绪论　数学迷人的发展历程

第一节　世界数学的三个发展时期

各位同学，欢迎来到数学的海洋！

在人类的知识宝库中有三大类科学，即自然科学、社会科学、认识和思维的科学.自然科学又分为数学、物理学、化学、天文学、地理学、生物学、工程学、农学、医学等学科.数学是自然科学的一种，是其他科学的基础和工具.在世界上的几百卷百科全书中，它通常都是处于第一卷的地位.

从本质上看，数学是研究现实世界的数量关系与空间形式的科学.或简单讲，数学是研究数与形的科学.对这里的数与形应作广义的理解，它们随着数学的发展，而不断取得新的内容，不断扩大着内涵.

数学来源于人类的生产实践活动，即来源于原始人捕获猎物和分配猎物、丈量土地和测量容积、计算时间和制造器皿等实践，并随着人类社会生产力的发展而发展.对于非数学专业的人们来讲，可以从三个大的发展时期来大致了解数学的发展.

一、初等数学时期

初等数学时期是指从原始人时代到17世纪中叶，这期间数学研究的主要对象是常数、常量和不变的图形.

在这一时期，数学经过漫长时间的萌芽阶段，在生产的基础上积累了丰富的有关数和形的感性知识.到了公元前6世纪，希腊几何学的出现成为第一个转折点，数学从此由具体的、实验的阶段，过渡到抽象的、理论的阶段，开始创立初等数学.此后又经过不断地发展和交流，最后形成了几何、算术、代数、三角等独立学科.这一时期的成果可以用“初等数学”（即常量数学）来概括，它大致相当于现在中小学数学课的主要内容.

随着生产实践的需要，公元前3000年左右，在四大文明古国——巴比伦、埃及、中国、印度出现了萌芽数学.

现在对于古巴比伦数学的了解主要是根据巴比伦泥版，这些泥版是在胶泥还软的时候刻上字，然后晒干制成的（早期是一种断面呈三角形的“笔”在泥版上按不同方向刻出楔形刻痕，叫楔形文字）.

已经发现的泥版上面载有数字表（约200件）和一批数学问题（约100件），大致可以分为三组.第一组大约创制于公元前2100年，第二组大约从公元前1792年到公元前1600年，第三组大约从公元前600年到公元300年.

这些数学泥版表明，巴比伦自公元前2000年左右即开始使用60进位制的记数法进行较复杂的计算了，并出现了60进位的分数，用与整数同样的法则进行计算；已经有了关于倒数、乘法、平方、立方、平方根、立方根的数表；借助于倒数表，除法常转化为乘法进行计算.公元前300年左右，已得到60进位的达17位的大数；一些应用问题的解法，表明已具有解一次、二次（个别甚至有三次、四次）数字方程的经验公式；会计算简单直边形的面积和简单立体的体积，并且可能知道勾股定理的一般形式.巴比伦人对于天文、历法很有研究，因而算术和代数比较发达.巴比伦数学具有算术和代数的特征，几何只是表达代数问题的一种方法.这时还没有产生数学的理论.

对埃及古代数学的了解，主要是根据两卷纸草书.纸草是尼罗河下游的一种植物，把它的茎制成薄片压平后，用“墨水”写上文字（最早的是象形文字）.同时把许多张纸草纸粘在一起连成长幅，卷在杆干上，形成卷轴.已经发现的一卷约写于公元前1850年，包含25个问题（叫“莫斯科纸草文书”，现存莫斯科）；另一卷约写于公元前1650年，包含85个问题（叫“莱因德纸草文书”，是英国人莱因德于1858年发现的）.

从这两卷文献中可以看到，古埃及是采用10进位制的记数法，但不是位值制，而是所谓的“累积法”.正整数运算基于加法，乘法是通过屡次相加的方法运算的.除了几个特殊分数之外，所有分数均极化为分子是一的“单位分数”之和，分数的运算独特而又复杂.许多问题是求解未知数，而且多数是相当于现在一元一次方程的应用题.利用了三边比为3∶4∶5的三角形测量直角.

埃及人的数学兴趣是测量土地，几何问题多是讲度量法的，涉及田地的面积、谷仓的容积和有关金字塔的简易计算法.但是由于这些计算法是为了解决尼罗河泛滥后土地测量和谷物分配、容量计算等日常生活中必须解决的课题而设想出来的，因此并没有出现对公式、定理、证明加以理论推导的倾向.埃及数学的一个主要用途是天文研究，也在研究天文中得到了发展.

中国古代数学将在后面作专门介绍.印度在7世纪以前缺乏可靠的数学史料，在此略去不论.总的说来，萌芽阶段是数学发展过程的渐变阶段，积累了最初的、零碎的数学知识.

