50年间，在中国宋元数学基础上快速发展为既保持中算传统又具日本特色的算学知识体系，西方数学对于和算的发达几乎没有发挥作用。

汉字文化圈数学文化起源于中国的先秦，奠基于两汉，充实于魏晋唐，精进于宋元，延续于明代，分化于17—19世纪（清代数学、和算、东算）。和算作为宋元数学在江户日本延续发展的数学知识，保持了汉字文化圈数学的根本性（也即共同性）而与清代数学的中西融合状态不同。若论中国文化对世界文明的影响，首先是对周边汉字文化圈国家和地区的影响。日本传统学术可视为汉文化在日本的发展，由和算反思中算，有助于我们更全面、更深刻地认识中算。吴文俊所谓的“中国式”数学，是相对于古代希腊数学为代表的“西方数学”而言的，可以说是“东方数学”的代名词，其含义包括印度数学和阿拉伯数学。汉字文化圈数学更是“中国式”数学，这是无可争辩的。

三、和算成就对吴文俊中算史观的旁证

从1600年左右出现第一本和算书《算用记》，到明治十年（1877）和算在学校教育中被明治政府强行废止，和算在江户时代的发展仅有270余年的时间，但留下了数万种数学、天文学、测量学方面的著述文献以及近千幅的算额，并有数千名和算家留下了姓名，其中包括武士、手工业者、商人和农民，如此普及和繁盛的数学社会，在世界数学文化史上也十分罕见，它与江户时代教育的普及以及代町人文化、艺道文化的盛行有关。和算家会田安明（1747—1817）在《数学夜话评林》（1808）中以比较的视角谈到了和算比清代数学发达的原因：

“今之算术，我朝遥胜，唐土大劣，然非自古如此，我朝置四道博士时，以算博士为主之书乃自唐朝渡来之《周髀算经》《吴子算经》《孙子算经》《五曹算经》《夏侯阳算经》之五经也，而别无我朝作意之算经。然于时庆长以前，唐土胜、我朝劣，然庆长以来，随太平之余泽，屡屡达算者出，今时比诸唐土遥胜，不只唐土、天竺，于大千世界如我朝巧于算之国无有[乃西洋天学甚精，为海内第一，然未闻精于算术]。予按：唐土当出达算者，不在地，鉴其风土。精于书籍、通经济之事，则平人可登用三公之国风也，胜于数学而不能立身之国也。故只用心于书籍、不可尽心于数学。又我国书籍本用于胜于某道而不登三公之国风也，故立身出世无望，只随各自所好学其道也，故胜于算学者多出也。岂唐土所及乎？”[12]

正如会田安明所说，中国的科举取士制度让读书人热衷于儒家经典以考取功名，一般人不会专门去学数学。武士世袭制导致江户时代一般民众通过读书谋求“立身”无望，只好随各自的爱好研学某门艺道了，这样精于算学的人也就多了。

和算存在两种知识系统，一种是以《尘劫记》（1627）为代表的十分普及和流行的实用算术知识，其传统来源于《算法统宗》，还有一种是《发微算法》以后发展起来的以代数学、代数化几何、无穷小算法为中心的纯数学的知识系统，这种传统主要来自以《算学启蒙》《杨辉算法》《授时历》为载体的宋元数学传统，内容包括天元术、四元术、演段法、开方释锁、垛积招差等。在艺道文化环境中，这一传统被演化成带有高度技巧性、竞技性、艺术化的游艺。所以18世纪的历学家西村远里（1718—1787）给出如下评论：

虽说和邦近世延宝时关孝和己来，连绵所出算书、或《下学》《竿头》《探玄》等书可数，然近世之书，神妙奇术多，然失算之本意，唯迂远人世者多，为无用之事者，愈精愈失。[13]

藤田贞资更是将和算知识分为三类：用之用、无用之用、无用之无用。用之用指日用算术知识；无用之用指天元术、垛积术等之类的代数知识；无用之无用，指带有游艺性质的复杂难题。如果以近现代数学知识来衡量的话，和算中最为突出的成就主要反映在求解代数方程、采用文字代数方法并建立了消元法、代数化几何研究的繁荣、无穷小算法的发达，以及构造性、机械化算法的丰富。它们是对宋元数学传统的发展，某些成果达到了开普勒（1571—1630）至牛顿（1642—1727）时期的欧洲数学水准，因此日本学术界常把关孝和之后的和算誉为另外一种近代数学。在宋元数学知识传统上发展起来的和算，有力地旁证、诠释了吴文俊的中算史观。以下将从三个方面予以论述。

