第三节　连续型随机变量及其分布

一、连续型随机变量

［定义1］　若对于随机变量X的分布函数F（x），存在非负可积函数f（x），使得对于任意实数x，有

　　 （2-3-1） 　　

则称X为连续型随机变量，称f（x）为X的概率密度函数，简称为概率密度或密度函数，记为X～f（x）.概率密度函数的图形称为X的密度曲线.

根据定义可知概率密度具有以下性质：

①f（x）≥0；

②.

反之，若一个函数满足上述性质，则该函数可以作为某个连续型随机变量的概率密度函数.

连续型随机变量分布函数有以下性质.

①对于一个连续型随机变量X，若已知它的概率密度f（x），根据定义可以求得分布函数F（x），同时可以通过密度函数的积分来求X落在任何区间上的概率，即

　　 （2-3-2） 　　

②连续型随机变量X取任一指定值a（a∈R）的概率为0，因为

因此，对连续型随机变量X，有

P{a<X≤b}=P{a≤X<b}=P{a<X<b}=P{a≤X≤b}

由此性质可见，连续型随机变量X取任意值a的概率为0，这说明概率为零的事件不一定是不可能事件.同样，概率为1的事件也不一定是必然事件.

③若f（x）在x处连续，则有

F'（x）=f（x）　　（2-3-3）

【例2-3-1】　设随机变量X的概率密度为

（1）求系数c；

（2）求X的分布函数；

（3）求P{2<X≤3.5}.

解：（1）根据概率密度的性质有

解得，因此，密度函数为

（2）当x<0时，；

当0≤x<3时，；

当3≤x≤4时，；

当x>4时，

因此

（3）.

【例2-3-2】　设随机变量X的分布函数为

（1）求概率P{0.3<X<0.7};

（2）X的概率密度.

解：（1）P{0.3<X<0.7}=F（0.7）-F（0.3）=0.4；

（2）X的概率密度为

二、几种常用的连续分布

1.均匀分布

［定义2］　若连续型随机变量X的概率密度为

称X服从区间［a，b］上的均匀分布，记作X～U［a，b］.

由定义可知：（1）f（x）≥0；（2）.

均匀分布的分布函数为

对于任意的x1，x2∈［a，b］（x1<x2），有

这表明均匀分布的随机变量X落入［a，b］任意子区间的概率与该子区间的长度成正比，而与子区间的位置无关.

【例2-3-3】　某城市每天有两班开往某旅游景点的列车，发车时间分别为早上7点30分和8点，设一游客到达车站的时刻均匀分布于早上7～8点之间，求此游客候车时间不超过20分钟的概率.

解：设游客到达车站的时间为7点过X分，则X～U［0，60］，因此X的概率密度为

游客只有在7：10～7：30之间或7：40～8：00之间到达车站，候车时间不超过20分钟，因此所求概率为

2.指数分布

［定义3］　若连续型随机变量X的概率密度为

其中λ>0为常数，则称X服从参数为λ的指数分布，记作X～e（λ）.

指数分布的分布函数为

指数分布常用来描述各种“寿命”，如电子元器件的寿命、动物寿命、随机服务系统中的等候时间都服从指数分布.指数分布在可靠性理论和排队轮中有广泛的应用.

【例2-3-4】　设某电子元器件的寿命X（单位：小时）服从参数为的指数分布.

（1）求该元器件在使用800小时后仍没有坏的概率；

（2）求在该元件已经使用了600小时未坏的条件下，它还可以再使用800小时的概率.

解：（1）元器件的寿命X的分布函数为

因此

（2）

上例（2）中的计算结果表明：P{X>1400│X>600}=P{X>800}，即在元件使用了600小时未坏的条件下，可以再继续使用800小时的概率，等于它从启用起使用800小时不坏的无条件概率，这种性质称为指数分布的“无记忆性”，相当于说，元器件对已使用过的600小时没有记忆，不影响它以后使用寿命的统计规律.

3.正态分布

［定义4］　若连续型随机变量X的概率密度为

其中μ、σ均为常数，且σ>0，则称X服从参数为μ、σ2的正态分布，记作X～N（μ，σ2）.

正态分布的概率密度具有以下性质：

①概率密度的图形关于直线x=μ对称，当x=μ时，f（x）达到最大值：；

②概率密度曲线在x=μ±σ处对应有拐点；

③概率密度曲线以x轴为水平渐近线.