15世纪开始了欧洲的文艺复兴，数学活动集中在算术、代数和三角方面.缪勒的名著《三角全书》是欧洲人对平面和球面三角学所作的独立于天文学的第一个系统的阐述.

16世纪最壮观的数学成就是塔塔利亚、卡尔达诺、拜别利等发现三次和四次方程的代数解法，接受了负数并使用了虚数.16世纪最伟大的数学家是韦达，他写了许多关于三角学、代数学和几何学的著作，其中最著名的《分析方法入门》改进了符号，使代数学大为改观；斯蒂文创设了小数；雷提库斯是把三角函数定义为直角三角形的边与边之比的第一个人，他还雇用了一批计算人员，花费12年时间编制了两个著名的、至今尚有用的三角函数表.其中一个是间隔为10″、10位的6种三角函数表，另一个是间隔为10″、15位的正弦函数表，并附有第一、第二和第三差.

由于文艺复兴引起的对教育的兴趣和商业活动的增加，一批普及的算术读本开始出现.到16世纪末，这样的书不下三百种.“+”、“-”、“=”等符号开始出现.

17世纪初，对数的发明是初等数学的一大成就.1614年，耐普尔首创了对数，1624年布里格斯引入了相当于现在的常用对数，计算方法因而向前推进了一大步.

初等数学时期也可以按主要学科的形成和发展分为三个阶段：萌芽阶段，公元前6世纪以前；几何优先阶段，公元前5世纪到公元2世纪；代数优先阶段，3世纪到17世纪前期.至此，初等数学的主体部分——算术、代数与几何已经全部形成，并且发展成熟.

二、变量数学时期

变量数学时期从17世纪中叶到19世纪20年代，这一时期数学研究的主要内容是数量的变化及几何变换.这一时期的主要成果是解析几何、微积分、高等代数等学科，它们构成了现代大学数学课程（非数学专业）的主要内容.

16、17世纪，欧洲封建社会开始解体，代之而起的是资本主义社会.由于资本主义工场手工业的繁荣和向机器生产的过渡，以及航海、军事等的发展，促使技术科学和数学急速向前发展.原来的初等数学已经不能满足实践的需要，在数学研究中自然而然地就引入了变量与函数的概念，从此数学进入了变量数学时期.它以笛卡儿的解析几何的建立为起点（1637年），接着是微积分的兴起.

在数学史上，引人注目的17世纪是一个开创性的世纪.这个世纪中发生了对于数学具有重大意义的三件大事.

首先是伽利略实验数学方法的出现，它表明了数学与自然科学的一种崭新的结合.其特点是在所研究的现象中，找出一些可以度量的因素，并把数学方法应用到这些量的变化规律中去.具体可归结为：（1）从所要研究的现象中，选择出若干个可以用数量表示出来的特点；（2）提出一个假设，它包含所观察各量之间的数学关系式；（3）从这个假设推导出某些能够实际验证的结果；（4）进行实验观测-改变条件-再观测，并把观察结果尽可能地用数值表示出来；（5）以实验结果来肯定或否定所提的假设；（6）以肯定的假设为起点，提出新假设，再度使新假设接受检验.

伽利略的实验数学为科学研究开创了一种全新的局面.在它的影响下，17世纪以后的许多物理学家同时又是数学家，而许多数学家也在物理学的发展中做出了重要的贡献.

第二件大事是笛卡儿的重要著作《方法谈》及其附录《几何学》于1637年发表.它引入了运动着的一点的坐标的概念，引入了变量和函数的概念.由于有了坐标，平面曲线与二元方程之间建立起了联系，由此产生了一门用代数方法研究几何学的新学科——解析几何学.这是数学的一个转折点，也是变量数学发展的第一个决定性步骤.

在近代史上，笛卡儿以资产阶级早期哲学家闻名于世，被誉为第一流的物理学家、近代生物学的奠基人和近代数学的开创者.他1596年3月21日生于法国图朗，成年后的经历大致可分两个阶段.第一阶段从1616年大学毕业至1628年去荷兰之前，为学习和探索时期.第二阶段从1628年到1649年，为新思想的发挥和总结时期，大部分时间是在荷兰度过的，这期间他完成了自己的所有著作.1650年2月11日，他病逝于瑞典.

第三件大事是微积分学的建立，最重要的工作是由牛顿和莱布尼兹各自独立完成的.他们认识到微分和积分实际上是一对逆运算，从而给出了微积分学基本定理，即牛顿-莱布尼兹公式.到1700年，现在大学里学习的大部分微积分内容已经建立起来.第一本微积分课本出版于1696年，是洛比达写的.

