*§5.5 有理函数的积分法

前面我们综合应用基本积分公式与三种基本积分方法，就可以求出许多不定积分，包括简单的有理函数的积分.本节讨论如等被积函数为一般不容易恒等变形求出结果的有理函数的积分方法.为此先给出有关的概念.

一、有理函数、真分式、假分式与多项式除法

1.有理函数

两个多项式的商表示的函数称为有理函数.

有理函数的一般形式为

其中m，n 为非负整数，a0，a1，…，an，b0，b1，…，bm均为实常数，a0≠0，b0≠0.

有理函数包括有理整式（即多项式）和有理分式（假设分子和分母之间没有公因式）.例如，

等都是有理函数.

2.真分式、假分式与多项式除法

在（5.5.1）式中，假定分子与分母之间没有公因式，则

（1）当分子的最高次数小于分母的最高次数（即n<m）时，有理函数称为真分式；

（2）当分子的最高次数大于（或等于）分母的最高次数（即n≥m）时，有理函数称为假分式.

例如，等都是真分式；等都是假分式.

利用多项式的除法，任意一个假分式都可以化为一个n-m次多项式与一个真分式之和，即假分式=多项式+真分式.

设R（x）为假分式，P*（x）为n-m次多项式，R*（x）为真分式，

，则R（x）=P*（x）+R*（x）.

下面举例说明如何把一个假分式化为多项式与一个真分式之和.

例1 把假分式化为一个多项式与一个真分式之和.

解：利用多项式除法（如右式所示）可得

又如

由于多项式的积分可以用直接积分法求出，因此，求有理函数的积分问题只要讨论有理真分式的积分即可.本节主要讨论有理真分式的不定积分的问题.

二、真分式分解成部分分式之和

由代数学的多项式因式分解定理知道，任何实系数多项式Q（x）总可以唯一地分解为实系数一次或二次因式的乘积：

Qm(x)=b0(x-a)k…(x-b)l(x2+px+q)s…(x2+rx+h)v

一个真分式总可以按分母Qm（x）的因式，分解成若干个简单分式的代数和，其中每个简单分式称为部分分式.

有理真分式积分的关键是将它分解化简为最简真分式的和.

1.部分分式之和的结构

在这里我们不需证明地给出，任何有理真分式都可以分解为如下四类最简真分式之和：

①,②,③,④i.

其中，i≥2，i∈N+，a，A，B，C，D，M，N，p和q均为实常数，且p2-4q<0.

把有理真分式分解为上面四类最简真分式之和的一般方法是将分母Qm（x）在实数范围内分解为几个一次因式和二次因式的乘积，然后用待定系数法可将分解为上面四类最简真分式之和.

由代数学中的部分分式展开定理，把一个有理真分式分解成如上四种部分分式之和时，可按下面的法则来确定它的形式：

法则1 如果分母Qm（x）的分解因式中含有单重一次因式x-a，则的分解式中一般含有形如的项，其中A是待定常数.

例如，可分解为，其中A，B是待定常数.

法则2 如果分母Qm（x）的分解因式中含有i（i＞1）重一次因式（x-a）i，则的分解式中一般含有如下i个最简真分式之和的式子：

其中A1，A2，A3，…，Ai都是待定常数.

例如，可分解为，其中A，B，C是待定常数.

法则3 如果分母Qm（x）的分解因式中含有单重二次因式x2+px+q（p2-4q＜0），则的分解式中一般含有一个形如的项，其中M，N是待定常数.

例如，可分解为，其中A，M，N是待定常数.

法则4 如果分母Qm（x）的分解因式中含有l（l>1）重二次因式（x2+px+q）l（p2-4q<0）时，则的分解式中含有如下n个最简真分式之和的式子：

其中M1，M2，…，Ml和N1，N2，…，Nl都是待定常数.

例如，可分解为，其中A，M1，N1，M2，N2是待定常数.

2.确定结构中的待定常数

我们知道部分分式之和的形式后，接下来要做的是确定待定常数.下面举例介绍确定待定常数的两种方法：比较系数法和赋值法.

例2 将真分式分解为部分分式之和.

解：方法一（比较系数法）

将的分母分解因式x2+4x+3=（x+1）（x+3），因为（x+1），（x+3）都是单重的一次因式，故由上面的法则1，原真分式可以分解成如下部分分式之和：

其中A，B为待定常数（也称为待定系数）.

将上式两端去分母，即两边同乘以（x+1）（x+3），得

比较上式两端x的同次幂的系数，得到

解这个方程组，得A=-1，B=2，于是可分解为

方法二（赋值法）

因为本例中的式（1）是恒等式，所以它对于任何x的值代入后，等式都应成立.在式（1）中，令x=-1代入，得-2=2A，从而得A=-1.令x=-3代入，得-4=-2B，

从而得B=2.

结果与方法一的相同.

例3 将真分式分解为部分分式之和.

解：方法一（比较系数法）.

将的分母分解因式x3-4x2+4x=x（x-2）2，因为x是单重的一次因式，（x-2）2是二重的一次因式，故由上面的法则2，原真分式可以分解成如下部分分式之和：

其中A，B，C为待定常数.

