2.2　实验数据处理

实验中测量得到的许多数据需要处理后才能表示测量的最终结果。对实验数据进行记录、整理、计算、分析、拟合等，从中获得实验结果和寻找物理量变化规律或经验公式的过程就是数据处理。它是实验方法的一个重要组成部分，是实验课的基本训练内容。本章主要介绍列表法、作图法、图解法、逐差法和最小二乘法。

2.2.1　列表法

列表法就是将一组实验数据和计算的中间数据依据一定的形式和顺序列成表格。列表法可以简单明确地表示出物理量之间的对应关系，便于分析和发现资料的规律性，也有助于检查和发现实验中的问题，这就是列表法的优点。设计记录表格时要做到：

①表格设计要合理，以利于记录、检查、运算和分析。

②表格中涉及的各物理量，其符号、单位及量值的数量级均要表示清楚，但不要把单位写在数字后。

③表中数据要正确反映测量结果的有效数字和不确定度。列入表中的除原始数据外，计算过程中的一些中间结果和最后结果也可以列入表中。

④表格要加上必要的说明。实验室所给的数据或查得的单项数据应列在表格的上部，说明写在表格的下部。

2.2.2　作图法

作图法是在坐标纸上用图线表示物理量之间的关系，揭示物理量之间的联系。作图法有简明、形象、直观、便于比较研究实验结果等优点，它是一种最常用的数据处理方法。

作图法的基本规则是：

①根据函数关系选择适当的坐标纸（如直角坐标纸，单对数坐标纸，双对数坐标纸，极坐标纸等）和比例，画出坐标轴，标明物理量符号、单位和刻度值，并写明测试条件。

②坐标的原点不一定是变量的零点，可根据测试范围加以选择。坐标分格最好使最低数字的一个单位可靠数与坐标最小分度相当。纵横坐标比例要恰当，以使图线居中。

③描点和连线。根据测量数据，用直尺和笔尖使其函数对应的实验点准确地落在相应的位置。一张图纸上画几条实验曲线时，每条线应用不同的标记如“+”、“×”、“·”、“Δ”等符号标出，以免混淆。连线时，要顾及数据点，使曲线呈光滑曲线（含直线），并使数据点均匀分布在曲线（直线）的两侧，且尽量贴近曲线。个别偏离过大的点要重新审核，属过失误差的应剔去。

④标明图名，即做好实验图线后，应在图纸下方或空白的明显位置处，写上图的名称、作者和作图日期，有时还要附上简单的说明，如实验条件等，使读者一目了然。作图时，一般将纵轴代表的物理量写在前面，横轴代表的物理量写在后面，中间用“～”连接。

⑤最后将图纸贴在实验报告的适当位置，便于教师批阅实验报告。

2.2.3　图解法

在实验中，实验图线做出以后，可以由图线求出经验公式。图解法就是根据实验数据做好的图线，用解析法找出相应的函数形式。实验中经常遇到的图线是直线、抛物线、双曲线、指数曲线、对数曲线等。特别是当图线是直线时，采用此方法更为方便。

（1）由实验图线建立经验公式的一般步骤

①根据解析几何知识判断图线的类型。

②由图线的类型判断公式的可能特点。

③利用半对数、对数或倒数坐标纸，把原曲线改为直线。

④确定常数，建立起经验公式的形式，并用实验数据来检验所得公式的准确程度。

（2）用直线图解法求直线方程

如果做出的实验图线是一条直线，则经验公式应为直线方程

　　（2-43）

要建立此方程，必须由实验直接求出k和b，下面介绍斜率截距法。

在图线上选取两点P1（x1，y1）和P2（x2，y2），注意不得用原始数据点，而应从图线上直接读取，其坐标值最好是整数值。所取的两点在实验范围内应尽量彼此分开一些，以减小误差。由解析几何知，上述直线方程中，k为直线的斜率，b为直线的截距。k可以根据两点的坐标求出。则斜率为

　　（2-44）

其截距b为x=0时的y值；若原实验中所绘制的图形并未给出x=0段直线，可将直线用虚线延长交y轴，则可量出截距。如果起点不为零，也可以由式

　　（2-45）

求出截距，将斜率和截距的数值代入方程中就可以得到经验公式。

（3）曲线改直，曲线方程的建立

在许多情况下，函数关系是非线性的，但可通过适当的坐标变换化成线性关系，在作图法中用直线表示，这种方法叫作曲线改直。做这样的变换不仅是由于直线容易描绘，更重要的是直线的斜率和截距所包含的物理内涵是我们所需要的。例如：

