3.1* 对坐标的曲线积分_复变函数与积分变换（第二版）-QQ阅读男生都市网

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3.1* 　对坐标的曲线积分

3.1.1　二重积分的概念和性质

（1）曲顶柱体的体积

设有一立体，它的底是xOy面上的闭区域D，它的侧面是以D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面，它的顶是曲面z=f（x，y），这里f（x，y）≥0且在D上连续（图3.1.1）.这种立体叫做曲顶柱体.现在我们来讨论如何定义并计算上述曲顶柱体的体积V.

我们知道，平顶柱体的高是不变的，它的体积可以用公式

体积=高×底面积

来定义和计算.关于曲顶柱体，当点（x，y）在区域D上变动时，高度f（x，y）是个变量，因此它的体积不能直接用上式来定义和计算.关于求曲边梯形面积的方法，原则上可以用来解决目前的问题.

图3.1.1

图3.1.2

首先，用一组曲线网把D分成n个小闭区域Δσ1，Δσ2，…，Δσn.分别以这些小闭区域的边界曲线为准线，作母线平行于z轴的柱面，这些柱面把原来的曲顶柱体分成n个细曲顶柱体.当这些小闭区域的直径很小时，由于f（x，y）连续，对同一个小闭区域来说，f（x，y）变化很小，这时细曲顶柱体可近似看作平顶柱体.我们在每个Δσi（这个小闭区域的面积也记作Δσi）中任取一点（ξi，ηi），以f（ξi，ηi）为高而底为Δσi的平顶柱体（图3.1.2）的体积为f（ξi，ηi）Δσi （i=1，2，…，n）.这n个平顶柱体体积之和可以认为是整个曲顶柱体的体积的近似值.令n个小闭区域的直径中的最大值（记作λ）趋于零，取上述和的极限，所得的极限便自然地定义为上述曲顶柱体的体积V，即

（2）平面薄片的质量

设有一平面薄片占有xOy面上的闭区域D，它在点（x，y）处的面密度为μ（x，y），这里μ（x，y）>0且在D上连续.现在要计算该薄片的质量m.

我们知道，如果薄片是均匀的，即面密度是常数，那么薄片的质量可以用公式

质量=面密度×面积

来计算.现在面密度μ（x，y）是变量，薄片的质量就不能直接用上式来计算.但是上面用来处理曲顶柱体体积问题的方法完全适用于本问题.

图3.1.3

由于μ（x，y）连续，把薄片分成许多小块后，只要小块所占的小闭区域Δσi直径很小，这些小块就可以近似地看做均匀薄片.在Δσi上任取一点（ξi，ηi），则

可以看做第i个小块的质量的近似值（图3.1.3）.通过求和、取极限，便得出

（3）二重积分的定义

上面两个问题的实际意义虽然不同，但所求量都归结为同一形式的和的极限.在物理、力学、几何和工程技术中，有许多物理量或几何量都可归结为这一形式的和的极限.由此可抽象出二重积分的定义.

定义3.1.1　设f（x，y）是有界闭区域D上的有界函数.将闭区域D任意分成n个小闭区域

Δσ1，Δσ2，…，Δσn，

其中Δσi表示第i个小闭区域，也表示它的面积.在每个Δσi上任取一点（ξi，ηi），作乘积f（ξi，ηi）Δσi （i=1，2，…，n），并作和Δσi.如果当各小闭区域的直径中的最大值λ趋于零时，这和的极限总存在，则称此极限为函数f（x，y）在闭区域D上的二重积分，记作，即

其中，f（x，y）叫做被积函数，f（x，y）dσ叫做被积表达式，dσ叫做面积元素，x与y叫做积分变量，D叫做积分区域，叫做积分和.

在二重积分的定义中对闭区域D的划分是任意的，如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D，那么除了包含边界点的一些小闭区域外，其余的小闭区域都是矩形闭区域.设矩形闭区域Δσi的边长为Δxj和Δyk，则Δσi=ΔxjΔyk.因此在直角坐标系中，有时也把面积元素dσ记作dxdy，而把二重积分记作

其中，dxdy叫做直角坐标系中的面积元素.

注意　①如果函数f（x，y）在闭区域D上连续，则函数f（x，y）在D上的二重积分存在.

②如果f（x，y）≥0，被积函数f（x，y）可解释为曲顶柱体的顶在点（x，y）处的竖坐标，所以二重积分的几何意义就是曲顶柱体的体积.如果f（x，y）<0，柱体就在xOy面的下方，二重积分的绝对值仍等于柱体的体积，但二重积分的值是负的.如果f（x，y）在D的若干部分区域上是正的，而在其他的部分区域上是负的，那么，f（x，y）在D上的二重积分就等于xOy面上方的柱体体积减去xOy面下方的柱体体积.

（4）二重积分的性质

比较定积分与二重积分的定义可以看出，二重积分与定积分有类似的性质（证明略），现叙述于下.

性质1　设α，β为常数，则

性质2　如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域，则在D上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和.

例如D分为两个闭区域D1与D2，则

这个性质表明二重积分对于积分区域具有可加性.

性质3　如果在D上，f（x，y）=1，σ为D的面积，则

这性质的几何意义是很明显的，因为高为1的平顶柱体的体积在数值上就等于柱体的底面积.

性质4　如果在D上，f（x，y）≤g（x，y），则有

特别地，由于

-|f（x，y）|≤f（x，y）≤|f（x，y）|，

又有

性质5　设M，m分别是f（x，y）在闭区域D上最大值和最小值，σ是D的面积，则有

上述不等式是对于二重积分估值的不等式.