1．演段与解伏题：中算的几何代数化与数学机械化传统在和算中的发展

和算之所以能在宋元数学基础上继续进步，是由于接受了天元术并将其改进为傍书法。所谓傍书法，就是以筹码表示多项式的常数系数，用汉字、汉字略书（偏旁部首）或片假名作为代数符号表示已知量或辅助未知量，书于常系数的筹码一旁，多项式代数运算变成这些筹码及其傍书的文字符号的演算（傍书法的代数演算是以天元术为中心的，缺少运算符号与关系符号）。和算家通过《算学启蒙》（1299）接受了天元术（该书中也出现了傍书的萌芽）。第一本理解天元术原理的和算书《古今算法记》（泽口一之，1671）出版后的50年间，是天元术和傍书法在和算中最为流行、和算代数学发展最快的时期。

使用天元术、傍书法的代数演算称作“演段”。此概念最早出现于李冶（1192—1279）的《益古演段》（1259），后来在宋元数学著作中普遍使用，但对其含义都没有清晰的解释。和算家通过《算学启蒙》和《杨辉算法》（1275）接受了此概念。随傍书法的使用此概念在和算中又增添了新的意涵。据笔者考证，演是“推演”的意思，段是“段数”的略称，所谓段数就是多项式的系数，演段就是推演出多项式方程式（开方式）。演段在和算中的发展，表明东亚传统代数学获得新的进步：代数方法的抽象程度逐步增高；处理数学问题的范围不断扩大，处理的数学对象从直田（矩形图形）和二次方程，发展到可以处理一元n次方程或多元n次方程组，再到一般的代数问题；代数演算对象从最初的对量和图形的演算，发展到对数和天元式的演算，再发展到对数、天元式和符号的演算[14]。

关孝和把数学问题分为三类：见题（不需要列方程求解的算术题）、隐题（列一元方程求解的问题）、伏题（需要列多元方程组求解的问题），建部贤弘增加一类潜题（非代数的超越函数类问题）。关孝和的《解伏题之法》（1683）记录了多元高次方程组消元算法，其算法概括为6个步骤：真虚、两式、定乘（附叠、括）、换式（附芟、治）、生尅、寄消。其算法大致如下：

首先明确所求问题中的目的未知数与辅助未知数，建立设元以及消元的顺序。据此列出多元高次方程组

随后对（式1）析分主变元xn，即从（式1）中选取某个Fr（x1，x2，…，xn）=0（称作“前式”）与其余n-1个方程（称作“后式”）分别组成二元方程组（共n-1组），即

其中Ai=fi（x1，x2，…，xn-1），（i=0，1，2，3，…，p），Bi=gi（x1，x2，…，xn-1），（i=0，1，2，…，q）。

析分主变元的演算又叫做“括”，即利用傍书法将F（x1，x2，…，xn）=0整理成，这是朱世杰四元术做不到的。对于（式2）两式消去xn后得到关于xn-1的方程Q（Ai，Bi）=t（xn-1）=0，以确定的t（xn-1）次数deg（t（xn-1））。这就是所谓定乘，实际上关孝和的定乘方法是错的。

对（式2）两式消去xn的基本演算就是“叠”（本质即两方程式间的互乘相消），即依次消去xnn，xn-1n，…，x2n，xn项（叫叠高级），或依次消去常数项、xn、x2n、…、xn-1n、xnn项（叫叠低级）。对（式2）通过一系列的“叠”，得到齐次式（m是p、q的最小公倍数）：

然后（式3）对式实施变换：

得到同解的m-1次齐次方程组：

对（式5）的系数行列式按对角线法则（分交式、斜乘两步）即Sarrus展开法进行展开（关孝和称正项为生，负项为尅），求出行列式的终结式，即消去xn后的结果。不断重复上述演算步骤，可以逐步消去xn－1，xn－2，…，x2，x1。

