第2章　线性与非线性方程（组）的应用

2.1　线性方程组

【例2-1】求解三元一次方程组：

在命令行窗口输入：

>>A=[2,1,-1;3,2,1;2,-1,2];  
B=[1,8,5]’;
x=A\B

按Enter键，得到：

x =  
　　0.9231  
　　1.4615
  　2.307

也可以是“B=[1;8;5];”。

2.1.1　细胞反应的元素衡算

【例2-2】以葡萄糖为基质进行面包酵母（S.cerevisiae）培养，培养的反应式可用下式表达：C6H12O6+3O2+aNH3→bC6H10NO3(面包酵母)+cH2O+dCO2，求计量关系中的系数a、b、c和d。

据平衡方程式可以得到4个线性方程式：

C: 6=6b+d

H: 12+3a=10b+2c

O: 6+2×3=3b+c+2d

N: a=b

写成矩阵式：Ax=B

即　　　

当方程组有唯一解时应有x=A−1B。

调用线性方程组命令，在命令行窗口输入：

>>A=[0 6 0 1;3 -10 -2 0;0 3 1 2;1 -1 0 0];  
B=[6;-12;6+2*3; 0];
x=A\B

按Enter键，并得到：

x =  
　　0.4800  
　　0.4800  
　　4.3200
  　3.1200

则方程联立求解为a=b=0.48, c=4.32, d=3.12。上述反应计量关系式为C6H12O6+3O2+ 0.48NH3→0.48C6H10NO3(面包酵母)+4.32H2O+3.12CO2。

2.1.2　细菌共存数的确定

【例2-3】某实验室有3种细菌，这些细菌需要3种食物饲养。每种细菌每天消耗不同食物情况见表2-1。若该实验室每天能提供5500单位的食物Ⅰ、4600单位的食物Ⅱ、6600单位的食物Ⅲ。试确定每天3种细菌共存数量分别为多少？

表2-1　每种细菌每天消耗不同食物情况

设每天3种细菌共存数量分别为x1、x2和x3。可以得到3个线性方程式：

写成矩阵式：Ax=B

即　

当方程组有唯一解时应有x=A−1B。

调用线性方程组命令，在命令行窗口输入：

>>A=[2 3 4;0 5 3;5 3 3];　  
B=[5500;4600;6600];
x=A\B

按Enter键，运行结果：

x =  
　　600.0000  
　　500.0000
  　700.0000

意味着每天可以饲养600个细菌A、500个细菌B以及700个细菌C。

2.1.3　多级逆流萃取理论级数的确定

多级逆流萃取流程如图2-1所示。原料液F从第n级进入，依次经过各级萃取，成为各级的萃余相，其溶质组成逐级降低；溶剂S从第1级进入系统，依次通过各级与萃余相逆向接触，进行萃取，使得萃取相中的溶质组成逐级提高，最终获得的萃取相溶质组成yn和萃余相溶质组成x1。

图2-1　多级逆流萃取流程

【例2-4】以130kg/h的纯乙酸戊酯为溶剂，从280kg/h的发酵液中萃取青霉素。欲通过多级逆流萃取，使原料液中的青霉素由0.030降至0.005（均为质量分数），分配系数K为2.0，试求理论级数。

由题意可知，F=280kg/h，S=130kg/h，xF =0.030kg青霉素/kg发酵液，x1=0.005kg青霉素/kg发酵液，yS=0，K=2.0。

根据图2-1，对各级进行物料衡算：

第1级：，分配系数K=y/x，即

第i级：，即

第n级：，即

该问题是求解矩阵方程Ax=B。其中：

假设理论级数的初始值为3，进行计算，根据计算的x1值，试着增加或减少理论级数，再进行计算，直至期望值x1的实现。在命令行窗口输入：

>>%3级萃取  
　　S=130;K=2;F=280;ys=0;xF=0.03;  
　　A=[-(S*K+F),F,0;  
　　　 S*K, -(S*K+F),F;  
　　　 0, S*K, -(S*K+F)];  
　　B=[-S*ys;0;-F*xF];
 　 x=A\B

按Enter键，运行结果：

x =  
　　0.0084  
　　0.0161
  　0.0233

可见，理论级数为3时，x1=0.0084（>0.005）,没有满足要求。在命令行窗口输入：

>>% 6级逆流萃取  
A=[-(S*K+F),F,0,0,0,0;  
　S*K, -(S*K+F),F,0,0,0;  
　0, S*K, -(S*K+F),F,0,0;  
　0,0, S*K, -(S*K+F),F,0;  
　0,0,0, S*K, -(S*K+F),F;  
　0,0,0,0, S*K, -(S*K+F)];  
B=[-S*ys;0;0;0;0; -F*xF];
x=A\B

按Enter键，运行结果：

x =  
　　0.0053  
　　0.0102  
　　0.0148  
　　0.0190  
　　0.0230
 　 0.0266

可见，理论级数为6时，x1=0.0053（>0.005）,仍没有满足要求。

在命令行窗口输入：

>> % 7级逆流萃取  
A=[-(S*K+F),F,0,0,0,0,0;  
　S*K,-(S*K+F),F,0,0,0,0;  
　 0,S*K,-(S*K+F),F,0,0,0;  
　0,0,S*K,-(S*K+F),F,0,0;  
　0,0,0, S*K, -(S*K+F),F,0;  
　0,0,0,0, S*K, -(S*K+F),F;  
　0,0,0,0,0, S*K, -(S*K+F)];  
B=[-S*ys;0;0;0;0;0; -F*xF];
x=A\B

按Enter键，运行结果：

x =  
　　0.0048  
　　0.0092  
　　0.0134  
　　0.0172  
　　0.0208  
　　0.0241
  　0.0271

由此可见，理论级数为7时，x1=0.0048（<0.005）,满足要求。