二、数的运算

1．加法

（1）加法的意义

把两个数合并成一个数的运算叫作加法。

在加法里，相加的数叫作加数，加得的结果叫作和。如a+b=c中，a和b叫作加数，c叫作和。

（2）加法算式中各部分之间的关系

一个加数+另一个加数=和

一个加数=和－另一个加数

（3）加法的计算法则

①整数加法。相同数位对齐，从个位加起，哪一位上的数字相加满十，则向前一位进一。

②小数加法。相同数位对齐（即小数点对齐），再按照整数加法的法则计算。和的小数点要和加数的小数点对齐。

③分数加法。同分母分数相加，分母不变，分子相加；异分母分数相加，先通分，再按照同分母分数相加的法则计算；结果能约分的要约成最简分数。

（4）加法的运算定律

①加法交换律。两个数相加，交换加数的位置，和不变。用字母表示为a+b=b+a。

②加法结合律。三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。用字母表示为（a+b）+c=a+（b+c）。

（5）加法的验算

①用加法验算。利用加法交换律，把加数交换位置，再加一次，如果两次计算的结果相同，就说明计算是正确的。

②用减法验算。用第一次计算所得的和，减去其中一个加数，如果得到的结果与另一个加数相同，就说明计算是正确的。

（6）和的变化规律

①如果一个加数增加（或减少）一个数，另一个加数不变，那么它们的和也增加（或减少）同一个数。

用字母表示为a+b=c，则（a+m）+b=c+m，a+（b-m）=c-m。

②如果一个加数增加一个数，另一个加数减少同一个数，那么它们的和不变。

用字母表示为a+b=c，则（a+m）+（b-m）=c。

③如果一个加数增加（或减少）一个数，另一个加数也增加（或减少）一个数，那么它们的和就增加（或减少）这两个数的和。

用字母表示为a+b=c，则（a+m）+（b+n）=c+（m+n），（a-m）+（b-n）=c－（m+n）。

1）用凑整法做加法

方法：

（1）在两个加数中选择一个数，加上或减去一个数，使它变成一个末尾是0的数。

（2）同时在另一个数中相应地减去或加上这个数。

口诀：一边加，一边减。

例子：计算2991+1452=_______。

解：2991差9到3000

则有：

2991+1452=（2991+9）+（1452-9）=3000+1443=4443

所以，2991+1452=4443。

注意：两个加数要一边加，一边减，才能保证结果不变。

2）用补数法做加法

若两数之和是10、100、1000、…、10n（n是正整数），那么这两个数就互为补数。例如，4和6、88和12、455和545等就互为补数。而广义上来讲，假定M为模，若数a和b满足a+b=M，则称a、b互为补数。也就是说，补数是一个数为了成为某个标准数而需要加的数。在数学速算中，一般经常会用到的有两种补数：一种是与其相加得该位上最大数（9）的数，称为9的补数；另一种是与其相加能进到下一位的数，称为10的补数。

补数法是从凑整法发展出来的，也算作是凑整法的一种特例。

方法：

（1）在两个加数中选择一个数，写成整十数或者整百数减去一个补数的形式。

（2）将整十数或者整百数与另一个加数相加。

（3）减去补数即可。

口诀：加大减差。

例子：计算89+53=_______。

解：89的补数为11，

则有：

89+53=(100-11)+53=100+53-11=153-11=142

所以，89+53=142。

注意：

（1）这种方法适用于其中一个加数加上一个比较小的、容易计算的补数后可以变为整十数或者整百数的题目。

（2）做加法一般用的是与其相加能进到下一位的补数。而另外一种补数，也就是与其相加能够得到该位上最大数的补数，以后我们会学习到。

3）用基准数法做连加法

基准数就是选一个数作为标准，方便其他的数和它比较。通常选取一组数据中最大值和最小值中间的某个比较整的数。

基准数法多用于一组比较接近的数的求和或求平均值，也可用于接近整十整百的数的乘法和乘方的速算。

基准数法用于求和的基本公式如下。

（1）和=基准数×个数+浮动值。

（2）平均数=基准数+浮动值÷个数。

许多数相加，尤其是在统计数据时，如果这些数都接近一个数，我们可以把这个数确定为一个基准数，以这个数为“代表”，乘以相加的个数，再将其他的数与这个数比较，加上多出的部分，减去不足的部分。这样就可以使计算过程大大地简便。