后来的和算家发现关孝和的展开法存在缺陷，建部贤弘、井关知辰分别在《大成算经》（1711）和《算法发挥》（1690）中改用范德蒙（Vandermonde）展开法，久留岛义太（？—1757）在《久氏遗稿天之卷》中改用拉普拉斯（Laplace）展开法。和算行列式算法产生的背景与西方行列式理论产生的背景迥异，前者是解多元高次方程组，后者是解线性方程组，而且发明行列式及其各种展开法的时间也都早于西方。这也是和算走向近代数学的重要标志性成果之一。

由此我们自然想到吴文俊曾经对天元术的精辟评论：“在宋元时期，创立了天元术，相伴而生的是多项式概念、表达方法、运算法则，以及一般消去法的建立，到元朱世杰的《四元玉鉴》，已可解多至四个未知数的高次联立方程组，只是由于我国古代不用笔算而用筹算，计算须在筹算板上进行，才只能局限于四个未知数，就其理论与方法的实质而论，应是可以推行于任意高次联立方程组的。” [15]和算家在消元法方面的成就正好反映了吴文俊这一精辟论断，解伏题正是朱世杰四元术的发展，而推动其发展的决定性因素正是在天元术基础上发展起来的文字代数方法。解伏题的消元过程本质上是对多元高次代数方程组整序以化成三角形方程组的机械化程序，当我们关注其行列式理论方面的意义时，不能忽视其数学机械化思想方法方面的成就与价值[16][17]。

中算列方程与对几何图形的代数分析紧密相连。天元术为布列高次方程带来了广阔的空间，但现实中很难遇到3次以上方程的数学问题，因此宋元数学家们利用假设代数关系或设计复杂几何图形，通过代数演算谋获高次方程。其做法至少有以下三种：

（1）假设不同维几何量间的代数关系，通过代数演算获得高次方程。如《算学启蒙》“开方释锁门”第27问：“今有圆田一段，周为实，平方开之，得数加入圆积，共得一百一十四步，问周径各几何？”[18]其中“周为实，平方开之得数”即周长的方根，与“圆积”非同维几何量，它们相加无实际意义。但通过去根号或幂式乘方，使多项式次数增高。这种情形在《四元玉鉴》《算学启蒙》的天元术问题中十分常见。

（2）增加辅助未知数，通过消元演算获得高次方程。

（3）构造复杂的几何图形，根据图形性质寻找其中隐含的各种代数关系。朱世杰著作中用于构建方程的几何图形空前丰富起来。由图形中线段的数量关系作为代数分析的对象，几何为代数服务。

《算学启蒙》承载的这种代数化几何传统为《古今算法记》（1671）所继承，泽口一之不仅成功地使用天元术解答《算法根源记》（佐藤正兴，1669）书末的150个征解问题，而且模仿《算学启蒙》中代数化几何问题的形式设计了14个几何问题附于自己的书末以征解。《发微算法》（1674）、《算法明解》（1678）、《和汉算法大全》（1695）等书先后解答这些问题，推动天元术普及的同时也推动了代数化几何问题在和算中的流行，随解伏题演段法的确立和使用，和算代数化几何问题日益丰富、复杂、多样。在此过程中，和算家也设计一些富有技巧和美观、数量关系复杂的几何模型，首先是关孝和创立了“角术”（寻找正多边形的边长a、外接圆半径R、内切圆半径r之间的代数关系，构建以天元术求R和r的高次方程。见于《括要算法》与《大成算经》）。明和六年（1769）有马赖徸（1714—1783）出版《拾玑算法》公开关流秘传的点窜术，书中也构建了大量的代数化几何问题，其中列“容术”一类，即三角形、多边形、圆、椭圆、球、多面体之间的相容相切图形的问题，开和算“容题”研究之先河。此后，如藤田贞资（1734—1807）的《精要算法》（1781）、安岛直圆（1724—1798）的《不朽算法》（1799）等一批与天元术有关的和算书，都载有形形色色、争奇斗艳的“容题”以及其他代数化几何图形问题。

