第二节　概率的定义

根据随机事件的定义，我们知道，一个随机事件在一次试验中可能发生，也可能不发生，在试验之前是无法预测的.然而，如果在相同的条件下进行大量的试验，又会呈现出一定的规律，即有的事件发生的可能性大，有的事件发生的可能性小，那么用什么描述某一随机事件发生的可能性大小呢？那就是概率.

概率的定义：随机事件A发生的可能性大小的度量（数值）叫做随机事件A发生的概率，记作P（A）.

一、频率与概率

［定义1］　设在相同条件下重复进行n次试验，其中事件A发生的次数为rn（A），称rn（A）为事件A发生的频数，而事件A发生的频率定义为.

显而易见，对任一事件A的频率有如下性质：

（1）0≤fn（A）≤1，fn（Ø）=0，fn（Ω）=1.

（2）设A1，A2，…，An是两两互不相容事件，则fn（A1∪A2∪…∪An）=fn（A1）+fn（A2）+…+fn（An）

以上性质可用频率定义验证.

【例1-2-1】　为考察某种水稻的发芽率，分别选取5粒、15粒、50粒、100粒、200粒、400粒、600粒在相同条件下进行发芽试验，得到的统计结果列入表1-2-1中.

这里我们把观察一粒种子看作是一次试验，将“种子发芽”看作是事件A.由表1-2-1可以看到，在15次随机试验中，事件A发生13次，因此有

f15（A）=0.867

同理有f200（A）=0.900，f600（A）=0.902等.

仔细观察表1-2-1就会发现，当n取不同值时，fn（A）不尽相同.但当n比较大时，fn（A）在0.9这个固定数值附近摆动.因此，我们可以认为0.9反映了事件“种子发芽”发生的可能性大小.

经验表明，当试验在相同条件下进行多次时，事件A出现的频率具有一定的稳定性，即事件A发生的频率在一个固定的数值p附近摆动（例1-2-1中p=0.9），而且这种稳定性随着试验次数的增加而愈加明显.频率的这种性质在概率论中称为频率的稳定性.频率具有稳定性的事实说明了刻画随机事件A发生的可能性大小的数即概率的客观存在性.上述的数值p可以用来度量事件A发生的可能性大小，因此，可以把p规定为事件A发生的概率.

［定义2］　在一组不变的条件下，重复进行n次试验.当n充分大时，若随机事件A出现的频率稳定地在某一个固定的数值p的附近摆动，则称p为随机事件A的概率，记作P（A），且P（A）=p.

这个定义称为概率的统计定义，根据这一定义，在实际应用时，往往可用试验次数足够大时的频率来估计概率的大小，且随着试验次数的增加，估计的精度会越来越高.

学生可用抛质地均匀的硬币试验验证P（正面向上）=0.5，与由古典定义得到的结果完全相符.

由定义不难得到对任一事件A，有

0≤P（A）≤1，P（Ø）=0，P（Ω）=1

根据概率的统计定义，当试验次数n足够大时，可以用事件A发生的频率近似地代替A的概率.即

P（A）≈fn（A）

【例1-2-2】　为了估计鱼池中鱼的尾数，先从池中捞出50条鱼标上记号后放回鱼池，经过适当的时间，让其充分混合，再从鱼池中顺次捞出60条鱼（每次取出后都放回），发现有两条标有记号，问鱼池中大约有多少条鱼？

解：设鱼池中共有n条鱼，A=“从池中捉出一条有记号的鱼”，由古典定义，A发生的概率

从池中顺次有放回地捞取60条鱼，可以看成是60次重复试验，随机事件A发生了两次，即

它应与P（A）近似相等，于是

从而得

n≈1500

即池中大约有1500条鱼.

二、概率的公理化定义

［定义3］　设E是随机试验，Ω是它的样本空间，对于E的每一个事件A赋予一个实数，记为P（A），若P（A）满足下列三个条件：

①非负性：对每一个事件A，有P（A）≥0；

②完备性：P（Ω）=1；

③可列可加性：设A1，A2，…，是两两互不相容事件，则有，则称P（A）为事件A的概率.

三、概率的性质

由概率的公理化定义，可推出概率的一些重要性质.

①对任一事件A，有0≤P（A）≤1；

②必然事件的概率等于1，即P（Ω）=1；不可能事件的概率等于零，即P（Ø）=0；

注：不可能事件的概率等于零，但反之不然.

③设A、B互不相容，则有P（A+B）=P（A）+P（B）.

④对任意两个事件A、B，有P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）

在性质④中，当AB=Ø时，有P（AB）=0，于是得P（A+B）=P（A）+P（B），即性质③是性质④的特殊情况.

对任意三个事件A、B、C，有

P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（BC）-P（AC）+P（ABC）

特别地，若A1，A2，…，An为完备事件组，则

P（A1∪A2∪…∪An）=P（A1）+P（A2）+…+P（An）=1

⑤

证明　设是A的逆事件，则，.

则由性质③，有

　　 从而得 　　

⑥P（A-B）=P（A）-P（AB）

特别的，若B⊂A，则，P（A-B）=P（A）-P（B），且P（A）≥P（B）.

【例1-2-3】　考察甲、乙两个城市6月份的降雨情况，已知甲城出现雨天的概率是0.3，乙城出现雨天的概率是0.4，甲、乙两城至少有一个出现雨天的概率是0.52.试计算甲、乙两城市同时出现雨天的概率.

解：设A=“甲城出现雨天”，B=“乙城出现雨天”，则A∪B表示“甲、乙两城至少有一个出现雨天”，AB表示“甲、乙两城同时出现雨天”.由已知有

P（A）=0.3，P（B）=0.4，P（A∪B）=0.52

故由加法公式得

P（AB）=P（A）+P（B）-P（A∪B）=0.3+0.4-0.52=0.18

【例1-2-4】　已知，，P（B）=0.4，求：

①P（AB）；

②P（A-B）；

③P（A∪B）；

④

解：①因为，且AB与是互不相容的，故有

于是 　　

②

P（A-B）=P（A）-P（AB）=0.5-0.2=0.3

③P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（AB）=0.5+0.4-0.2=0.7

④