第39节　用法定义

对一个对象如不能下一显定义，那么其对象名字就不能独立地指称像先前的对象那样的任何东西；在这种情况下，我们就必须处理一个与这些先前的对象有关的准对象。但是，如果我们要把这个对象说成是“在先前那些对象的基础上构造出来的”，那么我们就一定能将它的命题转换为其中只有先前那些对象出现的命题，尽管我们并不能给定一个由先前对象的符号组合成的符号来代表它。因此我们必须有一种翻译规则，这种规则为包含这个准对象的语句形式的转换程序作了一般的规定。与显定义相对，我们把这样引进一个新的符号称为“用法定义”（Definition in use），因为它对这个并不具有任何独立意义的新符号本身不作任何解释，而仅说明它在整个语句中的使用。

参考文献　参阅罗素和怀特海：《数学原理》，第1卷，25，69。“隐定义”一词常用于通过公理系统来界定对象的另外一种完全不同的定义方法，我们可以继续用之于这个目的（参阅第15节）。有时，例如当问题涉及与隐定义相对比时，我们则在其广义上把“显定义”既理解为狭义的显定义，亦指用法定义。

为使翻译规则可用之于具备一定语句形式的一切现有语句，必须把它与命题函项联系起来。它必须将两个命题函项的符号互相对照，其中一个含有新的对象名字，另一个则仅包含先前已有的对象名字，而且在两者中都必须出现相同的变项；于是后一个命题函项就被表明为前一个命题函项的翻译了。略作思考就可以看到我们必须选择这种形式。如果包含新符号的表达式不包含任何变项，就是说，它不是一个命题函项的表达式，而只是一个命题的表达式，亦即只是一个语句，那么这个翻译规则就会是只适用于这个语句而不能用之于各种不同的语句了。如果这个表达式包含变项，那么由这个规则所规定的翻译就必然包含相同的变项，因为不然的话它不可能指明，在应用于某个要加以翻译的语句时，在其中居于主目位置的那个对象名字如何被转移到这个翻译里去。

例子：我们假定显定义的形式或许已为人们所熟悉；但是重要的是弄清楚它和用法定义的区别。如果已知数1和加法演算+，那么其他的数就可以明显地加以定义：“2=Df1+1”，“3=Df2+1”，等等（“=Df”读作：“根据定义意为”或“恒可代之以”）。

用法定义。假定已知自然数和乘法的概念。现在要引进素数的概念。我们不可能像先前定义符号“2”和“3”那样给“素数”一词下一个显定义。表面看来我们似乎可以下述形式来定义它：“素数=Df那些……的数”或“一个素数=Df一个……的数”。不过这种形式的定义只是看上去像一个显定义，这个假象的发生是由于那种赋予诸如“素数”或“一个素数”之类的符号以对象符号的外观的语言表达式，因为这种语言表达式把这些语词用作语句的主词。像“那些……的数”或“一个……的数”这样的表达式已经是用法定义的（很适当的）缩写了。它们与逻辑斯蒂的类符号是一致的。与数1、2、3……相比，素数概念不是一个真正的对象。因此我们只能通过指出一个具有“a是一个素数”这种形式的语句（a在那里是一个数）应有何意谓而给素数概念以应用定义。我们必须以下述方式来指明这种意谓，即给出一个与命题函项“x是一个素数”意谓相同的命题函项，这个命题函项只包含已知的符号，因而可用作具有“n是一个素数”这种形式的语句的翻译规则。我们或许可以这样来定义素数：“x是一个素数”=Df“x是一个自然数；x只以1和x为除数”。