点窜术、解伏题方法将中算的代数化几何研究传统推至顶峰。直至19世纪末，和算书与算额中几何问题约占和算问题的80%之多，其中一部分属于圆理的几何求积题，另一部分则是代数求解的代数化几何题，这种带有江户文化色彩的代数化几何成为和算的一大特色（或可谓和式几何）。随几何图形的日益丰富和复杂化，和算家在求解过程中也掌握了一些相当于欧氏几何定理的几何性质。对于某些特殊类型的图形，创立一些独特的方法以有效建立代数关系，如有马赖徸的逐索术、池田贞一（生卒年不详）的环圆廉术、藤田贞资的一题数品术、山上光道的异形同术、会田安明的贯通术、梅村重得（1804—1884）和梅村重操（1818—1896）兄弟的旁斜术等。幕末和算家也尝试着建立几何变换或代数变换的方法来处理数量关系较为复杂的几何问题。如长谷川宽（1782—1838年）创立的变形术与极形术，法道寺善（1820—1868年）创立算变法，后者相当于西方几何学中的反演法。

和式几何承继着中算代数化几何的传统，没有像希腊几何那样将形与数截然分开而追求几何事实间的逻辑关系、走向繁琐的形式演绎，而是通过一些最基本的几何原理，将几何计算归结为代数多项式方程求解，天元术发明后几何研究就实现了代数分析（algebraic analysis），与笛卡儿（Descartes）《几何》中所反映的机械化思想和代数分析方法十分类似。为什么17世纪的欧洲数学和东亚数学先后相互独立地都出现了代数分析的倾向和努力，这是历史的必然吗？[19]值得深入思考。

吴文俊曾经指出：“我国就创立了‘天元术’，引进了天元，及天元、地元、人元、物元等相当于现代未知数的概念，把许多问题特别是几何问题转化成代数方程与方程组的求解问题。这一方法用于几何可称为几何的代数化。12世纪的刘益将新法与‘古法’比较，称‘省功数倍’。与之相伴而生，又引进了相当于现代多项式的概念，建立了多项式的运算法则和消元法的有关代数工具，使几何代数化的方法得到了有系统的发展，具见于宋元时代幸以保存至今的杨辉、李冶、朱世杰的许多著作之中。几何的代数化是解析几何的前身，这些创造使我国古代数学达到了又一个高峰。可以说，当时我国已到达了解析几何与微积分的大门，具备了创立这些数学关键领域的条件，但是各种原因使我们数学的雄伟步伐就在这些大门之前停顿下来。”[20]

解析几何之所以在近代欧洲诞生有很多复杂的因素。今日面貌的解析几何也并非出现于笛卡儿的《几何》，而是在欧洲的函数知识丰富之后才形成。笛卡儿《几何》的最伟大贡献是促使欧洲数学走上了代数分析的道路而迅速迈向近代数学。和算在代数分析与数学机械化方面的成就与笛卡儿东西辉映，而且相较于19世纪以前欧氏几何知识的很少增长，和式几何丰富了初等几何的内容，也丰富了世界数学文化的内容，在今天的数学教育中仍可发挥作用。

2．圆理：对吴文俊有关中算无穷小算法观点的印证

和算圆理，指计算圆周率、圆面积、弧长、球体积，以及其他曲线、曲面形形体的度量。“圆理”一词在中算中不曾见过，和算中最初出现于泽口一之的《古今算法记》，因后来无限分割的极限法被广泛应用于圆理计算，故今日学术界常把“圆理”视为东方的微积分。

近代数学中无穷小分析的起源存在物理学和几何学两方面的背景，东亚传统知识中物理知识比较贫弱，因此无穷小计算主要反映在几何求积上。中算涉及无穷小的算法有开方术、调日法（通其率）、割圆术、阳马术、招差术、白道交周算法等，最为突出的成就有：① 刘徽使用10进小数无限逼近实数根；② 何承天创立的调日法（和算称作零约术）用有理分数逼近无理数；③ 刘徽创立割圆术（和算称作碎抹术）求圆周率、圆面积与弧长；④ 刘徽采用无限分割的方式（和算称作削片法）证明阳马术；⑤ 天文历法中使用插值法（招差法）计算太阳系天体非均匀运动；⑥ 《授时历》的“白道交周”求白道与赤道交点到冬至点（或夏至点）的极大距离；⑦ 刘徽、祖暅采用“截面原理”求曲面体体积。和算家在这些无穷小算法的基础上继续开拓，围绕① 求圆周率（圆周长、圆面积），② 弓形计算，③ 求球体积，④ 求函数的极值，等问题进行无穷小分析，其成果达到西方积分法的水平，使圆理成为和算标志性成就。刺激和算家热衷于无穷小分析兴趣的，可能是《授时历》中的圆周率取值与沈括会圆术应用，以及《隋书·律历志》有关祖冲之《缀术》及其圆周率、开差幂、开差立的记述。以下概述和算无穷小算法的成就、方法演变的历史脉络及其中算源流。[21]

