第二节　离散型随机变量

一、离散型随机变量的概率分布

［定义1］　设离散型随机变量X所有可能的取值为x1，x2，…，xk，…，称

P{X=xk}=pk　（k=1，2，3，…）

为X的概率分布或分布律.

常用表格的形式来表示分布律：

根据概率分布的定义，pk（k=1，2，3，…，）必然满足：

①pk≥0，（k=1，2，3，…）

②

由分布函数的定义F（x）=P{X≤x}，离散型随机变量X的分布函数为

　　 （2-2-1） 　　

【例2-2-1】　消费者协会收到大量顾客来信，投诉他们购买的空调器的质量问题，消费者协会对数据进行整理后给出空调器重要缺陷数X的概率分布：

其中这些概率都是用统计方法确定的，其和为1.从概率可以看出，多数空调器的缺陷数在1和5之间，而超过6个缺陷的空调器是较少的，用此概率分布可以计算出下列事件的概率：

P{1≤X≤5}=P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}+P{X=4}+P{X=5}=0.895

P{X>6}=P{X=7}+P{X=8}+P{X=9}+P{X=10}=0.044

【例2-2-2】　设盒子中有5个球，其中2个白球、3个黑球，先从中任意取出3个球，求取到白球数X的概率分布.

解：X的可能取值为0，1，2，则

即

【例2-2-3】　设X的概率分布为

求X的分布函数.

解：分布函数F（x）=P{X≤x}

当x<-1时，F（x）=P{X≤x}=0

当-1≤x<1时，F（x）=P{X≤x}=P{X=-1}=0.2

当1≤x<2时，F（x）=P{X≤x}=P{X=-1}+P{X=1}=0.7

当x≥2时，F（x）=P{X≤x}=P{X=-1}+P{X=1}+P{X=2}=1

因此

【例2-2-4】　下列数列能否作为一个随机变量的概率分布？

（1）（k=1，2，3，4）

（2）（k=0，1，2，3，4）

（3）pk=2-k（k=1，2，…，n）

解：数列（1）不能作为一个随机变量的概率分布，因为p3<0和p4<0.

数列（2）也不能作为一个随机变量的概率分布，因为.

数列（3）能作为一个随机变量的概率分布，因为pk>0（k=1，2，…，n）；且它们的和为1.

二、几种常用的离散型分布

1.伯努利分布（0—1分布）

［定义2］　若随机变量X的概率分布为

P{X=1}=p，P{X=0}=1-p　（0<p<1）

则称随机变量X服从伯努利分布或0—1分布.

伯努利分布的试验背景是伯努利试验，若在一次伯努利试验中，某个事件A发生的概率为p，则事件A发生的次数X服从伯努利分布，即

2.二项分布

［定义3］　若随机变量X的概率分布为

则称X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B（n，p）.

二项分布的试验背景是n重伯努利试验.在n重伯努利试验中，若一次实验中事件A发生的概率为p，则n次试验中事件A发生k次的概率为.由二项式定理可知

【例2-2-5】　某单位有4辆汽车，假设每辆车在一年内至多只发生一次损失，且各自相互独立，具有相同的损失率p=0.1，试建立该单位一年内汽车损失次数的概率分布.

解：设X表示该单位一年内汽车损失次数，n=4，p=0.1，则X～B（4，0.1），按照二项分布的定义有

即

【例2-2-6】　一批产品的废品率p=0.03，每次抽取一个产品，进行20次有放回抽样，求出现废品的频率为0.1的概率.

解：设X表示20次有放回抽样中废品出现的次数，则X～B（20，0.03）.

所求概率为

【例2-2-7】　甲、乙两棋手约定进行10盘比赛，以赢的盘数较多者胜，设在每盘中甲赢的概率为0.6，乙赢的概率为0.4，在各盘比赛相互独立的条件下，甲胜、乙胜和不分胜负的概率各是多少？

解：若用X表示10盘棋中甲赢的盘数，则X～B（10，0.6），按照约定，甲赢6盘或6盘以上即得胜，因此有

类似地分析有

因此甲胜的概率为0.6331，乙胜的概率为0.1662，甲乙不分胜负的概率为0.2007.

