5．近似数

近似数是指与准确数相近的一个数，是把一个数按照具体要求截取到指定的数位而得到的。如我国的人口数是无法绝对精确计算的，但是可以说出一个近似数，比如说我国人口有13亿，13亿就是一个近似数。

一个近似数四舍五入到哪一位，那么就说这个近似数精确到哪一位，从左边第一个不是0的数字起，到精确的数位止；从左边第一个不是0的数字起，到末位数字为止的所有数字，都叫作这个数的有效数字。

近似数的加减一般可按下列法则进行：①确定计算结果能精确到哪一个数位。②把已知数中超过这个数位的尾数“四舍五入”到这个数位的下一位。③进行计算，并且把算得的数的末一位“四舍五入”。

1）求近似数的方法

求近似数的方法一般有以下三种。

（1）四舍五入法

四舍五入是一种精确度相对较高的计数保留法，与其他方法本质相同。但特殊之处在于，采用四舍五入法，能够使被保留部分与实际值之间的差值不超过最后一位数量级的1/2。假如0～9等概率出现，对大量的被保留数据，这种保留法的误差总和是最小的。这也是我们使用这种方法为近似数的基本保留法的原因。

在数学运算中，我们经常使用四舍五入法来取近似值。比如，在遇到多位小数时，可截取若干位，如被舍部分的头一位数满五，就在所取数的末位加1，不满五的就舍去。例如，圆周率π=3.14159265…若取五位小数，则为3.14159；若取四位小数，则为3.1416。

四舍时，近似数比准确数小；五入时，近似数比准确数大。

但是在四舍五入中，舍去的概率有4/9，而进一的概率有5/9，两者并不相等。所以又有“四舍六入”的说法。按照这种说法，若被舍部分的头一位是5，是舍是入则需要看前一位数，如果前一位数是奇数，则进一；如果前一位数是偶数，则去尾。当然，这种方法并不常用，我们通常还是用“四舍五入法”。

（2）进一法

进一法是去掉多余部分的数字后，在保留部分的最后一个数字上加1。这样得到的近似值为过剩近似值（即比准确值大）。

在我们的现实生活中四舍五入法不一定随时都适用，有时为了使结果更符合客观现实或者使结果有意义，会用到进一法（即省略的位上只要大于零都要进一位）。

例子：一个袋子能装50斤玉米，现有180斤玉米，需要几个袋子才能装完？

解：180斤÷50斤／袋=3.6袋

此时就需要用进一法，需要4个袋子才能装完。

（3）去尾法

去尾法是去掉数字的小数部分，只取其整数部分。其取值比准确值小。这种方法常常被用在生活中。如“裁布制衣”问题，在布料制成衣服后还有多余时，通常舍去小数部分，只保留整数部分。

例子：制作一件衣服需要用布2.4米，现有50米布，可以做这样的衣服多少件？

解：50米÷2.4米／件=件

结果是，如果按照四舍五入法截取近似值，那么应该得21件。但是我们应该知道，做衣服不能四舍五入，剩下的布虽然能做0.8件，但是不够做成1件，是需要舍弃的。所以类似的题目，我们只能采取去尾法。

即50米布可以做这样的衣服20件。

去尾法一般可以把所要求去尾的数值化成小数，然后直接去掉小数部分，取整数部分的值。一般可以用符号“（）”表示。

例如：

（3.1415）≈3

（π）≈3

（3.98）≈3

2）估算法

什么是估算？估算就是在精确度要求不太高的情况下，进行粗略的估值。也就是大致推算。估算一般有三种情况：一是推算最大值；二是推算最小值；三是推算大约多少。

“估算法”毫无疑问是速算第一法，也是学生计算能力中很重要的一个方面，在所有计算进行前都要首先考虑能否先行估算。一般在选择题中选项相差较大，或者在被比较的数据相差较大的情况下使用。比如对于一些选择题，我们可以根据数量关系、各数字之间的特性等判断出答案的一个大致范围，然后结合选项提供的信息来得出唯一的正确答案。

还有的估算是要先对参与计算的数值取其近似值，把一个比较复杂的计算题变成可以口算的简单计算，得出一个近似值。如估算32×55的最大值，可以把它们都放大一些，按照比原来大的整十数来计算，所以最大是40×60=2400；如果估算32×55的最小值，则把它们都缩小一些，按照比原来小的整十数计算，所以最小是30×50=1500；至于大约等于多少，可以采用“四舍五入法”取接近的数来计算，大约在30×60=1800；如果想精度高一点，还可以只四舍五入一个数，变成30×55=1650左右。