关孝和引领了和算的圆理研究，用碎抹术求圆周率、球体积、球冠积、畹背（阿基米德螺线）、弧长。不过，其方法主要是插值法及其创立的增约术（无穷几何级数求和公式），所获得的结果也都是算术形式的，也没有用到极限法。圆理正式步入无穷级数展开研究的微积分时代是从建部贤弘的《缀术算经》（1722）开始的，积分思想、微分思想乃至极限概念在其圆理分析中都有清晰表达。建部贤弘创立了理查德森（Richardson）外推法以求圆周率，并施诸弧长计算，利用高数位数值计算寻找系数规律，成功地将弧背p展成矢h的无穷级数：

后来他在《圆理弧背术》中利用割圆中的勾股术，通过开方演算建立了开方缀术，实现了无穷级数展开的代数化；其求球表面积的“薄皮馒头法”，把球表面看成体积对半径的微分，还将球看作由无限个无限小的锥体所形成，这些顶点在球心的锥底面是球表面的微元，与17世纪欧洲数学家开普勒（1571—1630）求圆面积和球体积的思想一致；受《授时历》中月亮中心差变化规律的启发建立了求多项式函数极值的方法，形式上与微分学中求函数稳定点的费马（Fermat）方法一致。

由于点窜术代数方法的使用，久留岛义太、松永良弼（？—1744）等人建立了无穷级数的代数运算与级数反演运算，他们在建部圆理研究成果的基础上推演出许多新的无穷级数，这些无穷级数公式包括圆周率、弧背、矢、弦、面积的无穷级数展开式，相当于三角函数与反三角函数的级数展开，还包括有关正多边形的无穷级数展开式。久留岛义太（？—1757）把建部的极数术推广到求有理分式函数的极值和超越函数的极值的情形，成为幕末“圆理极数术”的起点。松永良弼将关孝和求球体积方法推广到无穷情形，通过无限分割、垛积求和、求极限的方法，正式确立了圆理中的定积分方法。

被称作和算中兴之祖的安岛直圆使圆理算法实现了跨越性提升，他采用定积分算法对弧背进行无穷级数展开，不仅与建部贤弘、松永良弼、久留岛义太以及宅间流的级数展开方式不同，而且在推演中对无穷个系列无穷级数进行叠加求和，这种方法被和算家称作“二次圆理缀术”，相当于二重积分，他用此法成功地解决了求圆穿空圆柱（直交图形）的体积计算问题，成为和算圆理中“穿去问题”研究的嚆矢。安岛之后和算全面进入积分算法时代。

继安岛直圆之后，幕末和田宁（1787—1840）把圆理方法发展到最高水平。他建立了几何求积的一般化方法（4种基本分割法：截径法、截弦法、截矢法、截弧法），以解决各类复杂图形的求积问题，其圆理方法被称作“圆理豁术”。他花费大量时间与精力制作了一系列相当于定积分公式与微分公式的“叠表”（统称为圆理表），即以无穷级数的形式构造了形如xm （1-x）n，xm （1-x2 ）n 的函数在[0，1]区间上的积分表和微分表，以用于曲边形体的求积。幕末的圆理计算基本上都使用圆理豁术，从而图形日益复杂，其中包括圆理极数术、转距轨迹（即摆线）、濡圆（即摆线）、异圆、回圆（即旋转体）等。以下将和算圆理方法发展脉络及其与中算关系概括如图3。