3.泊松（Poisson）分布

在历史上，泊松分布是作为二项分布的近似，于1837年由法国数学家泊松（Poisson）首次提出的，以后发现，很多取非负整数的离散随机变量都服从泊松分布.

［定义4］　若随机变量X的概率分布为

则称随机变量X服从参数为λ的泊松分布，记作X～P（λ）.

容易算得

泊松分布的概率值可由附表1查得.

泊松分布是常用的离散分布之一，它常与计数过程相联系，现实世界中很多随机变量都为泊松分布.例如：

①一段时间内，来到公共汽车站的候车人数；

②一段时间内，某个操作系统发生故障的次数；

③一段时间内，超市排队等候付款的顾客人数；

④一个稳定的团体内，活到100岁的人数；

⑤一匹布上，疵点的个数；

⑥100页书上，错别字的个数.

【例2-2-8】　某城市每天发生火灾的次数X服从参数λ=0.8的泊松分布，求该城市一天内发生3次或3以上火灾的概率.

解：参数λ=0.8的泊松分布的概率分布为

所求概率为

在二项分布B（n，p）中，若相对的n很大、p较小时，二项分布的概率很难计算，以下给出这种情况下二项分布概率的近似计算方法.

定理　（泊松定理）设随机变量Xn～B（n，pn），且参数n、pn满足，则对任意非负整数k，有

证略.

由以上定理可知，X～B（n，p）时，若相对的n很大、p较小时（一般n≥100，p≤0.1）时，可以用泊松分布近似计算二项分布的概率.即近似的有

X～P（λ），　　（λ=np）

即

【例2-2-9】　在500人组成的团体中，恰有k个人的生日是在元旦的概率是多少？

解：在该团体中，每个人生日恰好在元旦的概率为，则该团体中生日在元旦的人数.因此

这个概率很难计算，由泊松定理，令，则有

为了比较，对计算后与（k=0，1，2，…，6）进行对比（见表2-2-1）.

【例2-2-10】　保险公司售出某种一年期寿险保单2000份，已知此种寿险每单需交保费100元，当被保人一年内死亡时，保险公司赔付2万元.假设已知此类被保险人一年内死亡的概率均为0.002，试求：

（1）保险公司从此种寿险获利不少于10万元的概率（营业成本忽略不计，下同）；

（2）保险公司从此种寿险获利不少于18万元的概率.

解：由题可知，保险公司2000份保单的收入为20万元.设X表示一年内被保险人的死亡人数，则X～B（2000，0.002），保险公司一年的赔付为2X万元.

显然近似的有X～P（4），则

（1）

（2）

4.超几何分布

［定义5］　若随机变量X的概率分布为

其中N、M、n均为自然数，且M<N、n<N，则称随机变量X服从参数为N、M、n的超几何分布.

超几何分布的试验背景是不放回抽样.

【例2-2-11】　20个产品中有5个不合格品，若从中随机取出8个，求其中不合格品数的概率分布.

解：由题可知，N=20，M=5，n=8，则

将计算结果列表为

【例2-2-12】　设有一大批发芽率为90％的种子，现从中任取10粒，求播种后

（1）恰有8粒发芽的概率；

（2）至少有9粒发芽的概率.

解：从一大批种子任取10粒，发芽的种子数X服从超几何分布，但参数N、M均未知.由于10粒种子从一大批中取出，即N很大而n相对N很小，此时不放回抽样可近似看成有放回抽样，即超几何分布近似为二项分布，即近似的有X～B（10，0.9），因此

（1）

（2）

5.几何分布

［定义6］　在伯努利试验中，若一次试验成功的概率为p，随机变量X表示独立重复该试验直到成功为止需要的次数，则X的概率分布为

P{X=k}=（1-p）k-1p　（k=1，2，…）

称随机变量X服从参数为p的几何分布.

【例2-2-13】　若一批产品不合格率为0.01，现有放回抽样，每次一件直到抽到不合格品为止，求抽查次数X的概率分布.

解：抽查次数X服从参数为p=0.01的几何分布，其概率分布为

P{X=k}=（0.99）k-1×0.01　（k=1，2，…）