方法：

（1）观察各个加数，从中选择一个适当的中间数作为基准数。

（2）通过对各个加数的“割”“补”，变成基准数加上或减去一个很小的数的形式，采用“以乘代加”和化大数为小数的方法进行速算。

例子：计算87+98+86+97+90+88+99+93+91+87=_______。

解：

原式=90×10-3+8-4+7-2+9+3+1-3=90×10+16=916

所以，87+98+86+97+90+88+99+93+91+87=916。

4）用拆分法做加法（1）

数的拆分是解决一些分段数学问题的有效方法，一般可以把一个数拆分成几个数的和或者积的形式。我们可以根据数字的性质，尤其是整除特性和尾数规律，运用我们学过的运算定律，有目的地对数字进行快速拆分，以达到比采用常规的列方程、十字交叉和代入排除等方法省时省力的目的。数的拆分和转化可以将数量的间接联系转化为直接联系，进而能够利用已知条件进行直接的比较和计算。

例如，计算10634×4321+5317×1358。

此题如果直接乘之后相加，数字较大，而且非常容易出错。如果将10634变为5317×2，规律就出现了。

10634×4321+5317×1358=5317×2×4321+5317×1358=5317×8642+5317×1358=5317×(8642+1358)=5317×10000=53170000

提取公因式是运用拆分法的典型例子。提取公因式进行简化计算是一个最基本的四则运算方法，但一定要注意提取公因式时公因式的选择。

例如，计算999999×777778+333333×666666。

方法1：

原式=333333×3×777778+333333×666666=333333×（3×777778+666666）=333333×（2333334+666666）=333333×3000000=999999000000

方法2：

原式=999999×777778+333333×3×222222=999999×777778+999999×222222=999999×（777778+222222）=999999×1000000=999999000000

方法1和方法2在公因式的选择上有所不同，导致计算的简便程度不相同。

我们在做加法的时候，一般都是从右往左计算，这样方便进位。而在印度，他们都是从左往右算的。因为我们写数字的时候是从左往右写的，所以从左往右算会大大提高计算速度。这也是印度人计算速度比我们快的主要原因。从左到右计算加法就需要对数字进行拆分。

方法：

（1）我们以第二个加数为三位数为例。先用第一个加数加上第二个加数的整百数。

（2）用第（1）步的结果加上第二个加数的整十数。

（3）用第（2）步的结果加上第二个加数的个位数即可。

例子：计算756+829=_______。

解：756+800=1556

1556+20=1576

1576+9=1585

所以，756+829=1585。

注意：这种方法其实就是把第二个加数拆分成容易计算的数分别相加。

5）用拆分法做加法（2）

上面的方法中我们把一个加数进行了拆分，下面我们来学习如何把两个加数同时进行拆分。下面以三位数加法作为示例：如果两个加数都是三位数，那么可以把它们分别分解成百位、十位和个位三部分，然后分别进行计算，最后相加。

方法：

（1）把两个加数的百位数字相加。

（2）把两个加数的十位数字相加。

（3）把两个加数的个位数字相加。

（4）把前三步的结果相加，注意进位。

口诀：百加百，十加十，个加个。

例子：计算328+321=_______。

解：首先计算300+300=600，

再计算20+20=40，

再计算8+1=9，

结果就是600+40+9=649。

所以，328+321=649。

注意：这种方法还可以做多位数加多位数，而且并不一定需要两个加数的位数相等。

6）用分组法求连续数的和

分组法，是根据算式中数字的特征以及计算规律，把可以凑整或者可以提取公因式的若干项归为一组，可以快速而简便地计算出题目的结果。

一般能用分组法来计算的题目都会有四项或六项或大于六项，一般四项的分组分解有两种形式：2+2分法，3+1分法。

2+2分法：

ax+ay+bx+by=(ax+ay)+(bx+by)=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y)

我们把ax和ay分一组，bx和by分一组，利用乘法分配律，两两相配。同样，这道题也可以用另外一种方式来分组。

ax+ay+bx+by=(ax+bx)+(ay+by)=x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+y)

3+1分法：

2xy-x2+1-y2=1－(x2-2xy+y2)=1－(x-y)2=(1+x-y)(1-x+y)

一些看起来很难计算的题目，采用分组法，往往可以使它很快地解答出来。

求连续数的和最简单的办法就是运用分组法。所谓连续数就是有一定顺序和规律的序贯数字，比如1、2、3、4、5、…

方法：

（1）把首尾两个数相加。

（2）把第（1）步的结果除以2。

（3）再乘上这些数字的个数［（2）、（3）两步可以调换顺序］。

原理：著名的德国数学家高斯小时候就做过的“百数求和”的问题，即求1+2+3+…+99+100=_______。

方法其实很简单，只要进行分组即可。

1和100一组；2和99一组；

3和98一组；4和97一组；

……

这样一共可以分成100÷2=50（组），而每组都是1+100=101。

所以，1+2+3+4+…+99+100=（1+100）×100÷2=5050。

这种算法的思路，见于书籍中最早的是我国古代的《张丘建算经》。张丘建利用这一思路巧妙地解答了“有女不善织”这一名题。

“今有女子不善织，日减功，迟。初日织五尺，末日织一尺，今三十日织讫。问织几何？”