和算家明确地使用“极限”概念，很多场合和算家用“极数”表示“极限”，其概念主要有三种含义：① 方程论中指方程的等根（称商极数）；② 增约术与无穷级数中指级数的和，即极限值；③ 极数术中指函数的最大值或最小值。语源来自《授时历》的“白赤道正交距黄赤道正交极数”（简称“极数”）[22]，关孝和最早使用这一概念，后随圆理方法的进步，“极数”作为极限概念在和算中普遍使用。如在增约术中，关孝和明确指出“乃增数超于一以上者，无极数”，即当r≥1时，级数a+ar+ar2+…+arn+…不收敛；“乃损数超二分之一以上者，无极数也”，即当r≥1/2时，级数a -ar-ar2-…-arn-…不收敛。安岛直圆用积分法求“带直弧形”面积时指出：“截数至多，则子至少矣。至少之极数者，空也。故第一行有形，而第二行以下皆尽而为空，即带直弧积之真数也。”意即无穷小的极限为0。

和算家也曾尝试以像数学理论建立有关“无穷”的理论论述。如松永良弼（？—1744）《方圆算经》（元文4年）中的“四原”，通过初、无，空、虚、无极，微、妙，来、往、始、终等概念论时空无穷性，和田宁的《圆理算经》也采用这样的论述。在对待“无穷”的态度上东方人不同于古代希腊人，松永良弼有一段绕口令式的注解最能说明这一点，他说：

“太易者，初也。数起于初也。太易之前曰之太素，所谓虚也。‘吾之所不言也’者。初之前，不可说也。‘亦不言也’者，人亦不言之也。‘人之所言也’者，有象之后可详也。‘而亦言之也’者，吾亦言之也。‘夫唯不言也’者，圣人亦所不言也。‘何不言哉也’者，问之也。非不言，不可言也。”[23]

正是关孝和、建部贤弘、安岛直圆等大多数和算家对于无穷理论采取“不言”的态度，和刘徽一样勇敢地通过“数而求穷之者，谓以情推，不用筹算。”[24] ，才能无穷小分析上做出了杰出业绩。事实上，牛顿时代及其以前半个世纪，无穷小算法缺乏逻辑基础，极限概念也没有建立起来。极限概念乃至微积分理论的建立是19世纪的事。

另外，早期圆理分析有赖于高数位的数值分析，建部贤弘计算弧长43位系列近似值、宅间能清（生活于17世纪后期）计算弧长80余位近似值，才从中发现级数系数的递推规律。其娴熟的数值分析得益于采用10进制位值记数法而构成的完整的实数系。这体现了吴文俊所认为的，中国和印度古代数学中的数系比较先进和完整，比西方古代数学更能促进欧洲近代数学是发展。

至于吴文俊认为“我国古代数学完成了实数系”的观点，常被学界所指摘和争论，争论焦点在于如何认识刘徽在其《九章算术注》中对“开方不尽以面命之”的注解[25][26][27][28][29]。实际上吴文俊已经明确指出：“有无实数、无理数之类的概念与名称，则是另一问题。对于实数的现代认识，本来还是19世纪中叶才有的事。”[30]如果认为刘徽所讨论的无理数仅局限于代数无理数而没有涉及超越无理数的话，那么《大成算经》（关孝和、建部贤弘、建部贤明共著，1711）在对数进行分类时，明确把无穷数分为畸数与零数，前者是遇乘除后得整的数，即通过乘除（包括乘方与开方，和算与中算都把乘方视作乘法，把开方视作除法）得到整数的数，实际就是无限循环小数与代数无理数；后者遇乘除后不得整的数，即通过代数运算得不到整数的数，也就超越无理数，如圆周率π。建部贤弘对实数系的认识比刘徽更进一步[31]。

和算圆理成就让我们看到了中算如何走向微积分的自然、合理、通畅的路线图（见图3）。

3．和算的“术”与东亚传统数学的程序化与构造性

整体而言，古代东方文明都擅长计算，主要由于两个先天性因素：一是重视解决现实问题的农耕文化，二是采用先进的10进的位值制记数法。和算不仅保持了中算的机械化、构造性传统，而且在江户时代艺道文化环境的助力下，把擅长钻研技术的民族特性在算学中充分发挥出来，使中算的算法精神和算中表现得十分突出。如果简单地概括17—19世纪的中算、东算、和算的特点的话，可以说中算偏重解释（中算释西算）、东算偏重守护（守护传统）、和算偏重技术（磨砺技艺）。中算的算法在和算中都获得了发展，程序性较强的有关孝和的累裁招差法（求插值多项式系数的程序化算法）、关孝和的混沌招差法（牛顿插值法）、关孝和的零约术（和内插方式的有理逼近法）、建部贤明的零约术（连分数展开方式的有理逼近法）、关孝和的穷商术（求代数方程实数根的牛顿迭代法）、久留岛义太的平方零约术（二次无理数的连分数展开方式的有理逼近法）、久留岛义太的执中法（牛顿二分法）、建部贤弘的累遍增约术（理查德森外推法）。兹以累遍增约术为例说明其算法成就。