但是在其后的相当一段时间里，微积分的基础还是不清楚的，并且很少被人注意，因为早期的研究者都被此学科的显著的可应用性所吸引了.

除了这三件大事外，还有笛沙格在1639年发表的一书中，进行了射影几何的早期工作；帕斯卡于1649年制成了计算器；惠更斯于1657年发表提出了概率论这一学科中的第一篇论文.

17世纪的数学，发生了许多深刻的、明显的变革.在数学的活动范围方面，数学教育扩大了，从事数学工作的人迅速增加，数学著作在较广的范围内得到传播，而且建立了各种学会.在数学的传统方面，从形的研究转向了数的研究，代数占据了主导地位.在数学发展的趋势方面，开始了科学数学化的过程.最早出现的是力学的数学化，它以1687年牛顿写的《自然哲学的数学原理》为代表，从三大定律出发，用数学的逻辑推理将力学定律逐个地、必然地引申出来.

1705年纽可门制成了第一台可供实用的蒸汽机；1768年瓦特制成了近代蒸汽机.由此引起了英国的工业革命，以后遍及全欧，生产力迅速提高，从而促进了科学的繁荣.法国掀起的启蒙运动，人们的思想得到进一步解放，为数学的发展创造了良好条件.

18世纪数学的各个学科，如三角学、解析几何学、微积分学、数论、方程论、概率论、微分方程和分析力学得到快速发展.同时还开创了若干新的领域，如保险统计科学、高等函数（指微分方程所定义的函数）、偏微分方程、微分几何等.

这一时期主要的数学家有伯努利家族的几位成员、隶莫弗尔、泰勒、麦克劳林、欧拉、克雷罗、达朗贝尔、兰伯特、拉格朗日和蒙日等.他们中大多数的数学成就，就来自微积分在力学和天文学领域的应用.但是，达朗贝尔关于分析的基础不可取的认识，兰伯待在平行公设方面的工作、拉格朗日在位微积分严谨化上做的努力以及卡诺的哲学思想向人们发出预告：几何学和代数学的解放即将来临，现在是深入考虑数学的基础的时候了.此外，开始出现专业化的数学家，像蒙日在几何学中那样.

18世纪的数学表现出几个特点：（1）以微积分为基础，发展出宽广的数学领域，成为后来数学发展中的一个主流；（2）数学方法完成了从几何方法向解析方法的转变；（3）数学发展的动力除了来自物质生产之外，还来自物理学；（4）已经明确地把数学分为纯粹数学和应用数学.

19世纪20年代出现了一个伟大的数学成就，它就是把微积分的理论基础牢固地建立在极限的概念上.柯西于1821年在《分析教程》一书中，发展了可接受的极限理论，然后极其严格地定义了函数的连续性、导数和积分，强调了研究级数收敛性的必要，给出了正项级数的根式判别法和积分判别法.柯西的著作震动了当时的数学界，他的严谨推理激发了其他数学家努力摆脱形式运算和单凭直观的分析.今天的初等微积分课本中写得比较认真的内容，实质上是柯西的这些定义.

19世纪前期出版的重要数学著作还有高斯的《算术研究》（1801年，数论）；蒙日的《分析在几何学上的应用》（1809年，微分几何）；拉普拉斯的《分析概率论》（1812年），书中引入了著名的拉普拉斯变换；彭赛莱的《论图形的射影性质》（1822年）；斯坦纳的《几何形的相互依赖性的系统发展》（1832年）等.以高斯为代表的数论的新开拓，以彭赛莱、斯坦纳为代表的射影几何的复兴，都是引人瞩目的.

三、现代数学时期

现代数学时期是指由19世纪20年代至今，这一时期数学主要研究的是最一般的数量关系和空间形式，数和量仅仅是它的极特殊的情形，通常的一维、二维、三维空间的几何形象也仅仅是特殊情形.抽象代数、拓扑学、泛函分析是整个现代数学科学的主体部分.它们是大学数学专业的课程，非数学专业也要具备其中某些知识.变量数学时期新兴起的许多学科，蓬勃地向前发展，内容和方法不断地充实、扩大和深入.

18、19世纪之交，数学已经达到丰沛茂密的境地，似乎数学的宝藏已经挖掘殆尽，再没有多大的发展余地了.然而，这只是暴风雨前夕的宁静.19世纪20年代，数学革命的狂飙终于来临了，数学开始了一连串本质的变化，从此数学又迈入了一个新的时期——现代数学时期.

19世纪前半叶，数学上出现两项革命性的发现——非欧几何与不可交换代数.