题目的意思是有位妇女不善于织布，她每天织的布都比上一天减少一些，并且减少的数量都相等。她第一天织了5尺布，最后一天织了1尺，一共织了30天。问她一共织了多少布？

张丘建在《张丘建算经》上给出的解法：“并初末日织尺数，半之，余以乘织讫日数，即得。”“答曰：二匹一丈。”

这一解法，用现代的算式表达，就是：（5尺+1尺）÷2×30天=90尺。

因为古代算法为1匹=4丈，1丈=10尺，所以，90尺=9丈=2匹1丈。

这道题的解题思路为如果把这妇女从第一天直到第30天所织的布都加起来，算式应该是5+…+1。在这一算式中，每一个往后加的加数，都会比它前一个紧挨着它的加数递减一个相同的数，而这一递减的数不会是个整数。若把这个式子反过来，则算式便是1+…+5，此时，每一个往后的加数，就都会比它前一个紧挨着它的加数递增一个相同的数。同样，这一递增的相同的数，也不是一个整数，而且这个递增的数与上一个递减的数是相同的。

假如把上面这两个式子相加，并在相加时利用“对应的数相加和会相等”这一特点，那么，就会出现下面的式子。

共计30个6。

所以，这个妇女30天织的布是6×30÷2=90（尺）。

例子：计算1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=_______。

解：1+10=11

11÷2=5.5

5.5×10=55

所以，1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55。

扩展阅读

等差数列

在一列数中，任意相邻两个数的差是一定的，这样的一列数就叫作等差数列。

（1）基本概念

首项：等差数列的第一个数，一般用a1表示。

项数：等差数列的所有数的个数，一般用n表示。

公差：数列中任意相邻两个数的差，一般用d表示。

通项：表示数列中每一个数的公式，一般用an表示。

数列的和：这一数列全部数字的和，一般用Sn表示。

（2）基本思路

等差数列中涉及五个量：a1、an、d、n、Sn，通项公式中涉及四个量，如果已知其中三个，就可求出第四个；求和公式中涉及四个量，如果已知其中三个，就可以求出第四个。

（3）基本公式

通项公式：an=a1+（n-1）d

即an等于“首项+（项数－1）×公差”。

数列和公式：Sn=（a1+an）n/2

即Sn等于“（首项+末项）×项数／2”。

项数公式：n=（an-a1）／d+1

即n等于“（末项－首项）／公差+1”。

公差公式：d=（an-a1）／（n-1）

即d等于“（末项－首项）／（项数－1）”。

所以，关键问题就是确定已知量和未知量，进而确定该使用什么公式。

（4）性质

①等差数列的平均值等于正中间的那个数（奇数个数）或者正中间那两个数的平均值（偶数个数）。

②任意角标差值相等的两个数之差都相等，即An+i-An=Am+i-Am。

（5）一些常见等差数列的和

自然数和：1+2+3+…+n=n（n+1）／2

奇数和：1+3+5+…+（2n-1）=n2

偶数和：2+4+6+…+2n=n（n+1）

7）用格子法做加法

方法：

（1）根据要求的数字的位数画出（n+2）×（n+2）的方格，n为两个加数中较大的数的位数。

（2）第一行第一列的位置写上“+”，然后在下面的格子里竖着写出第一个加数（每个格子写一个数字，且要保证两个加数的位数一致，如果不足，将少的前面用0补足）。

（3）第二列空着，留给结果进位使用。

（4）从第一行第三列的位置开始横着写出第二个加数（每个格子写一个数字）。

（5）分别将两个加数的各位数字相加，百位加百位，十位加十位，个位加个位，然后把结果写在它们交叉的位置上（超过10则进位写在前面一格中）。

（6）将所有结果竖着相加，写在对应的最后一行上，即为结果（注意进位）。

例子：计算3721+1428=_______。

解：如图2-1所示，将1428写在第一列加号的下面，3721写在第一行第三列至第六列。然后对应位置的数字相加：1+3=4，4+7=11，2+2=4，1+8=9，并分别写在对应的位置上。最后将四个数字竖向相加，得到5149。

所以，3721+1428=5149。

注意：

（1）前面空一位是为进位考虑，在最高位相加大于10时向前进位。

（2）两个加数的位数要一致，如果不足，将少的用0补足。