第二章　导数与微分

第一节　导数的概念

微积分学包含微分学和积分学两部分，而导数和微分是微分学的核心概念.导数反映了函数相对于自变量的变化的快慢程度，微分则指明了当自变量有微小变化时，函数大体上变化了多少.本章主要讨论导数和微分的概念、性质以及计算方法.　

一、引例

【例1】　变速直线运动的速度问题

设一质点在坐标轴上作非匀速运动，时刻t质点的坐标为s，s是t的函数：s=f（t），求动点在时刻t0的速度.

考虑比值

这个比值可认为是动点在时间间隔t-t0内的平均速度.如果时间间隔比较短，这个比值在实践中可用来说明动点在时刻t0的速度，但这样做是不精确的，精确地应当这样：

令t-t0 0，取比值的极限，如果这个极限存在，设为v，即

这时就把这个极限值v称为动点在时刻t0的速度.

【例2】　切线问题

如图2.1所示，设有曲线C及C上的一点P0，在点P0外另取C上一点P，作割线P0P.当点P沿曲线C趋于点P0时，如果割线P0P绕点P0旋转而趋于极限位置P0T，直线P0T就称为曲线C有点P0处的切线.

设曲线C就是函数y=f（x）的图形.现在要确定曲线在点P0（x0，y0）处的切线，只要定出切线的斜率就行了.为此，在点P0外另取C上一点P（x，y），于是割线P0P的斜率为

式中，φ为割线P0P的倾角.当点P沿曲线C趋于点P0时，x x0.如果当x 0时，上式的极限存在，设为k，即

存在，则此极限k是割线斜率的极限，也就是切线的斜率.这里k=tanα，其中α是切线P0T的倾角.于是，通过点P0（x0，f（x0））且以k为斜率的直线P0T便是曲线C在点P0处的切线.

二、导数的定义

1.函数在一点处的导数与导函数

从上面所讨论的两个问题看出，变速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限：

令Δx=x-x0，则Δy=f（x0+Δx）-f（x0）=f（x）-f（x0），x→x0相当于Δx→0，于是成为

定义　设函数y=f（x）在点x0的某个邻域内有定义，当自变量x在x0处取得增量Δx（点x0+Δx仍在该邻域内）时，相应地函数y取得增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）；如果Δy与Δx之比当Δx→0时的极限存在，则称函数y=f（x）在点x0处可导，并称这个极限为函数y=f（x）在点x0处的导数，记为y' ，即　

也可记为或.

函数f（x）在点x0处可导有时也说成f（x）在点x0具有导数或导数存在.如果极限不存在，就说函数y=f（x）在点x0处不可导.

导数的定义式也可取不同的形式，常见的有

在实际中，需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢”问题，在数学上就是所谓函数的变化率.导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述.

这样，以上两例可表示为v（t0）=f'（t0）， k=f'（x0）.

如果函数y=f（x）在开区间（a，b）内的每点处都可导，就称函数f（x）在开区间（a，b）内可导.这时，对于任一xÎ（a，b），都对应着f（x）的一个确定的导数值.这样就构成了一个新的函数，这个函数叫做原来函数y=f（x）的导函数，记作y'，f'（x），或.

显然，f'（x0）就是导函数f'（x）在点x=x0处的函数值，即f'（x0）=f'（x）.

2.求导数举例

由导数的定义可知，求导数一般有如下三个步骤：

①写出函数的改变量Δy=f（x+Δx）-f（x）；

②计算比值

③求极限

【例3】　求函数y=x2在x0=1和任意点处的导数.

解：（1）求x0=1处的导数.

①计算Δy， 即

②计算，即

③取极限， 即

（2）求任意点处的导数

①Δy=f（x+Δx）-f（x）=（x+Δx）2-x2=2xΔx+（Δx）2

②

③

即

【例4】　求函数f（x）=sinx的导数.

解：

①

②

③

即

用类似的方法，可求得（cosx）'=-sinx.

三、导数的实际意义

函数相对于自变量的变化率在数学中叫做导数，在不同的学科中均有其实际意义.

1.经济意义

在经济学中，总成本C=C（x）、总收益R=R（x）、总利润L=L（x）在x0处的导数C'（x0）、R'（x0）、L'（x0）分别称为边际成本、边际收益、边际利润.

2.物理意义

在物理学中，路程函数s=s（t）在t0点的导数，就是物体在t0时刻的瞬时速度，即

3.几何意义

由例2可知，函数y=f（x）在点x0处的导数f'（x0）就是曲线y=f（x）在点M（x0，f（x0））处的切线的斜率，即

式中，α是切线的倾角.

由直线的点斜式方程，可知曲线y=f（x）在点M（x0，y0）处的切线方程为

.

特别地，若f'（x0）=0，则切线平行于x轴，切线方程为y=y0；

若f'（x0）不存在，且f'（x0）=∞，则切线垂直于x轴，切线方程为x=x0；

过切点M（x0，y0）且与切线垂直的直线叫做曲线y=f（x）在点M处的法线，如果f'（x0）≠0，法线的斜率为，从而法线方程为

【例5】　求等边双曲在点处的切线的斜率，并写出在该点处的切线方程和法线方程.

解：，所求切线及法线的斜率分别为

所求切线方程为，即4x+y-4=0.

所求法线方程为，即2x-8y+15=0.

四、可导与连续关系

如果函数y=f（x）在点x0处可导，则函数在该点必连续；反之，则未必成立.

【例6】　函数在区间（-∞，+∞）内连续（图2.2），但在点x=0处不可导.这是因为函数在点x=0处导数为无穷大.

习题2.1

1.用导数的定义求下列函数的导数.

（1）f（x）=ax+b（a、b均为常数）

（2）f（x）=cosx

（3）y=x3

2.设f'（x0）存在，求下列极限.

（1）

（2）

（3）

（4）

3.设f（x）=3x2，用导数的定义计算f'（2）.

4.求曲线y=lnx在点（e，1）处的切线方程.

5.求曲线y=ex在点（0，1）处的切线方程和法线方程.