大约在1826年，人们发现了与通常的欧几里得几何不同的、但也是正确的几何——非欧几何.这是由罗巴契夫斯基和里耶首先提出的.非欧几何的出现，改变了人们认为欧氏几何唯一地存在是天经地义的观点.它的革命思想不仅为新几何学开辟了道路，而且是20世纪相对论产生的前奏和准备.

后来证明，非欧几何所导致的思想解放对现代数学和现代科学有着极为重要的意义，因为人类终于开始突破感官的局限而深入到自然的更深刻的本质.从这个意义上说，为确立和发展非欧几何贡献了一生的罗巴契夫斯基不愧为现代科学的先驱者.

1854年，黎曼推广了空间的概念，开创了几何学一片更广阔的领域——黎曼几何学.非欧几何学的发现还促进了公理方法的深入探讨，研究可以作为基础的概念和原则，分析公理的完全性、相容性和独立性等问题.1899年，希尔伯特对此作了重大贡献.

在1843年，哈密顿发现了一种乘法交换律不成立的代数——四元数代数.不可交换代数的出现，改变了人们认为存在与一般的算术代数不同的代数是不可思议的观点.它的革命思想打开了近代代数的大门.

另外，由于一元方程根式求解条件的探究，引进了群的概念.19世纪20～30年代，阿贝尔和伽罗华开创了近世代数学的研究.近代代数是相对古典代数来说的，古典代数的内容是以讨论方程的解法为中心的.群论之后，多种代数系统（环、域、格、布尔代数、线性空间等）被建立.这时，代数学的研究对象扩大为向量、矩阵，等等，并渐渐转向代数系统结构本身的研究.

上述两大事件和它们引起的发展，被称为几何学的解放和代数学的解放.

19世纪还发生了第三个有深远意义的数学事件：分析的算术化.1874年威尔斯特拉斯提出了一个引人注目的例子，要求人们对分析基础作更深刻的理解.他提出了被称为“分析的算术化”的著名设想，实数系本身最先应该严格化，然后分析的所有概念应该由此数系导出.他和后继者们使这个设想基本上得以实现，使今天的全部分析可以从表明实数系特征的一个公设集中逻辑地推导出来.

现代数学家们的研究，远远超出了把实数系作为分析基础的设想.欧几里得几何通过其分析的解释，也可以放在实数系中；如果欧氏几何是相容的，则几何的多数分支是相容的.实数系（或某部分）可以用来解群代数的众多分支；可使大量的代数相容性依赖于实数系的相容性.事实上，可以说：如果实数系是相容的，则现存的全部数学也是相容的.

19世纪后期，由于狄德金、康托和皮亚诺的工作，这些数学基础已经建立在更简单、更基础的自然数系之上.即他们证明了实数系（由此导出多种数学）能从确立自然数系的公设集中导出.20世纪初期，证明了自然数可用集合论概念来定义，因而各种数学能以集合论为基础来讲述.

拓扑学开始是几何学的一个分支，但是直到20世纪的第二个1/4世纪，它才得到了推广.拓扑学可以粗略地定义为对于连续性的数学研究.科学家们认识到：任何事物的集合，不管是点的集合、数的集合、代数实体的集合、函数的集合或非数学对象的集合，都能在某种意义上构成拓扑空间.拓扑学的概念和理论，已经成功地应用于电磁学和物理学的研究.

20世纪有许多数学著作曾致力于仔细考查数学的逻辑基础和结构，这反过来导致公理学的产生，即对于公设集合及其性质的研究.许多数学概念经受了重大的变革和推广，并且像集合论、近世代数学和拓扑学这样深奥的基础学科也得到广泛发展.一般（或抽象）集合论导致的一些意义深远而困扰人们的悖论，迫切需要得到处理.逻辑本身作为在数学上以承认的前提去得出结论的工具，被认真地检查，从而产生了数理逻辑.逻辑与哲学的多种关系，导致数学哲学的各种不同学派的出现.

20世纪40～50年代，世界科学史上发生了三件惊天动地的大事，即原子能的利用、电子计算机的发明和空间技术的兴起.此外还出现了许多新的情况，促使数学发生急剧的变化.这些情况是：现代科学技术研究的对象，日益超出人类的感官范围以外，向高温、高压、高速、高强度、远距离、自动化发展.以长度单位为例，小到1尘（毫微微米，即10-15米），大到100万秒差距（325.8万光年）.这些测量和研究都不能依赖于感官的直接经验，越来越多地要依靠理论计算的指导.其次是科学实验的规模空前扩大，一个大型的实验，要耗费大量的人力和物力.为了减少浪费和避免盲目性，迫切需要精确的理论分析和设计.再次是现代科学技术日益趋向定量化，各个科学技术领域，都需要使用数学工具.数学几乎渗透到所有的科学部门中去，从而形成了许多边缘数学学科，例如生物数学、生物统计学、数理生物学、数理语言学等等.