进行估算的前提是选项或者待比较的数字相差必须比较大，并且这个差别的大小决定了“估算”时候的精度要求。一般来说，各元素的大小关系较为隐蔽，需要经过一定的对比分析才能得到。

估算的功能分为两方面，一是数学上的功能，例如培养数感（如判断24×12=2408计算结果的合理性），为精确计算做准备（如要计算492÷12时，往往先用480÷10或490÷10或500÷10来试商）。二是估算在生活中的应用，当无法精确计算或没有必要精确计算时，有时用估算也能解决问题。

下面介绍试商的方法。

在求商的时候，有时不能一次得出准确的商，需要先估算一下，然后再进行调整。如果商大了要调小；如果商小了要调大，这个过程叫作试商。

（1）试商的方法

①四舍五入法

当除数接近整十、整百的数时，常可以用四舍五入法试商。

例如，如果除数是29，可以当成30去试除；如果除数是82，可以当成80去试除。

②去尾法

把除数直接去尾成整十、整百的数试除。用这种方法，一般初商有时会偏大，需要适当调小。

例如，246÷42，用去尾法，把除数当成40去试除，得到初商6。再调整为5。

③进一法

把除数直接进一成整十、整百的数试除。用这种方法，一般初商有时会偏小，需要适当调大。

例如，246÷48，用进一法，把除数当成50去试除，得到初商4。再调整为5。

④同舍同入法

把被除数和除数一起舍或者入，然后试除。

例如，257÷38，试商时可以把被除数当成260，除数当成40，进行试商（同入）。

382÷41，试商时可以把被除数当成380，除数当成40，进行试商（同舍）。

⑤同头无除试商法

如果被除数和除数首位相同（同头），但却不够除（无除），一般可以用9、8或7来试商。

例如，3452÷38，被除数前两位为34，除数为38，头相同但不够除，此时初商可以用9、8或7来试商。

⑥折半法

当被除数的前两位接近除数的一半时，可以用5或4来试商。

例如，1928÷38，被除数的前两位正好等于除数的一半，所以可以用5来试商。如果被除数的前两位比除数的一半大一点点，那么也可以用5来试商；如果被除数的前两位比除数的一半小一点点，则可以用4来试商。

（2）除数是两位数的除法巧妙试商

除法的目的是求商，但从被除数中突然看不出含有多少商时，可以试商。如果除数是两位数的除法，可以采用下面一些巧妙试商方法，提高计算速度。

①用“商五法”试商

方法：

（a）当除数（两位数）的10倍的一半，与被除数相等（或相近）时，可以直接试商5。

（b）当被除数前两位不够除，且被除数的前两位恰好等于（或接近）除数的一半时，可以直接试商5。

例子：计算2385÷45=_______。

解：符合（b），前两位不够除，而且23与45的一半很接近，可以试商5。

所以，2385÷45=53。

②同头无除商8、9

方法：

被除数和除数最高位上的数字相同，且被除数的前两位不够除，这时，商定在被除数高位数起的第三位上面，直接用商8或商9。

例子：计算4176÷48=_______。

解：被除数和除数最高位上的数字相同，且被除数的前两位不够除，第三位可以试商8或9。

所以，4176÷48=87。

③用“商九法”试商

方法：

当被除数的前两位数字临时组成的数小于除数，且前三位数字临时组成的数与除数之和，大于或等于除数的10倍时，可以一次定商为9。

例子：计算4508÷49=_______。

解：因为45＜49，且450+49=499＞490，被除数的第三位上可定商为9。

所以，4508÷49=92。

④用“差数试商法”试商

当除数是11、12、13、…、18和19，被除数前两位又不够除的时候，可以用“差数试商法”，即根据被除数前两位临时组成的数与除数的差来试商的方法。

方法：

（a）若差数是1或2，则初商为9。

（b）若差数是3或4，则初商为8。

（c）若差数是5或6，则初商为7。

（d）若差数是7或8，则初商是6。

（e）若差数是9，则初商为5。

（f）若不准确，则调小1。

为了便于记忆，我们可将它编成下面的口诀。

差一差二商个九，差三差四八当头；

差五差六初商七，差七差八先商六；

差数是九五上阵，试商快速无忧愁。

例子：计算1278÷17=_______。

解：17与12的差为5，初商为7，经试除，商7正确。

所以，1278÷17=75。