正态分布的密度曲线也称作正态曲线，它是一条钟形曲线：中间高、两边低、左右对称.从图2-3-1、图2-3-2中可以看出，参数μ确定了正态曲线的位置，而σ的大小决定了曲线的陡峭程度.

正态分布是概率论与数理统计中最重要的分布，很多随机现象可以用正态分布描述或近似描述，例如：

①测量时产生的误差ε是随机变量，时大时小，时正时负，但是误差大的可能性小，误差小的可能性大，正负误差出现的机会相同，这个特点与正态曲线“中间高、两边低、左右对称”是吻合的，因此测量误差服从正态分布；

②自动包装流水线上生产的罐头重量服从正态分布；

③同年龄人的身高与体重分别都服从正态分布；

④某个地区的年降雨量（单位：毫米）服从正态分布；

⑤超市在一周内售出的鸡蛋的总重量服从正态分布.

正态分布的分布函数为

在正态分布中，当参数μ=0、σ=1时称为标准正态分布，记作X～N（0，1），此时密度函数

分布函数

此时正态曲线见图2-3-3.

x≥0时，标准正态分布的分布函数值Φ（x）由标准正态分布表（附表2）可查，由此来计算正态分布的概率，根据标准正态曲线的对称性，可知，当x<0时

Φ（x）=1-Φ（-x）　　（2-3-4）

若X～N（0，1），则

①P{X≤x}=Φ（x）

②P{X>x}=1-Φ（x）

③P{x1<X≤x2}=Φ（x2）-Φ（x1）

④P{｜X｜≤x}=2Φ（x）-1，（x≥0）

【例2-3-5】　设X～N（0，1），求P{X≤-1.25}及P{-1.5<X<2.3}.

解：由附表2可查得Φ（1.25）=0.8944，于是

P{X≤-1.25}=Φ（-1.25）=1-Φ（1.25）=1-0.8944=0.1056

　　P{-1.5<X<2.3}=Φ（2.3）-Φ（-1.5）=Φ（2.3）-［1-Φ（1.5）］

　　　　　　　　　=0.9893+0.9332-1=0.9225

任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.

定理　设X～N（μ，σ2），则.

证明　的分布函数

令，上式等于

即

P{Y≤x}=Φ（x）

因此 　　

设X～N（μ，σ2），则X的分布函数

　　 （2-3-5） 　　

若X～N（μ，σ2），则

（1）

（2）

（3）

【例2-3-6】　设X～N（8，0.52），求P{｜X-8｜≤1}及P{X<10}.

　　解：　　

【例2-3-7】　设X～N（μ，σ2），求：

（1）P{μ-σ<X<μ+σ}，

（2）P{μ-2σ<X<μ+2σ}

（3）P{μ-3σ<X<μ+3σ}

解：（1）

（2）

（3）

由此看出：X的取值大部分落在区间（μ-σ，μ+σ）内，基本上落在区间（μ-2σ，μ+2σ）内，几乎全部落在区间（μ-3σ，μ+3σ）内，落在以μ为中心、3σ为半径的区间外的概率不到0.003.

从理论上讲，服从正态分布的随机变量X的取值范围是（-∞，+∞），但实际上X取区间（μ-3σ，μ+3σ）外的数值的可能性微乎其微.因此，往往认为它的取值是个有限区间，即区间（μ-3σ，μ+3σ），即实用中的三倍标准差规则，也叫3σ规则.在企业管理中，经常应用这个规则进行质量检查和工艺过程控制.

【例2-3-8】　某厂生产罐装咖啡，每罐标准重量为1千克，长期生产实践表明自动包装机包装的每罐咖啡的重量X服从参数σ=0.1千克的正态分布.为了使重量少于1千克的罐头数不超过10％，应把自动包装线控制的平均值μ调节到什么位置上？

解：X～N（μ，0.12），若把自动包装线控制的在μ值调节到1千克位置，则有：

即重量少于1千克的罐头占全部罐头数的50％，这显然不符合要求.所以应该把自动包装线控制的μ值调节到比1千克大一些的位置，使得

查附表2可得Φ（1.29）=0.90147>0.9，得μ=1+0.1×1.29=1.129.

即将包装控制的平均值μ调节到1.129处，可使得少于1千克的罐头数不超过10％（见图2-3-4、图2-3-5）.