第一节　平面立体的三面投影

平面立体的表面是由若干个平面所构成。而平面可看作是由一些直线和棱线所构成，按照点、线、面的投影规律将这些线、面画出来，即可画出平面立体的图形。工程上常见的平面立体有两种：棱柱和棱锥。下面就介绍六棱柱和三棱锥的三个基本视图的形成和画法。

一、棱柱

1.棱柱的三面投影

如图3-3（a）所示的正六棱柱，六棱柱是由上、下正六边形和六个侧面（矩形）所构成。将它置于三投影面体系中，使其顶面、底面均为水平面，它们的水平投影反映实形，正面和侧面投影积聚为一直线。棱柱有六个侧面，前后为正平面，其正面投影反映实形，水平投影及侧面投影积聚为一直线。棱柱的其他四个侧面均为铅垂面，水平投影积聚为直线，正面投影和侧面投影为类似形。

直棱柱的投影特点：一个投影为多边形，反映棱柱的形状特征，另外两个投影是由矩形（实线和虚线）组成的矩形线框。

作图时，先画出对称中心线，再画出反映棱柱形状特征的投影——反映顶底面的正多边形，然后根据棱柱的高作出其他两个投影，如图3-3（b）所示。

2.棱柱表面上的点

在平面立体表面上的点，实质上就是平面上的点。作立体表面上点的投影时，首先确定点在平面上的位置，根据点的二面投影，求出第三面投影。在确定点的实际位置时，一定要判别点的可见性。若点所在表面的投影可见，则点的同面投影也可见；反之为不可见。正六棱柱的各个表面都处于特殊位置，因此在表面上的点可利用平面投影的积聚性来作图。

【例3-1】　如图3-4（a）所示，已知正六棱柱表面上点M和点N的正面投影m'、n'，求这两点的水平投影m、n和侧面投影m″、n″。

解：由于点M正面投影m'是可见的，因此点M必定在正六棱柱的左前侧面上，而左前侧面为铅垂面，其水平投影具有积聚性，因此m必在其有积聚性的水平投影上，由m'向下引投影连线可求出m。根据m'和m，由点的投影规律可求出m″。由于点N正面投影n'是不可见的，因此点N必定在正六棱柱的后侧面上，而后侧面为正平面，其水平投影具有积聚性，因此n必在其有积聚性的水平投影上，由n'向下引投影连线可求出n。根据n'和n，由点的投影规律可求出n″。如图3-4（b）所示。

注意：对不可见的点的投影，需加圆括号表示。

二、棱锥

1.棱锥的三面投影

如图3-5（a）所示为正三棱锥的三面投影。三棱锥是由底面和三个侧面所围成。按立体图中所示的看图方向，根据投影规律可知，底面△ABC为水平面，其水平投影反映三角形的实形，正面投影和侧面投影积聚为一直线，分别为a'b'c'和a″（c″）b″。△SAC为侧垂面，侧面投影积聚为一直线s″a″（c″），水平投影sac和正面投影s'a'c'都是类似形。△SAB和△SBC为一般位置平面，其三面投影均为类似形。棱线SB为侧平线，SA、SC为一般位置直线，AC为侧垂线，AB、BC为水平线。

画正三棱锥的三面投影时，先画出底面△ABC的各面投影，再画出锥顶S的各面投影，然后连接各顶点的同面投影，即为正三棱锥的三视图，如图3-5（b）所示。在画图时，要根据点的投影规律准确绘制，例如，通过作图可知，正三棱锥的侧面投影不是等腰三角形。

2.棱锥表面上的点

求作棱锥表面上点的投影和求棱柱表面上的点的投影相类似，首先要确定平面的三面投影，然后判断点在平面中的位置，由点的二面投影，按投影规律确定第三面投影。

【例3-2】　如图3-6（a）所示，已知正三棱锥表面上点M的正面投影m'，求点M的其余两面投影。

解法一：

由于m'是可见的，因此该点在一般位置平面——侧面△SAB上，可过锥顶S和点M作一辅助线SⅠ，得其正面投影s'1'，然后，作出辅助线SⅠ的水平投影s1，在s1上求出M点的水平投影m，再根据m、m'求出m″。 作图步骤如图3-6（b）所示。

解法二：

过点M作一辅助线ⅠⅡ，使ⅠⅡ∥AB，得其正面投影1'2'，然后，作出辅助线ⅠⅡ的水平投影12，在12上求出M点的水平投影m，再根据m、m'求出m″。作图步骤如图3-6（c）所示。