1.4　复变函数的极限和连续性

1.4.1　复变函数的概念

复变函数的定义在形式上与一元实函数一样，只是其自变量和函数的取值推广到了复数.

定义1.4.1　设G是一个非空复数集合，如果对G内的任一复数z，按照某一确定的法则总有一个（多个）复数w与之对应，则称复变数w是复变数z的单值（多值）函数，简称复变函数，记作

w=f（z）.

其中z叫做自变量，w叫做因变量，集合G叫做该函数的定义域，与G中所有z对应的w值的集合G*叫做该函数的值域.

今后如无特殊声明，所讨论的复变函数均为单值函数.

【例1.4.1】　讨论w=z2是否为单值函数.

解　令z=x+iy，w=u+iv，则

w=u+iv=z2=（x+iy）2=x2-y2+2xyi，

由此得

u=x2-y2，v=2xy.

由于这两个二元实函数都是单值函数，因而w=z2是z的单值函数.

【例1.4.2】　w2=z是否为单值函数？

解　令z=reiθ，w=ρeiφ，则

ρ2ei2φ=reiθ，

由此得        

ρ2=r，2φ=θ+2kπ.

即        

取；取.因而知w2=z是z的多值函数.

从以上例子可以看出，由于给定了复数z=x+iy就相当于给定了两个实数x和y，而复数w=u+iv也同样对应着两个实数u和v，所以复变函数w和自变量z之间的关系w=f（z）相当于两个关系式：

u=u（x，y），v=v（x，y），

它们确定了自变量为x和y的两个二元实函数.

1.4.2　复变函数的极限

复变函数极限的定义在叙述形式上与一元实函数的极限一致，即

定义1.4.2　设A为复常数，函数w=f（z）在点z0的去心邻域0<|z-z0|<ρ内有定义.如果对于任意给定的正数ε，总可找到相应的正数δ（δ≤ρ），使得当0<|z-z0|<δ　时恒有

|f（z）-A|<ε，

则称A为f（z）当z→z0时的极限.记作

其几何意义是当变点z一旦进入z0的充分小的δ去心邻域时，它的像点f（z）就落入A预先给定的ε邻域中.这与一元实函数的极限的几何意义相比十分类似，只是这里用圆域代替了那时的邻域.

注意　这里“f（z）→A　（z→z0）”意味着“当点z在该邻域内沿任何方向，以任意路径和方式趋于z0时f（z）都趋于同一个常数A”.显然，这比一元实函数极限的定义的要求要苛刻的多.为此，我们可以通过考察函数沿某些特殊路径的极限不同或不存在，来判断其极限不存在.

关于极限的运算有以下定理.

定理1.4.1　设函数f（z）=u（x，y）+iv（x，y），A=u0+iv0，z0=x0+iy0，则的充要条件是

定理1.4.2　若，则有

（1）；

（2）；

（3）

利用极限的定义可以证明上述定理，请读者自己完成.

1.4.3　复变函数的连续性

定义1.4.3　若，则称函数f（z）在z0处连续；若f（z）在区域D内处处连续，则称函数f（z）在区域D内连续.

定理1.4.3　函数f（z）=u（x，y）+iv（x，y）在点z0=x0+iy0处连续的充要条件是u（x，y）和v（x，y）在点（x0，y0）处连续.

定理1.4.4　①在点z0处连续的两个函数f（z）和g（z）的和、差、积、商（分母在z0处不为零）在z0处仍然连续；②若函数h=g（z）在点z0处连续，w=f（h）在h0=g（z0）连续，则复合函数

w=f［g（z）］点z0处连续.

由该定理可以看出，复有理多项式函数

w=P（z）=a0+a1z+…+anzn

在整个复平面上连续，而复有理分式函数

w=P（z）/Q（z）

在复平面内使分母Q（z）≠0的点处也是连续的，其中P（z），Q（z）都是复有理多项式函数.

另外，若函数f（z）在有界闭区域上连续，则在上也连续，因此二元连续函数|f（z）|在上达到它的最大值和最小值，分别称为f（z）在上的最大模和最小模.于是有

定理1.4.5　设函数f（z）在有界闭区域上连续，则f（z）在上达到它的最大模和最小模.

推论　若函数f（z）在有界闭区域上连续，则f（z）在上有界.

特别地，在闭曲线或包括曲线端点在内的曲线段C上连续的函数f（z），在曲线段C上是有界的，即存在一正数M，使当z∈C时恒有

|f（z）|≤M.

这一结论在级数部分的理论证明中将会用到.