第34节　关系外延

带有几个主目位置的命题函项的外延，亦即关系（Beziehung）的外延，我们称为“关系外延”（Relation）⁽⁶⁾。因而关系外延与类具有完全的形式的相似性，后者是仅有一个主目位置的命题函项即特性的外延。因为关系和类有这样的相似性，有些东西无庸赘述而自明，所以我们对关系可以讲得简略一些。像类一样，关系外延也是准对象。

外延相同的关系属于同一种关系。满足一个命题函项因而亦满足与其外延相同的命题函项的二元组对象x，y（或三元组对象、四元组对象，等等），我们称为与此命题函项相应的关系（如Q表示关系，则此命题函项为xQy）的关系项序偶（或有序三元组，等等）。一个命题函项的诸主目位置一般是不能互换的，因而一关系项序偶（或有序三元组，等等）的各个项也必须区别开来；在一关系项序偶（亦即两项关系）中我们称它们为前项和后项。由于主目位置的这种区分，关系才可能产生有序性；因而关系理论对于任何领域有序性的描述都具有重要的意义。

关系虽系准对象，但是为了使人们易于直观地把握，我们的文字语言也采用一种表象代表它，似乎关系是介于两个关系项之间的第三者。我们大都知道关系的这种实在化是一种形象的比喻的说法，因而没有什么危险；通过这样的实在化，我们的语言表达就成为明白生动的了。为了语言表达的简单性，我们在这里遵循把关系符号作为对象名字使用的语言用法，但是为了强调其比喻的表达方式，我们又将其所指叫做准对象。

我们简略地谈一下初等关系理论的几个主要概念。一个关系（例如Q）的可能的前项的类，我们称为Q的“前域”（用符号表示为：D‘Q）；关系Q的可能的后项的类，我们称为Q的“后域”（用符号表示为：D‘Q）。如果前域和后域是领域同源的，那么我们就称此关系为“同质的”；在这种情况下，前域和后域就有一种结合，即Q的“域”（C‘Q）。适用于所有反方向Q序偶的关系，我们称为Q的“逆反”）。假如aPb和bQc都成立，那么a和c就有一种被称为P和Q之“链”（或“关系积”）的关系（P|Q）。“关系幂”：R²表示R|R，R³表示R²|R，等等；R_po表示幂的结合（“幂关系”或“链”）；R⁰表示R域中的同一性。

对称、自反、传递、连通等概念在前面（第11节）已经作过解释。一个关系，其各个后项只有一个前项，我们称之为“一多关系”；反之，其各个前项只有一个后项，则称为“多一关系”；如果符合这两个条件，则称为“一一对应的”。

如果一个关系R安排关系P的诸项与关系Q的诸项一一对应，使得每个P序偶总有一个Q序偶与之相应，反之亦然，那么我们就称关系R为关系P和Q的“相关者”。如果P和Q有这样一个相关者，我们就称P和Q为“同构的”。这和我们在前面（第11节）借助箭头的比喻为同构性所下的直观的定义是一致的。一个关系P的“结构”或“关系数”应当确切地定义为与P同构的关系的类（参阅第40节对基数所下的与此类似的定义）。