第四节　条件概率

一、条件概率的概念

引例　如果同时掷两枚质地均匀的硬币，共有四种可能的情况，于是我们可得

Ω={（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}

设A=“两个都是正面向上”，B=“至少有一个正面向上”，则由古典定义有

假如我们事先知道结果至少有一个正面向上，那么这种条件下两个都是正面向上的概率就是，记为，这就是事件B已经发生的条件下事件A发生的条件概率.它与不同，原因在于，事件B的发生改变了样本空间，由于B的发生，原基本事件（反，反）已被排除在外，新的样本空间应该是ΩB={（正，正），（正，反），（反，正）}，在这个样本空间里，事件A再发生的概率就是了.

从上例可知，条件概率P（A｜B）实质就是缩减了基本空间，把原有的基本空间Ω缩减为ΩB，在Ω中计算事件A的概率就是P（A），而在ΩB中计算事件A的概率就是P（A｜B）.

假如我们每次都用基本空间的缩减来计算条件概率，那就太麻烦了，某些场合下甚至是不可能的.为此我们在原概率空间Ω中给出条件概率的一般定义方式.

首先我们还是从古典概型入手来分析我们应该怎样定义条件概率.设Ω的基本事件总数为n，事件A、B与AB中的基本事件个数为nA，nB和nAB，则P（A｜B）可用B已经发生的条件下A发生的相对比例来表达，即P（A｜B）=nAB/nB，而

所以

在几何概型中（以平面区域情形为例），对于在平面区域S内等可能投点（见图1-4-1），若已知A发生，则B发生的概率为

可见，在古典概型与几何概型这两类“等可能”概率模型中总有

于是有条件概率的一般定义如下.

［定义］　设A、B为随机试验下的两个随机事件，且P（B）≠0，则称

为在事件B已经发生的条件下，事件A发生的条件概率.

同理，当P（A）≠0时

因为条件概率是概率，故条件概率也具有下列性质：

设A是一事件，且P（A）>0，则

①对任一事件B，0≤P（B｜A）≤1；

②P（Ω｜A）=1；

③设A1，A2，…，An互不相容，则P（A1∪A2∪…∪An｜A）=P（A1｜A）+…+P（An｜A）.此外，前面所证概率的性质都适用于条件概率.

【例1-4-1】　20个乒乓球的颜色等级如表1-4-1所示.

（1）从中任取一球，求取得一等品的概率；

（2）从黄球中任取一球，求取得一等品的概率.

解：设A=“从中任取一球为一等品”，

B=“从中任取一球为黄球”，则

（1）

（2）

如果设C=“从中任取一球为白球”，则同理得

【例1-4-2】　某种动物出生后，能活到30岁的概率是0.8，活到35岁的概率为0.4，现有一只30岁的这种动物，求它能活到35岁的概率是多少？

解：设A=“活到35岁”，B=“活到30岁”，则所求概率为P（A｜B），因A⊂B，故AB=A，又P（A）=0.4，P（B）=0.8，P（AB）=P（A）=0.4，于是

【例1-4-3】　一袋中装有10个球，其中3个黑球、7个白球，先后两次从袋中各取一球（不放回），求：

（1）已知第一次取出的是黑球，求第二次取出的仍是黑球的概率.

（2）已知第二次取出的是黑球，求第一次取出的也是黑球的概率.

解：记Ai为事件“第i次取到的是黑球”（i=1，2）

（1）在已知A1发生，即第一次取到的是黑球的条件下，第二次取球就在剩下的9个球中任取一个，根据古典概率计算取到黑球的概率为，即有

（2）在已知A2发生，即第二次取到的是黑球的条件下，求第一次取到黑球的概率.

由于第一次取球发生在第二次取球之前，故问题的结构不像（1）那么直观，我们可以利用条件概率公式计算P（A1｜A2）.

　　 由 　　

可得

二、乘法公式

由条件概率的定义可得

P（AB）=P（B）P（A｜B）　　［P（B）≠0］

或　P（AB）=P（A）P（B｜A）　　［P（A）≠0］

即两个事件乘积的概率等于其中一个事件的概率乘以该事件发生的条件下另一个事件发生的条件概率，称上式为概率的乘法公式.