上述情况使得数学发展呈现出一些比较明显的特点，可以简单地归纳为三个方面：计算机科学的形成，应用数学出现众多的新分支，纯粹数学有若干重大的突破.

1945年，第一台电子计算机诞生以后，由于电子计算机应用广泛、影响巨大，围绕它很自然要形成一门庞大的科学.粗略地说，计算机科学是对计算机体系、软件和某些特殊应用进行探索和理论研究的一门科学.计算数学可以归入计算机科学之中，但它也可以算是一门应用数学.

计算机的设计与制造的大部分工作，通常是计算机工程或电子工程的事.软件是指解题的程序、程序语言、编制程序的方法等.研究软件需要使用数理逻辑、代数、数理语言学、组合理论、图论、计算方法等很多的数学工具.目前电子计算机的应用已达数千种，还有不断增加的趋势.但只有某些特殊应用才归入计算机科学之中，例如机器翻译、人工智能、机器证明、图形识别、图像处理等.

应用数学和纯粹数学（或基础理论）从来就没有严格的界限.大体上说，纯粹数学是数学的这一部分，它暂时不考虑对其他知识领域或生产实践上的直接应用，它间接地推动有关学科的发展或者在若干年后才发现其直接应用；而应用数学，可以说是纯粹数学与科学技术之间的桥梁.

20世纪40年代以后，涌现出了大量新的应用数学科目，内容的丰富、应用的广泛、名目的繁多都是史无前例的.例如对策论、规划论、排队论、最优化方法、运筹学、信息论、控制论、系统分析、可靠性理论等.这些分支所研究的范围和互相间的关系很难划清，也有的因为用了很多概率统计的工具，又可以看作概率统计的新应用或新分支，还有的可以归入计算机科学之中等等.

20世纪40年代以后，基础理论也有了飞速的发展，出现许多突破性的工作，解决了一些带根本性质的问题.在这过程中引入了新的概念、新的方法，推动了整个数学前进.例如，希尔伯特1990年在国际教学家大会上提出的尚待解决的23个问题中，有些问题得到了解决.20世纪60年代以来，还出现了如非标准分析、模糊数学、突变理论等新兴的数学分支.此外，近几十年来经典数学也获得了巨大进展，如概率论、数理统计、解析数论、微分几何、代数几何、微分方程、因数论、泛函分析、数理逻辑等等.

当代数学的研究成果，有了几乎爆炸性的增长.刊载数学论文的杂志，在17世纪末以前，只有17种（最初的出于1665年）；18世纪有210种；19世纪有950种.20世纪的统计数字更为增长.在20世纪初，每年发表的数学论文不过1000篇；到1960年，美国《数学评论》发表的论文摘要是7824篇，到1973年为20410篇，1979年已达52812篇，文献呈指数式增长之势.数学的三大特点——高度抽象性、应用广泛性、体系严谨性，更加明显地表露出来.

今天，差不多每个国家都有自己的数学学会，而且许多国家还有致力于各种水平的数学教育的团体.它们已经成为推动数学发展的有力因素之一.目前数学还有加速发展的趋势，这是过去任何一个时期所不能比拟的.

现代数学虽然呈现出多姿多彩的局面，但是它的主要特点可以概括如下：（1）数学的对象、内容在深度和广度上都有了很大的发展，分析学、代数学、几何学的思想、理论和方法都发生了惊人的变化，数学的不断分化，不断综合的趋势都在加强.（2）电子计算机进入数学领域，产生巨大而深远的影响.（3）数学渗透到几乎所有的科学领域，并且起着越来越大的作用，纯粹数学不断向纵深发展，数理逻辑和数学基础已经成为整个数学大厦基础.

以上简要地介绍了数学在古代、近代、现代三个大的发展时期的情况.如果把数学研究比喻为研究“飞”，那么第一个时期主要研究飞鸟的几张相片（静止、常量）；第二个时期主要研究飞鸟的几部电影（运动、变量）；第三个时期主要研究飞鸟、飞机、飞船等等的所具有的一般性质（抽象、集合）.

这是一个由简单到复杂、由具体到抽象、由低级向高级、由特殊到一般的发展过程.如果从几何学的范畴来看，那么欧氏几何学、解析几何学和非欧几何学就可以作为数学三大发展时期的有代表性的成果；而欧几里得、笛卡儿和罗巴契夫斯基更是可以作为各时期的代表人物.