习题二

1.判别下列表格是否可作为某个离散型随机变量的分布律，并说明理由。

（1）；

（2）；

（3）；

（4）

（5）

（6）（λ>0）

2.一个口袋里装有七个红球，三个白球，从中任取五个球，每个球被取到的可能性相同，设X表示取得白球的个数，求X的分布律。

3.设随机变量X～B（n，p），问k取何值时，P{X=k}取得最大值？

4.设X～P（λ），且P{X=2}=P{X=4}，求λ值。

5.设X的分布律为

（1）求常数a；（2）当k为何值时，P{X=k}达到最大值？

6.设某批电子管正品率为3/4，次品率为1/4，现对该批电子管进行测试。设第X次首次测得正品，求X的分布律。

7.袋中有五个同样大小的球，编号分别为1，2，3，4，5，从中同时任取三个球，以X表示取出球的最大号码，求X的分布律。

8.有一繁忙的汽车站有大量汽车通过，每辆汽车在一天内出故障的概率为0.0001，在一天内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少？（用泊松定理计算）

9.设连续型随机变量X的密度函数为

求常数a，并求X的分布函数。

10.设随机变量X～P（2），求方程x2+Xx+1=0有实根的概率。

11.设连续型随机变量X的分布函数为

求（1）常数A；；（3）X的密度函数。

12.判别下列函数是否可作某个连续型随机变量的密度函数，并说明理由。

（1）

（2）

（3）

（4）（c>0，-∞<x<+∞）；

（5）（-∞<x<+∞）；

（6）（-∞<x<+∞）。

13.判别是非，并说明理由。

（1）若X～N（1，4），则P{X<1}=0.5；

（2）若X～N（-1，3），则P{X≤2}=Φ（2）；

（3）若X～N（-1，3），则P{X≤2}=Φ（1）；

（4）若X～N（-1，3），则；

（5）若X～N（0，1），则P{｜X｜≤2}=2Φ（2）-1；

（6）若X～N（-1，3），则P{｜X｜≤2}=2Φ（2）-1。

14.设X的密度函数为

（1）求常数a；（2）X～N（μ，σ2），μ，σ各取什么值？

15.设X～N（3，22），求（1）P{2<X≤5}；（2）P{-4<X≤10}；（3）P{｜X｜>2}；（4）P{｜X｜<3}；（5）确定c值，使P{X≥c}=P{X<c}成立。

16.测量误差X的密度函数为

求（1）测量误差的绝对值不超过30的概率；（2）进行三次独立测量，至少有一次误差绝对值不超过30的概率是多少？（3）进行三次独立测量，恰有一次误差绝对值不超过30的概率是多少？

17.设中国男人身高X～N（170，62），问公共汽车门高度至少为多少才能保证99.87％的人不碰头？（单位：cm）

18.设x>0，则对于随机变量X，应等于什么？

19.一个口袋中装有四个球，标号分别为1，2，2，3，从中先后任取两个球，第一次、第二次取出球的标号分别为X，Y，试就放回抽样与不放回抽样两种情形分别求出（X，Y）的联合分布律、边缘分布律、条件分布律P{Y=k｜X=2}。

20.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7，今各投一次，投中与否是相互独立的。X，Y分别表示甲、乙投中次数。求（1）（X，Y）的联合分布律；（2）P{X=Y}；（3）P{X>Y}。

21.设X，Y相互独立，它们均服从区间［0，b］上的均匀分布，试求方程x2+Xx+Y=0有实根的概率。

22.（蒲丰投针问题）横格稿纸相邻横线距为l，针长为a（a<l），任意将针投在稿纸上，试用均匀分布求针与横线相交的概率。

提示：设针中心与最近横格线距离为X，针与横线夹角为Φ，X，Φ均为随机变量，（X，Φ）服从区域G={（x，φ）｜0≤x≤l/2，0≤φ≤π}上的均匀分布，针与横线相交条件：。