建部贤弘发明的累遍增约术本质是圆理计算中的加速逼近算法。他首先采用割圆术求出圆内接正2n多边形周长幂p2n=T（0）n（n =1，2，3，…，k），表示π2的初始近似值序列，由截周幂序列：{T（0）i} （i=1，2，3，…，n），逐次做第m遍增约：

（1）求第m遍各差：

（2）第m遍增约法：

（3）第m遍约周幂：

建部贤弘求到第八遍约周幂（m=8，即i=1，2，3，…，9）得到

π=3.14159265358979323846264338327950288419712

其本质是理查德森外推法，也即数值积分中的龙贝格（Romberg）算法[32]。

和算中绝大多数算法的程序都十分精致，循环、迭代十分普遍。

构造性数学的宗旨是构造解决具体问题的算法，忽视对解的存在性和算法的科学依据的探讨。所以，和算中也有一些算法存在缺陷，如幕末的极形术。这种几何变换方法首先规定适用的类型：图形具有对称性；其次规定出若干个一次多项式乘积的系数与二项式展开的系数之间的对应关系；最后，把一般图形转换为极形（原形的极限图形、极端图形），寻找解题的途径。如著名的“胯腰问题”用极形术求解如下：

如图4所示，已知等腰梯形内切椭圆，四角的隙缝各内切一个圆，直径分别是a、b、c和d，已知其中的三个圆直径，求第四个圆直径。

在此问题中，椭圆长径与短径为交商，在梯形对角线上的两内切圆直径a与c为交商，b与d为交商，于是a与c的极数为x1，b与d的极数为x2，由此得到极形（见图5）。

极数矩合为x1-x2=0　（1）

根据极形术法则，将（1）式改成根式

由，将（2）式还原，得到

于是，得到ac=bd。

其实，上述以特殊代替一般的变换方法是错误的，1902年林鹤一验证了胯腰问题的结论错误，并介绍了印度数学家Jamshedji Edalji对其证伪的方法。

四、结语

和算的代数分析法、消元法、代数化几何、无穷小算法等与西方近代数学旗鼓相当，无论是问题背景，还是方法创造的基础都来源于中算。其成就表明，东亚传统数学在代数学、微积分学的形成上，并不逊色于西方数学，有力地旁证了吴文俊对“中国式”数学的评价。至于近代数学诞生于文艺复兴后的欧洲，还主要是由于特定的社会因素的作用。刚刚兴起的机械论哲学和主张世界数学化的思潮都要求建立具有普遍性的通用方法，也是推动近代数学产生的重要因素。

吴文俊的中算史观与“李约瑟难题”一样，都是对中国传统科学的肯定，对西方中心论的否定。但两者又有很大的不同，简单地说，前者是“构造性”的，可以求解，后者难以求解。中算与西方古代数学可谓等量齐观，而且数学作为基础性知识在不同文明间的差异要小于其他知识间的差异，中国古代自然科学知识相较于西方为弱，更多的是技术知识，要回答“李约瑟难题”必须先辩证“中国科学”的问题。其次，吴文俊中算史观的建立有坚实的科学依据，他不仅对西方数学史文献进行了历史批判，对近代数学和中国传统数学进行了数理分析与历史分析，而且将他的中算史观成功实践于他的数学机械化研究之中。最后，吴文俊倡导“丝绸之路”天文数学交流史研究，以科学严谨的态度鼓励学术界对其数学史观进行历史实证，这是一条可行的历史研究途径。总之，两者都会继续启发学术界对中国古代科学文化的研究，而吴文俊的观点更具有指导实践的意义。

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（此文发表于《上海交通大学学报（哲学社会科学版）》2019年第1期）