性质6（二重积分的中值定理）　设函数f（x，y）在闭区域D上连续，σ是D的面积，则在D上至少存在一点（ξ，η），使得

3.1.2　对坐标的曲线积分的概念和性质

设一个质点在xOy面内受到力的作用，从点A沿光滑曲线弧L移动到点B，其中函数P（x，y），Q（x，y）在L上连续.要计算在上述移动过程中变力F（x，y）所做的功（图3.1.4）.

图3.1.4

我们知道，如果力F是恒力，且质点从A沿直线移动到B，那么恒力F所做的功W等于向量F与向量的数量积，即

现在F（x，y）是变力，且质点沿曲线L移动，功W不能直接按以上公式计算.为了克服这个困难，可以用曲线弧L上的点M1（x1，y1），M2（x2，y2），…，Mn-1（xn-1，yn-1）把L分成n个小弧段，取其中一个有向小弧段来分析：由于光滑而且很短，可以用有向直线段来近似代替它，其中Δxi=xi-xi-1，Δyi=yi-yi-1.又由于函数P（x，y），Q（x，y）在L上连续，可以用上任意取定的一点（ξi，ηi）处的力

来近似代替这小弧段上各点处的力.这样，变力F（x，y）沿有向小弧段所做的功ΔWi可以认为近似地等于恒力F（ξi，μi）沿所做的功：

于是

用λ表示n个小弧段的最大长度，令λ→0取上述和的极限，所得到的极限自然地被认为变力F沿有向曲线弧所做的功，即

这种和的极限在研究其他问题时也会遇到，为了研究此类问题引入如下定义.

定义3.1.2　设L为xOy面内从点A到点B的一条有向光滑曲线弧，函数P（x，y）、Q（x，y）在L上有界.在L上沿L的方向任意插入一点列M1（x1，y1），，y2），…，Mn-1（xn-1，yn-1），把L分成n个有向小弧段

设Δxi=xi-xi-1，Δyi=yi-yi-1，点（ξi，μi）为上任意取定的点.如果当各个小弧段长度的最大值λ→0时，的极限总存在，则称此极限为函数P（x，y）在有向曲线弧L上对坐标x的曲线积分，记作.类似地，如果总存在，则称此极限为函数Q（x，y）在有向曲线弧L上对坐标y的曲线积分，记作.即

其中P（x，y）、Q（x，y）叫做被积函数，L叫做积分弧段.

注意　①当P（x，y）、Q（x，y）在有向光滑曲线弧L上连续时，对坐标的曲线积分都存在.

②应用上经常出现的是

这种合并起来的形式，为简便起见，上式可以写成

也可写成向量形式

其中为向量值函数，

例如，上面讨论的变力F所做的功W可以表示成

根据对坐标曲线积分的定义，可以导出对坐标曲线积分的一些性质.为了表达简便起见，我们用向量形式表达，并假定其中的函数在有向光滑曲线弧L上连续.

性质1　设α，β为常数，则

性质2　若有向曲线弧可分成两段光滑的有向曲线弧和，则

性质3　设是有向光滑曲线弧，是的反向曲线弧，则

注意　对坐标的曲线积分，必须注意积分弧段的方向.

3.1.3　对坐标的曲线积分的计算

定理3.1.1　设函数、在有向曲线弧上有定义且连续，的参数方程为

当参数单调地由变到时，点从的起点沿运动到终点，、在以及为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且，则曲线积分存在，且

=　　　（3.1.1）

证　在上取一列点，它们对应于一列单调变化的参数值

根据对坐标的曲线积分的定义，有

设点对应于参数值，即，这里在与之间.由于

应用微分中值定理，有，其中，在于之间.于是

因为函数在闭区间（或）上连续，我们可以把上式中的换成，从而

上式右端的和式的极限就是定积分，由于函数连续，这个定积分是存在的，因此上式左端的曲线积分也存在，并且有

同理可证

把以上两式相加，得

这里下限对应于的起点，上限对应于的终点.

式（3.1.1）表明，计算对坐标的曲线积分时，只要把、、、依次换为、、、，然后从的起点所对应的参数到的终点所对应的参数作定积分就行了，这里必须注意，下限对应于的起点，上限对应于的终点，不一定小于

如果由方程或给出，可以看做参数方程的特殊情形，例如，当由方程给出时，式（3.1.1）成为

这里下限对应于的起点，上限对应于的终点.

图3.1.5

【例3.1.1】　计算，其中为（图3.1.5）.

（1）抛物线上从到的一段弧；

（2）抛物线上从到的一段弧；

（3）有向折线，这里依次是点

解　（1）化为对的定积分.从0变到1.所以

（2）化为对的定积分.从0变到1.所以

（3）

在上，

在上，x=1，y从0变到1.所以

从而　

从此例可以看出，虽然沿不同路径，但曲线积分的值却是相等的.

3.1.4　曲线积分与路径无关的条件

（1）格林公式

在一元函数积分学中，牛顿-莱布尼茨公式

表示在区间上的积分可以通过它的原函数在这个区间端点上的值来表达.

图3.1.6

下面将介绍的格林（Green）公式告诉我们，在平面闭区域D上的二重积分可以用过沿闭区域D的边界曲线L上的曲线积分来表示.对于区域D的边界曲线L，我们规定L的正向如下：当观察者沿L的这个方向行走时，D内在他近处的那一部分总在他的左边.例如，D是边界曲线L和l所围成的复连通区域（图3.1.6），作为D的正向边界，L的正向是逆时针方向，而l的正向是顺时针方向.