23.设（X，Y）服从区域D上的均匀分布，D是由y=x+1，x轴，y轴围成的区域，求（X，Y）的联合分布函数；边缘密度函数；*条件密度函数；并判定X，Y是否独立？

24.将一枚均匀硬币抛掷三次，以X表示出现正面次数，Y表示出现正面次数与反面次数差的绝对值。求（X，Y）的联合分布律，边缘分布律。

25.设（X，Y）的分布函数为

求常数A，B，C及（X，Y）的密度函数。

26.设（X，Y）在区域D={（x，y）｜0<x<1，-x<y<x}内服从均匀分布，求（1）边缘分布；*（2）条件分布；（3）。

27.设（X，Y）服从二维正态分布，其联合密度函数为（-∞<x<+∞，-∞<y<+∞），求P{X<Y}。

28.一整数n等可能地取1，2，…，10十个数值，设d=d（n）是能整除n的正整数个数，F=F（n）是能整除n的素数（1不含在内）个数。试写出d和F的联合分布律、边缘分布律及P{F=y｜d=2}。

29.已知（X，Y）的联合分布律为

问当a，b为何值时，X与Y独立？并求出边缘分布律。

30.设（X，Y）在单位圆内服从均匀分布，试问X与Y是否独立？*并求其条件分布。

31.设（X，Y）的密度函数为

（1）求常数c；（2）证明X与Y相互独立。

32.设（X，Y）在区域D内服从均匀分布，D由曲线y=1/x，直线y=0，x=1，x=e2所围成，求（X，Y）关于X的边缘密度在x=2处的值。

33.设（X，Y）的联合分布律为

求（1）边缘分布律；*（2）条件分布律；*（3）当X=20时，Y的条件分布律。

34.设X的分布律为

求（1）Y=1-X的分布律；（2）Y=X2的分布律。

35.设X的密度函数为

求（1）Y=1-X的密度函数；（2）Y=X2的密度函数。

36.设X在区间（0，1）内服从均匀分布，求（1）Y=eX的密度函数；（2）Y=-2lnX的密度函数。

37.设X～N（0，1），求（1）Y=eX的密度函数；（2）Y=｜X｜的密度函数。

38.设X的密度函数为

求Y=X2的密度函数。

39.设X的密度函数为

求Y=sinX的密度函数。

40.设（X，Y）的联合密度函数为

求Z=X+Y的密度函数。

41.设X～N（μ，σ2），Y服从（-π，π）内的均匀分布，且X，Y独立，求Z=X+Y的密度函数。

42.设X，Y相互独立，其密度函数分别为

求Z=X-Y的密度函数。

43.设X，Y相互独立，分别服从参数为λ1，λ2的泊松分布，求Z=X+Y的分布律。

44.设X，Y相互独立，X～B（n1，p），Y～B（n2，p），求Z=X+Y的分布律。

45.设X与Y相互独立，其密度函数均为

求的密度函数。

46.设X与Y相互独立，且服从同一分布，其密度函数为

求Z=X/Y的密度函数。

47.设X与Y相互独立且服从同一分布，其分布律为P{X=k}=pk（1-p）1-k（k=0，1），求（1）Z=max（X，Y）的分布律；（2）Z=min（X，Y）的分布律。

48.设X1，X2相互独立，且服从同一分布，其分布律为P{Xi=k}=1/3（k=1，2，3；i=1，2）。设X=max（X1，X2）；Y=min（X1，X2）。求（X，Y）的联合分布律。

49.设X，Y相互独立，，，试证：aX+bY～N（aμ1+bμ2，a2σ2+b2σ2）（a，b不全为0）。

50.已知X，Y相互独立，且均服从同一分布，其分布律为P{X=k}=pk（1-p）1-k（k=0，1；　0<p<1），问Z=2X的分布律与Z=X+Y的分布律是否相同？为什么？