2.3　Fourier变换和离散Fourier变换

设连续时间信号x（t）在（-∞，+∞）上绝对可积，即

　　 （2-21） 　　

则x（t）有Fourier变换

　　 （2-22） 　　

其中，角频率Ω=2πf，f为频率变量。其反变换为

　　 （2-23） 　　

Fourier变换与其反变换使得我们可以从时间域和频率域两个角度了解一个信号。

考虑δ采样序列

　　 （2-24） 　　

其中，T为信号采样周期，δ（t-nT）为Driac δ函数，对于任意的连续函数y（t），有

　　 （2-25） 　　

xs（t）的Fourier变换为

　　 （2-26） 　　

容易验证，Xs（jΩ）是一个周期函数，其周期是2π/T，这意味着只是一个周期上的Xs（jΩ）就完全代表了xs（t）的频域映像。如果用采样序列x（nT）代替δ采样序列xs（t），那么x（nT）应能够用一个周期上的Xs（jΩ）来得到。直接计算可以证明对应于式（2-26）的反变换公式

　　 （2-27） 　　

简便起见，记w=ΩT，x（nT）简记为x（n）（采样周期T归一化），式（2-26）和式（2-27）变为

　　 （2-28） 　　

　　 （2-29） 　　

式（2-28）和式（2-29）分别称为离散时间Fourier变换（DTFT）和离散时间Fourier反变换（IDTFT），其中Xs（ejω）为周期是2π的连续周期函数。

IDTFT的计算涉及复积分，计算极为不便。如果序列x（n）是周期序列，则情况要好得多，事实上，在实际应用中，计算机所能处理的是有限长度的离散序列，为方便计算，可以对其进行周期延拓，而其主要的频谱信息仍能得以保留。一方面，因为周期函数x（n）可以用Fourier级数表示，即其频谱是离散的；另一方面，x（n）又是采样序列，其Fourier变换是周期为ws的离散谱函数。

假设x（n）（x（nT））是周期为NT的离散序列，根据Fourier级数理论，Xs（jΩ）在频域的谱线间隔为2π/NT。在一个ws=2π/T的周期上正好有N条谱线。将采样周期T归一化，则周期为N的离散序列的x（n）的DTFT只要计算N个离散谱线值。于是可将离散周期序列x（n）的离散Fourier变换定义为

　　 （2-30） 　　

其对应的离散Fourier反变换（IDFT）公式为

　　 （2-31） 　　

IDFT的一个重要优点是避免了复积分的计算，但需强调的是，在采用DFT时，隐含了将有限序列延拓成周期序列的过程。DFT应用非常广泛，一个重要原因是其有快速算法（FFT）。

由于时域和频域的对称性，DFT具有如下两个对偶的重要性质，即时域循环卷积性质：

DFT（x（n）*y（n））=X（k）Y（k）（2-32）

以及时域乘积性质：

DFT（x（n）y（n））=X（k）*Y（k）（2-33）

需强调的是，x（n）和y（n）的序列长度要一致，若不一致，可以通过补零使其一致。有关DFT的其他相关性质可以查阅信号处理的相关书籍，这里不再赘述。

因为式（2-32）的成立，DFT可以用来计算线性卷积和相关。这些计算所产生的序列长度是参与计算的两个序列长度之和减1，为能够使用DFT计算而又保证不出现混叠现象，通常将参与计算的序列用补零的方法加长，使得进行DFT计算的序列长度不小于应有的结果的序列长度。分别用Nx和Ny来表示序列x（n）和y（n）的长度，用xe（n）和ye（n）来表示两个补零后的序列（约定补零总是在原序列之后），其长度均为N。对于卷积核互相关计算，应有N≥Nx+Ny-1，计算x（n）自相关时，应有N≥2Nx-1。记Xe（k）=DFT（xe（n））和Ye（k）=DFT（ye（n）），用表示x（n）的反排序。则线性卷积：

　　 （2-34） 　　

互相关：

　　 （2-35） 　　

自相关：

　　 （2-36） 　　

上述互相关和自相关的计算方法涉及复指数计算，用下述方法计算可以节省计算工作量。互相关计算：

　　 （2-37） 　　

　　 　　

以式（2-37）为基础，容易得到自相关的计算公式为：

　　 （2-38）