①y=axb，式中a、b为常量，可变换成lgy=blgx+lga，lgy为lgx的线性函数，斜率为b，截距为lga。

②y=abx，式中a、b为常量，可变换成lgy=（lgb）x+lga，lgy为x的线性函数，斜率为lgb，截距为lga。

③PV=C，式中C为常量，要变换成P=C（1/V），P是1/V的线性函数，斜率为C。

④y2=2px，式中p为常量，，y是x1/2的线性函数，斜率为。

⑤y=x/（a+bx），式中a、b为常量，可变换成1/y=a（1/x）+b，1/y为1/x的线性函数，斜率为a，截距为b。

⑥s=v0t+at2/2，式中v0、a为常量，可变换成s/t=（a/2）t+v0，s/t为t的线性函数，斜率为a/2，截距为v0。

［举例1］　在恒定温度下，一定质量气体的压强P随容积V而变，画P-V图，如图2-5所示。

用坐标轴1/V置换坐标轴V，则P-1/V图为一直线，如图2-6所示。直线的斜率为C，即玻—马定律。

［举例2］　单摆的周期T随摆长L而变，绘出T-L实验曲线为抛物线形如图2-7所示。若作T 2-L图则为一直线型，如图2-8所示。斜率：

　　（2-46）

由此可写出单摆的周期公式：

　　（2-47）

2.2.4　逐差法

对随等间距变化的物理量x进行测量和函数可以写成x的多项式时，可用逐差法进行数据处理。

例如：一空载长为x0的弹簧，逐次在其下端加挂质量为m的砝码，测出对应的长度x1，x2，…，x5，为求每加一单位质量的砝码的伸长量，可将数据按顺序对半分成两组，使两组对应项相减有：

　　（2-48）

这种对应项相减，即逐项求差法简称逐差法，是实验中常用的数据处理方法之一。

注意：逐差法与作图法一样，都是一种粗略处理数据的方法，在化工实验中，经常要用到这两种基本的方法。在使用逐差法时要注意以下两个问题：

①在验证函数表达式的形式时，要用逐项逐差，不用隔项逐差。这样可以检验每个数据点之间的变化是否符合规律。

②在求某一物理量的平均值时，不可用逐项逐差，而要用隔项逐差；否则中间项数据会相互消去，而只能用首尾项，白白浪费许多数据。

如上例，若采用逐项逐差法（相邻两项相减的方法）求伸长量，则有

　　（2-49）

可见只有x0、x5两个数据起作用，没有充分利用整个数据组，失去了多次测量以减小误差的意义，是不合理的。

2.2.5　用最小二乘法作直线拟合

作图法虽然在数据处理中是一个很便利的方法，但在图线的绘制上往往会引入附加误差，尤其在图线确定常数时，这种误差有时很明显。为了克服这一缺点，在数理统计中研究了直线拟合问题（或称一元线性回归问题），常用一种以最小二乘法为基础的实验数据处理方法。由于某些曲线的函数可以通过数学变换改写为直线，例如对函数y=ae-bx取对数得lny=lna-bx，lny与x的函数关系就变成直线型了。因此这一方法也适用于某些曲线型的规律。下面就数据处理问题中的最小二乘法原则做一简单介绍。

设某一实验中，可控制的物理量取x1，x2，…，xn值时，对应的物理量依次取y1，y2，…， yn值。我们假定对xi值的观测误差很小，而主要误差都出现在yi的观测上。显然如果从（xi， yi）中任取两组实验数据就可得出一条直线，只不过这条直线的误差有可能很大。直线拟合的任务就是用数学分析的方法从这些观测到的数据中求出一个误差最小的最佳经验式y=a+bx。按这一最佳经验公式做出的图线虽不一定能通过每一个实验点，但是它以最接近这些实验点的方式平滑地穿过它们。很明显，对应于每一个xi值，观测值yi和最佳经验式的y值之间存在一偏差，我们称它为观测值yi的偏差，即

=yi-y=yi-（a+bxi）（i=1，2，3，…，n）　　（2-50）

最小二乘法的原理：如各观测值yi的误差互相独立且服从同一正态分布，当yi的偏差的平方和为最小时，得到最佳经验式。根据这一原则可求出常数a和b。

设以S表示的平方和，它应满足：

　　（2-51）

式（2-51）中的各yi和xi是测量值，都是已知量，而a和b是待求的，因此S实际是a和b的函数。令S对a和b的偏导数为零，即可解出满足式（2-51）的a、b值。

　　（2-52）

即

　　（2-53）

其解为

　　（2-54）

将得出的a和b代入直线方程，即得到最佳的经验公式y=a+bx。

上面介绍了用最小二乘法求经验公式中的常数a和b，是一种直线拟合法。它在科学实验中的运用很广泛，特别是有了计算器后，计算工作量大大减小，计算精度也能保证，因此它是很有用又很方便的方法。用这种方法计算的常数值a和b是“最佳的”，但并不是没有误差，它们的误差估算比较复杂。一般地说，一列测量值的大（即实验点对直线的偏离大），那么由这列数据求出的a、b值的误差也大，由此定出的经验公式可靠程度就低；如果一列测量值的小（即实验点对直线的偏离小），那么由这列数据求出的a、b值的误差就小，由此定出的经验公式可靠程度就高。

为了检查实验数据的函数关系与得到的拟合直线符合的程度，数学上引入了线性相关系数r。r定义为

　　（2-55）

式中。r的取值范围为-1≤r≤1。从相关系数的这一特性可以判断实验数据是否符合线性。如果r很接近于1，则各实验点均在一条直线上。实验中r如达到0.999，就表示实验数据的线性关系良好，各实验点聚集在一条直线附近。相反，相关系数r=0或趋近于零，说明实验数据很分散，无线性关系。因此用直线拟合法处理数据时要算相关系数。具有二维统计功能的计算器有直接计算r及a、b的功能。