第11节　结构概念

有一类特殊的关系描述，我们称之为结构描述。这类描述不仅像任何关系描述一样不提及各关系项的特性，而且甚至也不提及这些项之间的关系本身。在结构描述中，只是说明关系的结构，即其全部形式特性的总体（我们在下面将给结构以更确切的定义）。所谓关系的形式特性，我们理解为无须涉及该关系的含义和具有该关系的对象的种类即可予以表述的那些特性。它们是关系理论的对象。关系的形式特性只能借助逻辑斯蒂的符号来加以定义，因而最后要借助构成逻辑斯蒂（符号逻辑）之基础的很少几个基本符号来加以定义；因此这些符号不是关系理论特有的，而是构成全部逻辑大厦（命题理论，命题函项［概念］理论，类的理论和关系理论）之基础的一些符号。

我们举出几个最重要的形式特性。

一种关系如果与它的逆反关系是等同的（例如同龄关系），就称为对称的；否则就称为非对称的（例如兄弟关系）；一种非对称关系如果排除它的逆反关系，就称为不对称的（例如父亲关系）。一种关系如果永远能满足等同性的条件（在其范围内），就称为自反的（例如同龄关系），否则就称为非自反的（例如老师关系）；一种非自反的关系如果排除等同性，就称为不自反的（例如父亲关系）。一种关系如果对再下一个关系项也永远适用，就称为传递的（例如祖先关系），否则就称为非传递的（例如朋友关系）；一种关系如果是决不适用于再下一个关系项的，那么这种非传递关系就称为不传递关系（例如父亲关系）。在一种关系域内两个不同的项之间如果永远具有这种关系或者它的逆反关系，这种关系就称为连通的（例如，六人聚餐会时“某某左边的一、二或三个座位”这种关系）。一种关系如果是不自反的、传递的（因而不对称的）和连通的，就称为一个序列（例如实数中的“小于”）。一种关系如果是对称的和自反的，就称为“相似性”；如果它还是传递的，就称为“相等”。（参阅第71，73节）

关系的其他形式特性有：一对多，多对一，一对一，关系域内给定的诸项的数，前域诸项的数，后域诸项的数，开头诸项的数，最后诸项的数，等等。

为了清楚地说明关系结构的含义，我们且以“箭头”来示意任一关系：所有的关系项均用点来表示，从每一点都有一箭头通到与该点有这种关系的其他各点。一个双箭头指这种关系在正反两个方向上都对之适用的关系项序偶；一个逆转的箭头指这种关系是其自身关系的一个项。如果两种关系具有相同的箭头示意图，那么它们就称为“同一结构的”或“同构的”。这种箭头示意图可以说是对结构的符号表达。当然两种同构的关系并不需要以完全相同的箭头示意图来表示。有两个箭头示意图，如果其中一个可以通过变形（但不打乱联系）而趋近另一个（拓扑学的等值），我们也称它们是同构的。