1.3　行列式按行（列）展开

一般说来，低阶行列式的计算要比高阶行列式的计算简单，因此，计算中常考虑把阶数较高的行列式化为阶数较低的行列式.为此，先给出余子式和代数余子式的概念.

定义5　在n阶行列式det（aij）中划掉元素aij所在的第i行和第j列后，留下的元素按原来的位置构成的n-1阶行列式，称为元素aij的余子式，记为Mij.又记Aij=（-1）i+jMij，称Aij为元素aij的代数余子式.

例如，对于四阶行列式，元素a32的余子式是.代数余子式是A32=（-1）3+2M32=-M32.

定理2　n阶行列式det（aij）等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和.即

D=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin（i=1，2…n），

或　　　D=a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj（j=1，2…n）.

证明　首先讨论D的第一行元素除a11外，其余元素为零的情况，即

根据1.1节中例4的结论，有

D=a11M11，A11=M11，所以D=a11A11.

其次讨论D的第i行元素除aij外，其余元素均为零的情况，即

将D的第i行依次与第i-1、…第2、第1行作i-1次相邻交换，调到第1行，再将第j列依次与第j-1、…第2、第1列作j-1次相邻交换，调到第1列，共经过i+j-2次交换，再利用上面的结果得D=（-1）i+jaijMij=aijAij.

最后讨论一般情况

类似地，若按列证明，可得

D=a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj　　（j=1，2…n）.

这个定理叫做行列式按行（列）展开法则，利用此法则结合前面行列式的性质，特别是1.2节中性质6可把高阶行列式进行降阶简化计算.

例10　计算行列式.

　　解　　

定理3　行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.即

ai1Aj1+ai2Aj2+…+ainAjn=0，　i≠j，

或　　　　a1iA1j+a2iA2j+…+aniAnj=0，　i≠j.

证明　把行列式D=det（aij）按第j行展开，有

在上式的两端将D的第j行换成第i行的元素，即令ajk=aik，可得

当i≠j时，上式右端行列式有两行对应元素相同，故行列式等于零，即得

ai1Aj1+ai2Aj2+…+ainAjn=0（i≠j）.

上述证明如按列进行可得

a1iA1j+a2iA2j+…+aniAnj=0（i≠j）.

综合上述两个定理，得到有关于代数余子式的重要性质：

　　 或

仿照上面证法，用b1，b2，…，bn依次代替ai1，ai2，…，ain，可得

例11　设，求A11+A12+A13+A14及M11+M21+M31+M41.

　　解　　

例12　证明范德蒙德（Vandermonde）行列式

　　 （1） 　　

其中记号“Π”表示全体同类因子的乘积.

证明　用数学归纳法.因为

所以当n=2时（1）式成立.现在假设（1）式对于n-1阶范德蒙德行列式成立，要证（1）式对n阶范德蒙德行列式也成立.

为此，把Dn降阶：从第n行开始，后行减前行的x1倍，有

按第1列展开，并把每列的公因子xi-x1提出，就有

上式右端的行列式是n-1阶的范德蒙德行列式，按归纳法假设，它等于所有xi-xj因子的乘积，其中n≥i>j≥2，故

例13　计算行列式.

解　行列式D转置之后是范德蒙德行列式，故有

例14　计算n阶行列式

解　把Dn按第一列展开，得

依此作递推公式，即得

而，代入上式，得