乘法公式可推广到有限多个事件，如

P（A1A2A3）=P（A1）P（A2｜A1）P（A3｜A1A2）

P（A1A2…An）=P（A1）P（A2｜A1）…P（An｜A1A2…An-1），［P（An｜A1A2…An-1）>0］

【例1-4-4】　一批零件共100个，次品率为10％，顺次从这批零件中任取两个，第一次取出零件后不放回，求第二次才取到正品的概率.

解：设A=“第一次取到正品”，B=“第二次取到正品”，则要求的是.由乘法公式得

【例1-4-5】　50件商品中有3件次品，其余都是正品，现每次取1件，无放回地从中抽取3件，试求：

（1）3件商品中都是正品的概率；（2）第三次才抽到正品的概率.

解：设Ai=“第i次取到正品”，i=1，2，3，则

　　

　　

三、全概公式与贝叶斯公式

1.全概公式

在概率的计算中，要计算一个复杂的随机事件的概率，经常把该事件分解成若干互不相容的简单事件的并事件，然后利用加法公式和乘法公式分别计算这些简单事件的概率.这里全概率公式起着很重要的作用.

设随机试验的基本空间为Ω，其中A1，A2，…，An满足：

①A1∪A2∪…∪An=Ω；②A1，A2，…，An两两互不相容，即AiAj=Ø（i≠j），则称A1，A2，…，An组成Ω的一个分割（或称A1，A2，…，An是Ω的一个完备事件组）.

定理1　设随机试验的基本空间为Ω，事件组A1，A2，…，An构成Ω的一个完备事件组，且P（Ai）>0，则对任意事件B，有

　　证明　　

【例1-4-6】　某工厂有三个车间，生产同一产品，第一车间生产全部产品的，第二车间生产全部产品的，第三车间生产全部产品的，各车间的不合格品率分别是0.02、0.03和0.04，任抽一件产品，试求抽到不合格品的概率.

解：设Ai=“抽到第i个车间的产品”（i=1，2，3），B=“抽到不合格品”.

可以看出，事件A1，A2，A3是该试验的基本空间的一个分割.已知

P（B｜A1）=0.02，P（B｜A2）=0.03，P（B｜A3）=0.04

所以由全概公式有

故任取一件为不合格品的概率是0.027.

使用全概公式计算概率的关键是要找到基本空间的一个合适的分割A1，A2，…，An，这里“合适”的含义是指P（Ai）及P（B｜Ai）易于计算.从以上例子可以看出，如果要计算事件B的概率，则应考虑把所能引起B发生的各种条件（或原因）作为基本空间的一个分割.用全概公式计算概率可概括为由因导果.

【例1-4-7】　在第三节的例1-3-3中，A1和组成基本空间的一个分割，且

所以

可见每个人中奖的概率都是，与抽奖的顺序无关.当然，若已知第一个人中奖，则第二人中奖的概率就是，这是条件概率问题.

【例1-4-8】　有三个袋子，1号装有2红1黑共三个球，2号装有3红1黑共4个球，3号装有2红2黑4个球.某人从中任取一袋，再从中任取一球，求取得红球的概率.

解：记Ai={球取自i号袋}，i=1，2，3；B={取得红球}.

A1，A2，A3是样本空间的一个完备事件组，由全概公式得

依题意得

代入数据计算得

P（B）≈0.639

2.贝叶斯公式

利用全概公式可通过综合分析一事件发生的不同原因或情况及其可能性求得该事件发生的概率.下面给出的贝叶斯公式则考虑与之完全相反的问题，即一事件已经发生，要考察引发该事件发生的各种原因或情况的可能性大小.

引例　在例1-4-8中，某人从三箱中任取一袋，再从中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自1号袋的概率.

解：仍然用例1-4-8的记号，要求P（B1｜A），由全概公式得

代入数据得　　P（B1｜A）≈0.348

这一类问题是“已知结果求原因”在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，探求各原因发生可能性大小.接下来我们介绍为解决这类问题而引出的贝叶斯公式.

该公式于1763年由贝叶斯（Bayes）给出，它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致事件B发生的每个原因的概率.

定理2　设A1，A2，…，An是一完备事件组，则对任一事件B，P（B）>0，有

上述公式称为贝叶斯公式.

【例1-4-9】　某一地区患有癌症的人占0.005，癌症患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大？

解：设B={试验结果是阳性}，A={抽查的人患有癌症}，

则由已知得

则所求为P（A｜B）.

由贝叶斯公式，可得

代入数据计算得　P（A｜B）=0.1066