将上式两端去分母，即两边同乘以x（x-2）2，得

比较上式两端x的同次幂的系数，得到

解这个方程组，得，于是可分解为

方法二（赋值法）在本例的式（2）中，

令x=0代入式（2），得1=4A，从而得.

令x=2代入式（2），得1=2C，从而得.

令x=1代入式（2），得1=A-B+C，再将代入，得，从而得.结果与方法一的相同.

例4 将真分式分解为部分分式之和.

解：方法一（比较系数法）将分母分解因式x3-1=（x-1）（x2+x+1），因为（x-1）是单重的一次因式，而x2+x+1是单重二次质因式，故由上面的法则3，原真分式可以分解成如下部分分式之和：

其中A，B，C为待定常数.

将上式两端去分母，即两边同乘以（x-1）（x2+x+1），得

比较上式两端x的同次幂的系数，得到

解此方程组，得，于是可分解为

方法二（赋值法）在本例的式（3）中，

令x=1代入式（3），得2=3A，从而得.

令x=0，代入式（3），得.

令x=2，代入式（3），得.

结果与方法一的相同.

例5 将真分式分解为部分分式之和.

解：因为分母已经因式分解了，其中x2是二重的一次因式，（x2+1）2是二重二次质因式，故由上面的法则4，原真分式可以分解成如下部分分式之和：

其中A，B，C，D，E，F为待定常数.

将上式两端去分母，即两边同乘以x2（x2+1）2，得

x3+2x2+1=Ax(x2+1)2+B(x2+1)2+(Cx+D)x2(x2+1)+(Ex+F)x2,

即

比较上式（4）两端x的同次幂的系数，得到

解此方程组，得A=0，B=1，C=0，D=-1，E=1，F=1.于是可分解为

三、有理函数的积分

由上面我们对有理函数的结构分析可得到，讨论有理函数的积分问题只要讨论有理真分式的积分即可，而有理真分式积分的关键是将它分解化简为最简真分式（即部分分式）的和.由上面的讨论，我们可知最简真分式有四种类型，因此，有理真分式的积分主要涉及下面四种形式的积分：

(Ⅰ)

(Ⅱ)

(Ⅲ)

(Ⅳ)

在上面四类最简真分式的积分中，（Ⅰ）和（Ⅱ）最简真分式的积分用第一类换元积分法就能容易地计算出来，（Ⅲ）和（Ⅳ）最简真分式的积分用配方化简、凑微分的方法，也可计算求得，因此，任何真分式的积分都能被求出来，从而有理函数的积分都能计算出来.下面举例说明.

例6 求.

解题分析：本题是真分式的积分，要将被积函数分解为最简真分式之和.

解：把被积函数的分母因式分解，即

x 2+4x+3=(x+1)(x+3).

设，其中A，B为待定系数.

上式两端去分母，即两边同乘以（x+1）（x+3），得

x+2=A(x+3)+B(x+1)

即

x+2=(A+B)x+3A+B.

比较上式两端x的同次幂的系数，得到

解这个方程组，得，从而得

因此

例7 求.

解题分析：本题是真分式的积分，被积函数的分母已经因式分解了，只要用待定系数法将被积函数裂项为最简真分式之和即可.

解：设，其中A，B，C为待定系数.

上式两端去分母，即两边同乘以（1+x）（1+x2），得

比较上式两端x的同次幂的系数，得到

解这个方程组，得A=-2，B=2，C=2，从而得

因此

例8 求.

解题分析：本题是假分式的积分，首先将被积函数化为一个多项式与一个真分式之和，然后用待定系数法将真分式裂项为最简真分式的和，然后再进行积分.

解：因为

又设，其中A，B为待定系数.

上式两端去分母，即两边同乘以x（x-1），得

2x-3=A(x-1)+Bx=(A+B)x-A.

比较上式两端x的同次幂的系数，得到

解这个方程组，得A=3，B=-1，从而得，

所以

于是

综上所述，求有理函数积分的一般步骤如下：

（1）将有理函数分解成多项式与有理真分式之和；

（2）将有理真分式分解成部分分式（即最简真分式）之和；

（3）对多项式与各个部分分式（即最简真分式）逐项积分.

例9 求.

解题分析：本题是真分式的积分，分母是单重二次因式，且不能因式分解，即被积函数已为最简真分式了.将被积函数分解成分母相同的两项的代数和，其中一项的分子是分母的导数，另一项的分子是常数.

解：设，其中A，B为待定常数.则两端去分母，得

2x+3=A(x2+2x+2)′+B=2Ax+2A+B

比较上式两端x的同次幂的系数，得到

解这个方程组，得A=1，B=1.

又因为，

所以

注：由上面的讨论可以看出，有理函数的积分虽说是有章可循，但计算比较烦琐，所以不到万不得已不选择计算，要尽量用其他简便方法来计算.例如，例6用如下的凑微分法计算要简便得多.

例10 求.

解：令tanx=t，则x=arctant，dx=，于是

5.5 练习题

1.将化为部分分式，并计算.

2.求下列不定积分：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

参考答案

1.-5ln(x-2)+6ln(x-3)+C

2.(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)